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12. (10 分)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a-1)x^2+(2a+1)x+2=0(a≠1)$.
(1)求证:此方程一定有两个不相等的实数根;
(2)如果这个方程根的判别式的值等于 9,求 $a$ 的值.
(1)求证:此方程一定有两个不相等的实数根;
(2)如果这个方程根的判别式的值等于 9,求 $a$ 的值.
答案
12.(1)证明:$(2a+1)^{2}-8(a-1)$
$=4a^{2}+4a+1-8a+8$
$=4a^{2}-4a+1+8$
$=(2a-1)^{2}+8,$
$\because (2a-1)^{2} ≥ 0,\therefore (2a-1)^{2}+8 ＞ 0,$
$\therefore$此方程一定有两个不相等的实数根.
(2)解:$\because (2a-1)^{2}+8=9,\therefore (2a-1)^{2}=1,$
解得$a_{1}=0,a_{2}=1$.
$\because a ≠ 1,\therefore a=0$.
$=4a^{2}+4a+1-8a+8$
$=4a^{2}-4a+1+8$
$=(2a-1)^{2}+8,$
$\because (2a-1)^{2} ≥ 0,\therefore (2a-1)^{2}+8 ＞ 0,$
$\therefore$此方程一定有两个不相等的实数根.
(2)解:$\because (2a-1)^{2}+8=9,\therefore (2a-1)^{2}=1,$
解得$a_{1}=0,a_{2}=1$.
$\because a ≠ 1,\therefore a=0$.
解析
【分析】
这道题围绕一元二次方程根的判别式展开，解题思路如下：
1. 对于第(1)问，要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，核心思路就是证明该方程的判别式Δ恒大于0：首先写出一元二次方程判别式的通用表达式，代入对应系数展开化简，再通过配方将Δ转化为完全平方式加常数的形式，利用平方数的非负性，即可推出Δ始终大于0，完成证明。
2. 对于第(2)问，直接根据题意令判别式的值等于9，得到关于a的方程，求解后结合题目给出的“该方程是一元二次方程，a≠1”的前提，舍去不符合条件的解，就能得到最终a的取值。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$(a-1)x^2+(2a+1)x+2=0$，其判别式
$\Delta=(2a+1)^2 - 4×(a-1)×2$
展开计算：
$\Delta=4a^2+4a+1 - 8(a-1)=4a^2+4a+1-8a+8$
整理后配方：
$\Delta=4a^2-4a+9=(2a-1)^2 + 8$
因为任意实数的平方都满足$(2a-1)^2≥0$，因此可得$(2a-1)^2 +8≥8＞0$，即$\Delta＞0$恒成立，因此该方程一定有两个不相等的实数根。
(2) 解：由题意可知判别式的值为9，即：
$(2a-1)^2 +8=9$
移项得：$(2a-1)^2=1$
开平方得：$2a-1=\pm1$
分别求解：
当$2a-1=1$时，解得$a=1$；
当$2a-1=-1$时，解得$a=0$。
结合题目已知条件$a≠1$，舍去$a=1$，最终得$a=0$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) $a=0$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、完全平方公式、平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程判别式相关的基础题型，重点考察学生对判别式性质的掌握程度，第一问通过配方将判别式转化为恒正的形式完成证明，第二问容易出现忽略题目给出的$a≠1$的隐含条件，误将a=1作为有效解的失误，解题时要注意紧扣一元二次方程二次项系数不为0的前提。
【难度系数】
0.8
这道题围绕一元二次方程根的判别式展开，解题思路如下：
1. 对于第(1)问，要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，核心思路就是证明该方程的判别式Δ恒大于0：首先写出一元二次方程判别式的通用表达式，代入对应系数展开化简，再通过配方将Δ转化为完全平方式加常数的形式，利用平方数的非负性，即可推出Δ始终大于0，完成证明。
2. 对于第(2)问，直接根据题意令判别式的值等于9，得到关于a的方程，求解后结合题目给出的“该方程是一元二次方程，a≠1”的前提，舍去不符合条件的解，就能得到最终a的取值。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$(a-1)x^2+(2a+1)x+2=0$，其判别式
$\Delta=(2a+1)^2 - 4×(a-1)×2$
展开计算：
$\Delta=4a^2+4a+1 - 8(a-1)=4a^2+4a+1-8a+8$
整理后配方：
$\Delta=4a^2-4a+9=(2a-1)^2 + 8$
因为任意实数的平方都满足$(2a-1)^2≥0$，因此可得$(2a-1)^2 +8≥8＞0$，即$\Delta＞0$恒成立，因此该方程一定有两个不相等的实数根。
(2) 解：由题意可知判别式的值为9，即：
$(2a-1)^2 +8=9$
移项得：$(2a-1)^2=1$
开平方得：$2a-1=\pm1$
分别求解：
当$2a-1=1$时，解得$a=1$；
当$2a-1=-1$时，解得$a=0$。
结合题目已知条件$a≠1$，舍去$a=1$，最终得$a=0$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) $a=0$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、完全平方公式、平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程判别式相关的基础题型，重点考察学生对判别式性质的掌握程度，第一问通过配方将判别式转化为恒正的形式完成证明，第二问容易出现忽略题目给出的$a≠1$的隐含条件，误将a=1作为有效解的失误，解题时要注意紧扣一元二次方程二次项系数不为0的前提。
【难度系数】
0.8
13.(12分)(2025·淮安期末)根据以下素材,探索完成任务1和任务2:
| | 主题:奶茶销售方案制定问题 | |
| --- | --- | --- |
| | 当下年轻人喜欢喝奶茶,在入夏之际某奶茶品牌店推出水果茶"满杯杨梅". | |
| 素材1 | 经统计,该奶茶店5月份的"满杯杨梅"水果茶销售量为1000杯,7月份的销售量为1440杯; | |
| 素材2 | 为了减少库存,奶茶店决定8月份对"满杯杨梅"作降价促销,已知该水果茶的成本为每杯9元.当每杯售价21元时,月销售量1600杯,经试验,发现该款水果茶每降价1元,月销售量就会增加100杯. | |
| | 问题解决 | |
| 任务1 | 确定水果茶的销售量月平均增长率 | 该店"满杯杨梅"5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少? |
| 任务2 | 拟定降价幅度 | 为了使该店8月份"满杯杨梅"的利润达到16000元,该款水果茶应该降价多少元? |
| | 主题:奶茶销售方案制定问题 | |
| --- | --- | --- |
| | 当下年轻人喜欢喝奶茶,在入夏之际某奶茶品牌店推出水果茶"满杯杨梅". | |
| 素材1 | 经统计,该奶茶店5月份的"满杯杨梅"水果茶销售量为1000杯,7月份的销售量为1440杯; | |
| 素材2 | 为了减少库存,奶茶店决定8月份对"满杯杨梅"作降价促销,已知该水果茶的成本为每杯9元.当每杯售价21元时,月销售量1600杯,经试验,发现该款水果茶每降价1元,月销售量就会增加100杯. | |
| | 问题解决 | |
| 任务1 | 确定水果茶的销售量月平均增长率 | 该店"满杯杨梅"5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少? |
| 任务2 | 拟定降价幅度 | 为了使该店8月份"满杯杨梅"的利润达到16000元,该款水果茶应该降价多少元? |
答案
13.解:任务1:设该店"满杯杨梅"5月份到7月份销售量的月平均增长率是$x$,
根据题意,得$1000(1+x)^{2}=1440$,
解得$x_{1}=-2.2$(不符合题意,舍去),$x_{2}=0.2=20\%$.
答:该店"满杯杨梅"5月份到7月份销售量的月平均增长率是$20\%$.
任务2:设该款水果茶应该降价$y$元,则每杯的利润为$(21-y-9)$元,月销售量为$(1600+100y)$杯,
根据题意,得$(21-y-9)(1600+100y)=16000$,
整理,得$y^{2}+4y-32=0$,
解得$y_{1}=-8$(不符合题意,舍去),$y_{2}=4$.
答:该款水果茶应该降价4元.
根据题意,得$1000(1+x)^{2}=1440$,
解得$x_{1}=-2.2$(不符合题意,舍去),$x_{2}=0.2=20\%$.
答:该店"满杯杨梅"5月份到7月份销售量的月平均增长率是$20\%$.
任务2:设该款水果茶应该降价$y$元,则每杯的利润为$(21-y-9)$元,月销售量为$(1600+100y)$杯,
根据题意,得$(21-y-9)(1600+100y)=16000$,
整理,得$y^{2}+4y-32=0$,
解得$y_{1}=-8$(不符合题意,舍去),$y_{2}=4$.
答:该款水果茶应该降价4元.
解析
【分析】
先处理任务1：求5月到7月的月平均增长率，这类连续增长问题的核心等量关系是「初始量×(1+月平均增长率)^增长次数=最终量」，这里5月销量是初始值1000，从5月到7月共增长2次，最终7月销量为1440，设月平均增长率为x代入公式列一元二次方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果。
再处理任务2：属于销售利润类问题，核心等量关系是「总利润=单杯利润×月销售量」，设降价y元，降价后单杯售价为(21-y)元，减去每杯成本9元就能得到单杯利润；同时每降价1元销量增加100杯，因此降价y元后总销量为原本的1600杯加上新增的100y杯，将单杯利润和总销量代入总利润为16000元的条件列方程，求解后舍去不符合实际的负根就能得到正确降价幅度。
【解析】
任务1：
设该店"满杯杨梅"5月份到7月份销售量的月平均增长率是$x$，
根据题意列方程：
$1000(1+x)^{2}=1440$
化简得$(1+x)^2=1.44$，开方后解得$x_1=-2.2$，$x_2=0.2$。
因为增长率不能为负数，$x_1=-2.2$不符合实际意义，舍去，$0.2=20\%$。
任务2：
设该款水果茶应该降价$y$元，
则降价后每杯的利润为$(21-y-9)$元，月销售量为$(1600+100y)$杯，
根据题意列方程：
$(21-y-9)(1600+100y)=16000$
整理得$y^2+4y-32=0$，解得$y_1=-8$，$y_2=4$。
因为降价幅度不能为负数，$y_1=-8$不符合实际意义，舍去。
【答案】
任务1：该店"满杯杨梅"5月份到7月份销售量的月平均增长率是20%；任务2：该款水果茶应该降价4元。
【知识点】
一元二次方程增长率应用，销售利润计算，一元二次方程实际应用
【点评】
本题是一元二次方程结合生活场景的典型应用题，以奶茶销售为背景贴近日常，分别考察了连续增长率模型和总利润核心公式的应用，解题时需要注意实际问题中未知数的取值必须符合现实逻辑，主动舍去负根等无意义的解，属于中考高频基础题型，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
先处理任务1：求5月到7月的月平均增长率，这类连续增长问题的核心等量关系是「初始量×(1+月平均增长率)^增长次数=最终量」，这里5月销量是初始值1000，从5月到7月共增长2次，最终7月销量为1440，设月平均增长率为x代入公式列一元二次方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果。
再处理任务2：属于销售利润类问题，核心等量关系是「总利润=单杯利润×月销售量」，设降价y元，降价后单杯售价为(21-y)元，减去每杯成本9元就能得到单杯利润；同时每降价1元销量增加100杯，因此降价y元后总销量为原本的1600杯加上新增的100y杯，将单杯利润和总销量代入总利润为16000元的条件列方程，求解后舍去不符合实际的负根就能得到正确降价幅度。
【解析】
任务1：
设该店"满杯杨梅"5月份到7月份销售量的月平均增长率是$x$，
根据题意列方程：
$1000(1+x)^{2}=1440$
化简得$(1+x)^2=1.44$，开方后解得$x_1=-2.2$，$x_2=0.2$。
因为增长率不能为负数，$x_1=-2.2$不符合实际意义，舍去，$0.2=20\%$。
任务2：
设该款水果茶应该降价$y$元，
则降价后每杯的利润为$(21-y-9)$元，月销售量为$(1600+100y)$杯，
根据题意列方程：
$(21-y-9)(1600+100y)=16000$
整理得$y^2+4y-32=0$，解得$y_1=-8$，$y_2=4$。
因为降价幅度不能为负数，$y_1=-8$不符合实际意义，舍去。
【答案】
任务1：该店"满杯杨梅"5月份到7月份销售量的月平均增长率是20%；任务2：该款水果茶应该降价4元。
【知识点】
一元二次方程增长率应用，销售利润计算，一元二次方程实际应用
【点评】
本题是一元二次方程结合生活场景的典型应用题，以奶茶销售为背景贴近日常，分别考察了连续增长率模型和总利润核心公式的应用，解题时需要注意实际问题中未知数的取值必须符合现实逻辑，主动舍去负根等无意义的解，属于中考高频基础题型，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
14. (13 分) 新定义 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 有两个实数根,且其中一个根为另一个根的 2 倍,则称这样的方程为“倍根方程”. 例如,一元二次方程 $x^2-6x+8=0$ 的两个根是 2 和 4 ,则方程 $x^2-6x+8=0$ 就是“倍根方程”.
(1)若一元二次方程 $x^2-3x+c=0$ 是“倍根方程”,求 $c$ 的值;
(2)若 $(x-2)(mx-n)=0(m≠0)$ 是“倍根方程”,求代数式 $4m^2-5mn+n^2$ 的值;
(3)若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 是“倍根方程”,请说明: $2b^2=9ac.$
(1)若一元二次方程 $x^2-3x+c=0$ 是“倍根方程”,求 $c$ 的值;
(2)若 $(x-2)(mx-n)=0(m≠0)$ 是“倍根方程”,求代数式 $4m^2-5mn+n^2$ 的值;
(3)若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 是“倍根方程”,请说明: $2b^2=9ac.$
答案
14.解:(1)设一元二次方程$x^{2}-3x+c=0$的一个根为$x_{1}$,另一个根为$2x_{1}$,
由根与系数的关系,得$x_{1}+2x_{1}=3$,
$\therefore x_{1}=1$,即一个根为1,另一个根为2,$\therefore c=1× 2=2$.
(2)方程$(x-2)(mx-n)=0$的一个根为2,则另一个根为1或4,
当另一个根为1时,则$-1× (m-n)=0$,$\therefore m-n=0$,
当另一个根为4时,则$2× (4m-n)=0$,$\therefore 4m-n=0$.
$\therefore 4m^{2}-5mn+n^{2}=(m-n)(4m-n)=0$.
(3)由求根公式得$x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$,
$x_{2}=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$,
若$x_{1}=2x_{2}$,则$\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}× 2$,
化简,得$2b^{2}=9ac$.
若$2x_{1}=x_{2}$,则$\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}× 2=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$,
化简,得$2b^{2}=9ac$.
因此,当关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a ≠ 0)$是"倍根方程"时,总有$2b^{2}=9ac$.
由根与系数的关系,得$x_{1}+2x_{1}=3$,
$\therefore x_{1}=1$,即一个根为1,另一个根为2,$\therefore c=1× 2=2$.
(2)方程$(x-2)(mx-n)=0$的一个根为2,则另一个根为1或4,
当另一个根为1时,则$-1× (m-n)=0$,$\therefore m-n=0$,
当另一个根为4时,则$2× (4m-n)=0$,$\therefore 4m-n=0$.
$\therefore 4m^{2}-5mn+n^{2}=(m-n)(4m-n)=0$.
(3)由求根公式得$x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$,
$x_{2}=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$,
若$x_{1}=2x_{2}$,则$\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}× 2$,
化简,得$2b^{2}=9ac$.
若$2x_{1}=x_{2}$,则$\dfrac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}× 2=\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$,
化简,得$2b^{2}=9ac$.
因此,当关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a ≠ 0)$是"倍根方程"时,总有$2b^{2}=9ac$.
解析
【分析】
这是一道结合新定义的一元二次方程综合题，解题核心是先吃透“倍根方程”的定义：方程的两个实数根中，一个根是另一个根的2倍，我们分三小问逐步推导：
1. 第(1)问：已知方程是倍根方程，直接设两个根分别为$x_1$和$2x_1$，利用一元二次方程根与系数的关系，先通过两根之和为3求出$x_1$的值，再通过两根之积直接算出$c$即可。
2. 第(2)问：从因式分解形式的方程中可直接得到一个固定根为2，根据倍根定义，另一个根要么是2的$\frac{1}{2}$即1，要么是2的2倍即4，分两种情况得到$m$和$n$的关系式，再对代求代数式因式分解，代入关系式即可得到结果。
3. 第(3)问：推导通用关系式时，可利用求根公式表示出两个根，分“第一个根是第二个根的2倍”和“第二个根是第一个根的2倍”两种情况化简，最终即可得到$2b^2=9ac$的结论。
【解析】
(1) 设方程$x^2 - 3x + c = 0$的两个根分别为$x_1$和$2x_1$，
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和满足：
$x_1 + 2x_1 = 3$
解得$x_1=1$，因此两个根分别为1和2，
再由两根之积可得：$c = x_1 · 2x_1 = 1 × 2 = 2$。
(2) 解方程$(x-2)(mx-n)=0\ (m≠0)$，可得两个根为$x_1=2$，$x_2=\frac{n}{m}$，
因为该方程是倍根方程，因此分两种情况：
① 若$2 = 2x_2$，则$x_2=1$，即$\frac{n}{m}=1$，可得$m-n=0$；
② 若$x_2=2×2$，则$x_2=4$，即$\frac{n}{m}=4$，可得$4m-n=0$。
对代求代数式因式分解：
$4m^2 -5mn +n^2=(m-n)(4m-n)$
无论上述哪种情况，都有其中一个因式为0，因此$4m^2 -5mn +n^2=0$。
(3) 证明：根据一元二次方程求根公式，$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$的两个根为：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
分两种情况讨论：
① 若$x_1=2x_2$，代入得：
$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = 2×\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
两边同乘$2a$消去分母，整理得：$b = -3\sqrt{b^2-4ac}$，两边平方后得$b^2=9(b^2-4ac)$，展开整理得$2b^2=9ac$；
② 若$2x_1=x_2$，代入得：
$2×\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
两边同乘$2a$消去分母，整理得：$-b=-3\sqrt{b^2-4ac}$，两边平方后同样可得$2b^2=9ac$。
因此当方程为倍根方程时，恒有$2b^2=9ac$。
【答案】
(1) $c=2$；(2) $4m^2-5mn+n^2=0$；(3) 证明成立，$2b^2=9ac$得证。
【知识点】
韦达定理，因式分解，新定义运算
【点评】
本题是典型的新定义类一元二次方程综合题，重点考察学生对新定义的理解迁移能力，只要抓住“两根为2倍关系”这个核心条件，结合韦达定理、分类讨论思想就能顺利求解，第三问的推导也锻炼了学生的代数化简能力，解题时需要注意不要遗漏倍根的两种对应情况。
【难度系数】
0.6
这是一道结合新定义的一元二次方程综合题，解题核心是先吃透“倍根方程”的定义：方程的两个实数根中，一个根是另一个根的2倍，我们分三小问逐步推导：
1. 第(1)问：已知方程是倍根方程，直接设两个根分别为$x_1$和$2x_1$，利用一元二次方程根与系数的关系，先通过两根之和为3求出$x_1$的值，再通过两根之积直接算出$c$即可。
2. 第(2)问：从因式分解形式的方程中可直接得到一个固定根为2，根据倍根定义，另一个根要么是2的$\frac{1}{2}$即1，要么是2的2倍即4，分两种情况得到$m$和$n$的关系式，再对代求代数式因式分解，代入关系式即可得到结果。
3. 第(3)问：推导通用关系式时，可利用求根公式表示出两个根，分“第一个根是第二个根的2倍”和“第二个根是第一个根的2倍”两种情况化简，最终即可得到$2b^2=9ac$的结论。
【解析】
(1) 设方程$x^2 - 3x + c = 0$的两个根分别为$x_1$和$2x_1$，
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和满足：
$x_1 + 2x_1 = 3$
解得$x_1=1$，因此两个根分别为1和2，
再由两根之积可得：$c = x_1 · 2x_1 = 1 × 2 = 2$。
(2) 解方程$(x-2)(mx-n)=0\ (m≠0)$，可得两个根为$x_1=2$，$x_2=\frac{n}{m}$，
因为该方程是倍根方程，因此分两种情况：
① 若$2 = 2x_2$，则$x_2=1$，即$\frac{n}{m}=1$，可得$m-n=0$；
② 若$x_2=2×2$，则$x_2=4$，即$\frac{n}{m}=4$，可得$4m-n=0$。
对代求代数式因式分解：
$4m^2 -5mn +n^2=(m-n)(4m-n)$
无论上述哪种情况，都有其中一个因式为0，因此$4m^2 -5mn +n^2=0$。
(3) 证明：根据一元二次方程求根公式，$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$的两个根为：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
分两种情况讨论：
① 若$x_1=2x_2$，代入得：
$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = 2×\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
两边同乘$2a$消去分母，整理得：$b = -3\sqrt{b^2-4ac}$，两边平方后得$b^2=9(b^2-4ac)$，展开整理得$2b^2=9ac$；
② 若$2x_1=x_2$，代入得：
$2×\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
两边同乘$2a$消去分母，整理得：$-b=-3\sqrt{b^2-4ac}$，两边平方后同样可得$2b^2=9ac$。
因此当方程为倍根方程时，恒有$2b^2=9ac$。
【答案】
(1) $c=2$；(2) $4m^2-5mn+n^2=0$；(3) 证明成立，$2b^2=9ac$得证。
【知识点】
韦达定理，因式分解，新定义运算
【点评】
本题是典型的新定义类一元二次方程综合题，重点考察学生对新定义的理解迁移能力，只要抓住“两根为2倍关系”这个核心条件，结合韦达定理、分类讨论思想就能顺利求解，第三问的推导也锻炼了学生的代数化简能力，解题时需要注意不要遗漏倍根的两种对应情况。
【难度系数】
0.6
