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1. 下列方程是关于 $x$ 的一元二次方程的是（
A.$x^{2}+\dfrac{1}{x}=1$
B.$ax^{2}+bx+c=0$
C.$x^{2}=0$
D.$3x^{2}-2xy-5y=0$
C
）A.$x^{2}+\dfrac{1}{x}=1$
B.$ax^{2}+bx+c=0$
C.$x^{2}=0$
D.$3x^{2}-2xy-5y=0$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一个方程是否是关于x的一元二次方程，首先要明确一元二次方程的三个核心判定条件：①属于整式方程，分母中不能含有未知数；②只含有1个未知数x；③未知数x的最高次数为2，且二次项系数不为0。我们只需要将每个选项逐一对照这三个条件排查，就能选出正确答案。
【解析】
我们逐个对选项进行分析：
选项A：方程$x^{2}+\dfrac{1}{x}=1$的分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不满足“是整式方程”的要求，因此不是一元二次方程。
选项B：方程$ax^{2}+bx+c=0$没有注明$a≠0$，若$a=0$，则二次项消失，方程变为一次方程，因此该方程不一定是一元二次方程。
选项C：方程$x^{2}=0$是整式方程，仅含有一个未知数$x$，且$x$的最高次数为2，完全符合一元二次方程的定义。
选项D：方程$3x^{2}-2xy-5y=0$中含有$x$和$y$两个未知数，属于二元方程，不满足“只含一个未知数”的要求，因此不是一元二次方程。
综上，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义；整式方程判定
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础概念题，常见易错点是忽略选项B没有限定二次项系数不为0的隐藏要求，误将其判定为一元二次方程，解题时要牢记一元二次方程的三个判定条件缺一不可，逐一排查即可避免出错。
【难度系数】
0.85
要判断一个方程是否是关于x的一元二次方程，首先要明确一元二次方程的三个核心判定条件：①属于整式方程，分母中不能含有未知数；②只含有1个未知数x；③未知数x的最高次数为2，且二次项系数不为0。我们只需要将每个选项逐一对照这三个条件排查，就能选出正确答案。
【解析】
我们逐个对选项进行分析：
选项A：方程$x^{2}+\dfrac{1}{x}=1$的分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不满足“是整式方程”的要求，因此不是一元二次方程。
选项B：方程$ax^{2}+bx+c=0$没有注明$a≠0$，若$a=0$，则二次项消失，方程变为一次方程，因此该方程不一定是一元二次方程。
选项C：方程$x^{2}=0$是整式方程，仅含有一个未知数$x$，且$x$的最高次数为2，完全符合一元二次方程的定义。
选项D：方程$3x^{2}-2xy-5y=0$中含有$x$和$y$两个未知数，属于二元方程，不满足“只含一个未知数”的要求，因此不是一元二次方程。
综上，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义；整式方程判定
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础概念题，常见易错点是忽略选项B没有限定二次项系数不为0的隐藏要求，误将其判定为一元二次方程，解题时要牢记一元二次方程的三个判定条件缺一不可，逐一排查即可避免出错。
【难度系数】
0.85
2. 用配方法解一元二次方程 $x^{2}-6x+8=0$，配方后得到的方程是（
A.$(x+6)^{2}=17$
B.$(x-6)^{2}=17$
C.$(x+3)^{2}=1$
D.$(x-3)^{2}=1$
D
）A.$(x+6)^{2}=17$
B.$(x-6)^{2}=17$
C.$(x+3)^{2}=1$
D.$(x-3)^{2}=1$
答案
2.D
解析
【分析】
这道题要求用配方法对给定的一元二次方程变形，我们可以按照二次项系数为1时的配方法标准步骤思考：首先第一步先把原方程的常数项移到等号的右侧，让等号左侧只保留含未知数的二次项和一次项；接下来找到一次项的系数，取它的一半之后平方，将这个结果同时加到等号的左右两边，这样左侧就可以凑成完全平方式，右侧直接计算出常数，就能得到配方后的方程，再和选项比对选出正确答案即可。
【解析】
解：用配方法解方程$x^2 -6x +8=0$，步骤如下：
1. 移项：将常数项8移到等号右侧，得到：
$x^2 -6x = -8$
2. 配方：一次项系数为-6，它的一半是$-3$，平方为$(-3)^2=9$，在等式两边同时加上9：
$x^2 -6x +9 = -8 +9$
3. 变形化简：左侧利用完全平方公式写成平方形式，右侧计算得1：
$(x-3)^2 =1$
因此配方后得到的方程是$(x-3)^2 =1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法，完全平方公式
【点评】
本题属于配方法解一元二次方程的基础题型，核心考点是二次项系数为1时的配方操作规则，易错点是记错一次项系数的处理方式，误将一次项系数直接平方导致选错B选项，只要牢记“加一次项系数一半的平方”的规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
这道题要求用配方法对给定的一元二次方程变形，我们可以按照二次项系数为1时的配方法标准步骤思考：首先第一步先把原方程的常数项移到等号的右侧，让等号左侧只保留含未知数的二次项和一次项；接下来找到一次项的系数，取它的一半之后平方，将这个结果同时加到等号的左右两边，这样左侧就可以凑成完全平方式，右侧直接计算出常数，就能得到配方后的方程，再和选项比对选出正确答案即可。
【解析】
解：用配方法解方程$x^2 -6x +8=0$，步骤如下：
1. 移项：将常数项8移到等号右侧，得到：
$x^2 -6x = -8$
2. 配方：一次项系数为-6，它的一半是$-3$，平方为$(-3)^2=9$，在等式两边同时加上9：
$x^2 -6x +9 = -8 +9$
3. 变形化简：左侧利用完全平方公式写成平方形式，右侧计算得1：
$(x-3)^2 =1$
因此配方后得到的方程是$(x-3)^2 =1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法，完全平方公式
【点评】
本题属于配方法解一元二次方程的基础题型，核心考点是二次项系数为1时的配方操作规则，易错点是记错一次项系数的处理方式，误将一次项系数直接平方导致选错B选项，只要牢记“加一次项系数一半的平方”的规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
3. 一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（
A.20%
B.22%
C.25%
D.28%
C
）A.20%
B.22%
C.25%
D.28%
答案
3.C
解析
【分析】
这是典型的连续两次同百分率降价的应用题，解题思路如下：1. 先设每次降价的百分率为x，结合降价的实际意义可知x是小于1的正数；2. 明确降价的基数变化：第一次降价是在原价48元的基础上降价，降价后价格为48(1-x)；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，因此两次降价后的最终价格为第一次降价后价格再乘(1-x)，也就是48(1-x)²；3. 结合最终售价27元列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，就能得到降价百分率。
【解析】
解：设每次降价的百分率为x，根据题意可列方程：
$48(1-x)^2 = 27$
整理方程得：
$(1-x)^2 = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$
对等式两边直接开平方得：
$1-x = \pm\frac{3}{4}$
分两种情况求解：
1. 当$1-x = \frac{3}{4}$时，解得$x = 1-\frac{3}{4} = 0.25 = 25\%$，符合降价的实际要求；
2. 当$1-x = -\frac{3}{4}$时，解得$x = 1+\frac{3}{4} = 1.75 = 175\%$，该结果不符合降价的实际意义，直接舍去。
因此每次降价的百分率为25%。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用，百分率问题
【点评】
本题属于连续两次同比例升降价的基础常考题，核心易错点是不要搞错第二次降价的计算基数，要注意第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，同时求解后要结合实际场景舍去不符合逻辑的解，是一元二次方程实际应用的入门典型题型。
【难度系数】
0.8
这是典型的连续两次同百分率降价的应用题，解题思路如下：1. 先设每次降价的百分率为x，结合降价的实际意义可知x是小于1的正数；2. 明确降价的基数变化：第一次降价是在原价48元的基础上降价，降价后价格为48(1-x)；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，因此两次降价后的最终价格为第一次降价后价格再乘(1-x)，也就是48(1-x)²；3. 结合最终售价27元列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，就能得到降价百分率。
【解析】
解：设每次降价的百分率为x，根据题意可列方程：
$48(1-x)^2 = 27$
整理方程得：
$(1-x)^2 = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$
对等式两边直接开平方得：
$1-x = \pm\frac{3}{4}$
分两种情况求解：
1. 当$1-x = \frac{3}{4}$时，解得$x = 1-\frac{3}{4} = 0.25 = 25\%$，符合降价的实际要求；
2. 当$1-x = -\frac{3}{4}$时，解得$x = 1+\frac{3}{4} = 1.75 = 175\%$，该结果不符合降价的实际意义，直接舍去。
因此每次降价的百分率为25%。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用，百分率问题
【点评】
本题属于连续两次同比例升降价的基础常考题，核心易错点是不要搞错第二次降价的计算基数，要注意第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，同时求解后要结合实际场景舍去不符合逻辑的解，是一元二次方程实际应用的入门典型题型。
【难度系数】
0.8
4.(2025·赣榆区月考)如图是某地下停车场的平面示意图,停车场的长为40米,宽为19米,停车场内车道的宽度都相等.停车位的占地面积为352平方米.设停车场内车道的宽度为$x$米,根据题意,下列方程正确的是（
A.$(40-2x)(19-x)=352$
B.$(40+x)(19+x)=352$
C.$(40-x)(19-x)=352$
D.$(40-2x)(19-2x)=352$
C
）A.$(40-2x)(19-x)=352$
B.$(40+x)(19+x)=352$
C.$(40-x)(19-x)=352$
D.$(40-2x)(19-2x)=352$
答案
4.C
解析
【分析】
我们可以用平移拼接的思路来解题：首先把上下两块分散的停车位阴影区域，向中间平移拼接成一个完整的大长方形，这个大长方形的面积就等于停车位的总占地面积352平方米。接下来推导这个新长方形的长和宽：水平方向上，整个场地总长度是40米，上方停车位左侧空出车道宽x，下方停车位右侧空出车道宽x，拼接后新长方形的长只需要扣除1个x，也就是40-x米；竖直方向上，整个场地总宽度是19米，上下两块停车位之间的车道宽度是x，拼接后新长方形的宽只需要扣除1个x，也就是19-x米。最后根据长方形面积公式长乘宽等于面积，就能列出对应方程。
【解析】
解：将上下两块停车位的阴影部分平移拼接，可合并为一个规则矩形：
拼接后矩形的长：原场地总长为40米，水平方向仅需扣除1段车道宽度x，因此长为$(40-x)$米；
拼接后矩形的宽：原场地总宽为19米，竖直方向仅需扣除1段车道宽度x，因此宽为$(19-x)$米；
已知停车位总占地面积为352平方米，根据矩形面积=长×宽，可列方程：
$(40-x)(19-x)=352$
因此本题正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
矩形面积计算，平移拼接法，一元二次方程应用
【点评】
本题核心是利用平移转化的思想，把分散的阴影区域整合为规则矩形，避免直接拆分计算两块停车位面积的繁琐，易错点是错误判断需要扣除的车道段数，容易误选A或D选项，掌握平移拼接的技巧可以快速简化这类面积类应用题的求解过程。
【难度系数】
0.6
我们可以用平移拼接的思路来解题：首先把上下两块分散的停车位阴影区域，向中间平移拼接成一个完整的大长方形，这个大长方形的面积就等于停车位的总占地面积352平方米。接下来推导这个新长方形的长和宽：水平方向上，整个场地总长度是40米，上方停车位左侧空出车道宽x，下方停车位右侧空出车道宽x，拼接后新长方形的长只需要扣除1个x，也就是40-x米；竖直方向上，整个场地总宽度是19米，上下两块停车位之间的车道宽度是x，拼接后新长方形的宽只需要扣除1个x，也就是19-x米。最后根据长方形面积公式长乘宽等于面积，就能列出对应方程。
【解析】
解：将上下两块停车位的阴影部分平移拼接，可合并为一个规则矩形：
拼接后矩形的长：原场地总长为40米，水平方向仅需扣除1段车道宽度x，因此长为$(40-x)$米；
拼接后矩形的宽：原场地总宽为19米，竖直方向仅需扣除1段车道宽度x，因此宽为$(19-x)$米；
已知停车位总占地面积为352平方米，根据矩形面积=长×宽，可列方程：
$(40-x)(19-x)=352$
因此本题正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
矩形面积计算，平移拼接法，一元二次方程应用
【点评】
本题核心是利用平移转化的思想，把分散的阴影区域整合为规则矩形，避免直接拆分计算两块停车位面积的繁琐，易错点是错误判断需要扣除的车道段数，容易误选A或D选项，掌握平移拼接的技巧可以快速简化这类面积类应用题的求解过程。
【难度系数】
0.6
5. (2025·淮安期末)若$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的两个实数根，则代数式$x_1^2 - 24x_1 + x_2$的值为（
A.$-1$
B.$0$
C.$25$
D.$26$
D
）A.$-1$
B.$0$
C.$25$
D.$26$
答案
5.D
解析
【分析】
这道题的核心思路是避免直接求解方程的根带来的复杂计算，通过降次转化+整体代入的方法快速求值。首先第一步，利用一元二次方程根的定义，把根x₁代入原方程，得到x₁满足的等式，将代数式里的二次项x₁²替换为一次式，完成降次化简；第二步，化简后代数式会出现两根之和x₁+x₂，直接用韦达定理（根与系数的关系）算出两根之和的数值，整体代入就能得到最终结果。
【解析】
解：
1. 利用方程根的定义降次
因为x₁是一元二次方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的实数根，将$x=x_1$代入原方程可得：
$x_1^2 - 25x_1 - 1 = 0$，整理得$x_1^2 = 25x_1 + 1$。
2. 代入代数式化简
把$x_1^2 = 25x_1 + 1$代入所求代数式$x_1^2 - 24x_1 + x_2$：
原式$=25x_1 + 1 - 24x_1 + x_2 = x_1 + x_2 + 1$。
3. 用韦达定理求两根之和
对于一元二次方程$x^2 - 25x - 1 = 0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-25$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 25$。
4. 整体代入计算最终结果
把$x_1+x_2=25$代入化简后的式子：原式$=25 + 1 = 26$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理，整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程章节的经典常规题型，重点考察降次转化的数学思想，不需要硬求方程的根，通过根的定义将二次项降为一次项，再结合韦达定理快速计算，是中考高频考法，掌握整体代换技巧可以大幅降低运算复杂度，避免出错。
【难度系数】
0.7
这道题的核心思路是避免直接求解方程的根带来的复杂计算，通过降次转化+整体代入的方法快速求值。首先第一步，利用一元二次方程根的定义，把根x₁代入原方程，得到x₁满足的等式，将代数式里的二次项x₁²替换为一次式，完成降次化简；第二步，化简后代数式会出现两根之和x₁+x₂，直接用韦达定理（根与系数的关系）算出两根之和的数值，整体代入就能得到最终结果。
【解析】
解：
1. 利用方程根的定义降次
因为x₁是一元二次方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的实数根，将$x=x_1$代入原方程可得：
$x_1^2 - 25x_1 - 1 = 0$，整理得$x_1^2 = 25x_1 + 1$。
2. 代入代数式化简
把$x_1^2 = 25x_1 + 1$代入所求代数式$x_1^2 - 24x_1 + x_2$：
原式$=25x_1 + 1 - 24x_1 + x_2 = x_1 + x_2 + 1$。
3. 用韦达定理求两根之和
对于一元二次方程$x^2 - 25x - 1 = 0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-25$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 25$。
4. 整体代入计算最终结果
把$x_1+x_2=25$代入化简后的式子：原式$=25 + 1 = 26$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理，整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程章节的经典常规题型，重点考察降次转化的数学思想，不需要硬求方程的根，通过根的定义将二次项降为一次项，再结合韦达定理快速计算，是中考高频考法，掌握整体代换技巧可以大幅降低运算复杂度，避免出错。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题5分,共25分)
6. 将方程 $2x^{2}=1-3x$ 化为一般形式是
6. 将方程 $2x^{2}=1-3x$ 化为一般形式是
$2x^{2}+3x-1=0$
.答案
6.$2x^{2}+3x-1=0$
解析
【分析】
我们首先要明确一元二次方程的一般形式的要求：等号右侧为0，左侧按未知数的降幂排列，且二次项系数通常为正。解题时只需要将原方程等号右侧的所有项移动到等号左侧，注意移项要改变符号，再整理合并同类项，就能得到符合要求的一般形式。
【解析】
解：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，a、b、c为常数），对原方程$2x^2=1-3x$进行移项操作：
将右侧的$-3x$移到等号左侧变为$+3x$，将右侧的$1$移到等号左侧变为$-1$，最终整理得到符合要求的方程：$2x^2+3x-1=0$。
【答案】
$2x^{2}+3x-1=0$
【知识点】
一元二次方程的一般形式，移项法则
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础入门题，核心考察对一元二次方程一般形式的理解，易错点是移项时忘记改变项的符号，只要牢记移项变号的规则，就能轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.9
我们首先要明确一元二次方程的一般形式的要求：等号右侧为0，左侧按未知数的降幂排列，且二次项系数通常为正。解题时只需要将原方程等号右侧的所有项移动到等号左侧，注意移项要改变符号，再整理合并同类项，就能得到符合要求的一般形式。
【解析】
解：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，a、b、c为常数），对原方程$2x^2=1-3x$进行移项操作：
将右侧的$-3x$移到等号左侧变为$+3x$，将右侧的$1$移到等号左侧变为$-1$，最终整理得到符合要求的方程：$2x^2+3x-1=0$。
【答案】
$2x^{2}+3x-1=0$
【知识点】
一元二次方程的一般形式，移项法则
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础入门题，核心考察对一元二次方程一般形式的理解，易错点是移项时忘记改变项的符号，只要牢记移项变号的规则，就能轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.9
7. 若关于$x$的方程$\dfrac{1}{2}x^{2}-x+c=0$有两个相等的实数根，则$c$的值为
$\dfrac{1}{2}$
。答案
7.$\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
首先拿到题目，先识别这是一元二次方程根的判别式的应用问题。题目明确说明该一元二次方程有两个相等的实数根，我们可以直接利用一元二次方程根的判别式的性质来解题：第一步先回忆，对于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+C=0(a≠0)$，当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta=b^2-4aC=0$；第二步对应找出本题方程里的二次项系数$a$、一次项系数$b$，注意不要把题目里的参数$c$和判别式公式里的常数项混淆，直接将对应数值代入判别式等于0的等式中，得到关于待求参数$c$的一元一次方程，求解即可得到$c$的值。
【解析】
已知关于$x$的方程$\dfrac{1}{2}x^2 - x + c = 0$是一元二次方程，且有两个相等的实数根。
对于一元二次方程$ax^2+bx+C=0$（$a≠0$），当方程有两个相等实数根时，根的判别式满足：
$\Delta = b^2 - 4aC = 0$
对应本题，可得：
二次项系数$a=\dfrac{1}{2}$，一次项系数$b=-1$，方程的常数项为题目中的参数$c$，将其代入判别式等式：
$\begin{aligned}(-1)^2 - 4× \dfrac{1}{2} × c &= 0\\1 - 2c &= 0\\2c &= 1\\c &= \dfrac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考察一元二次方程根的判别式的基本应用，解题时只需牢记不同实根情况对应的判别式取值即可，注意不要混淆题目参数和判别式公式的符号，计算难度很低，是必须掌握的送分考点。
【难度系数】
0.9
首先拿到题目，先识别这是一元二次方程根的判别式的应用问题。题目明确说明该一元二次方程有两个相等的实数根，我们可以直接利用一元二次方程根的判别式的性质来解题：第一步先回忆，对于一般形式的一元二次方程$ax^2+bx+C=0(a≠0)$，当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta=b^2-4aC=0$；第二步对应找出本题方程里的二次项系数$a$、一次项系数$b$，注意不要把题目里的参数$c$和判别式公式里的常数项混淆，直接将对应数值代入判别式等于0的等式中，得到关于待求参数$c$的一元一次方程，求解即可得到$c$的值。
【解析】
已知关于$x$的方程$\dfrac{1}{2}x^2 - x + c = 0$是一元二次方程，且有两个相等的实数根。
对于一元二次方程$ax^2+bx+C=0$（$a≠0$），当方程有两个相等实数根时，根的判别式满足：
$\Delta = b^2 - 4aC = 0$
对应本题，可得：
二次项系数$a=\dfrac{1}{2}$，一次项系数$b=-1$，方程的常数项为题目中的参数$c$，将其代入判别式等式：
$\begin{aligned}(-1)^2 - 4× \dfrac{1}{2} × c &= 0\\1 - 2c &= 0\\2c &= 1\\c &= \dfrac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考察一元二次方程根的判别式的基本应用，解题时只需牢记不同实根情况对应的判别式取值即可，注意不要混淆题目参数和判别式公式的符号，计算难度很低，是必须掌握的送分考点。
【难度系数】
0.9
8. 已知 $y^{2}-x=0,x^{2}-3y^{2}+x-3=0$, 则 $x$ 的值为
3
.答案
8.3
解析
【分析】
这道题是二元二次方程组求解问题，我们的解题思路是优先选择代入消元法：首先观察第一个方程形式非常简单，可以直接将$y^2$用含$x$的代数式表示，同时能得到$x$的隐含取值范围；再把这个表达式代入第二个方程，直接消去变量$y$，得到只关于$x$的一元二次方程，求解后结合$x$的取值范围舍去不符合实际的增根，就能得到$x$的正确值。
【解析】
解：
1. 对第一个已知方程变形：
由 $y^2 - x = 0$，可得 $y^2 = x$。
因为任意实数的平方都非负，即 $y^2 ≥ 0$，因此可得隐含条件 $x ≥ 0$。
2. 代入消元得到关于x的一元二次方程：
将 $y^2 = x$ 代入第二个方程 $x^2 - 3y^2 + x - 3 = 0$，替换后得：
$x^2 - 3x + x - 3 = 0$
合并同类项化简得：
$x^2 - 2x - 3 = 0$
3. 解一元二次方程并验根：
对 $x^2 - 2x - 3 = 0$ 因式分解，可得 $(x-3)(x+1)=0$，解得 $x_1=3$，$x_2=-1$。
结合之前得到的隐含条件 $x ≥ 0$，$x=-1$ 不符合要求，舍去。
因此最终$x$的值为3。
【答案】
3
【知识点】
代入消元法；一元二次方程求解；偶次幂非负性
【点评】
本题属于二元二次方程组的基础题型，核心技巧是无需单独求解$y$，直接用整体代换消去$y$的二次项即可大幅简化计算，解题时要注意挖掘$y^2=x$带来的$x$非负的隐含条件，避免误将负根作为最终答案。
【难度系数】
0.7
这道题是二元二次方程组求解问题，我们的解题思路是优先选择代入消元法：首先观察第一个方程形式非常简单，可以直接将$y^2$用含$x$的代数式表示，同时能得到$x$的隐含取值范围；再把这个表达式代入第二个方程，直接消去变量$y$，得到只关于$x$的一元二次方程，求解后结合$x$的取值范围舍去不符合实际的增根，就能得到$x$的正确值。
【解析】
解：
1. 对第一个已知方程变形：
由 $y^2 - x = 0$，可得 $y^2 = x$。
因为任意实数的平方都非负，即 $y^2 ≥ 0$，因此可得隐含条件 $x ≥ 0$。
2. 代入消元得到关于x的一元二次方程：
将 $y^2 = x$ 代入第二个方程 $x^2 - 3y^2 + x - 3 = 0$，替换后得：
$x^2 - 3x + x - 3 = 0$
合并同类项化简得：
$x^2 - 2x - 3 = 0$
3. 解一元二次方程并验根：
对 $x^2 - 2x - 3 = 0$ 因式分解，可得 $(x-3)(x+1)=0$，解得 $x_1=3$，$x_2=-1$。
结合之前得到的隐含条件 $x ≥ 0$，$x=-1$ 不符合要求，舍去。
因此最终$x$的值为3。
【答案】
3
【知识点】
代入消元法；一元二次方程求解；偶次幂非负性
【点评】
本题属于二元二次方程组的基础题型，核心技巧是无需单独求解$y$，直接用整体代换消去$y$的二次项即可大幅简化计算，解题时要注意挖掘$y^2=x$带来的$x$非负的隐含条件，避免误将负根作为最终答案。
【难度系数】
0.7
9.(2025·东海县期中)我们知道方程$x^{2}+2x-3=0$的解是$x_{1}=1$,$x_{2}=-3$,现给出另一个方程$(2x-1)^{2}+2(2x-1)-3=0$,它的解是
$x_{1}=1,x_{2}=-1$
.答案
9.$x_{1}=1,x_{2}=-1$
解析
【分析】
首先观察两个方程的结构特征，发现新方程里把$(2x-1)$当作一个整体时，它的形式和已知解的方程$x^2+2x-3=0$完全相同，因此不需要展开新方程硬算，按照换元思路分步解题：第一步设辅助元$y=2x-1$，将原方程转化为已知解的标准形式方程，直接得到y的两个取值；第二步把得到的y值代回$y=2x-1$，得到两个关于x的一元一次方程，分别求解就能得到原方程的解，这种整体代换的方法能大幅简化计算，避免复杂运算出错。
【解析】
解：令$y=2x-1$，则原方程$(2x-1)^2+2(2x-1)-3=0$可转化为：
$y^2 + 2y - 3 = 0$
根据题干给出的已知条件，该方程的解为$y_1=1$，$y_2=-3$，分两种情况代回$y=2x-1$计算：
① 当$y=1$时，$2x - 1 = 1$，移项计算得$2x=2$，解得$x_1=1$；
② 当$y=-3$时，$2x - 1 = -3$，移项计算得$2x=-2$，解得$x_2=-1$。
【答案】
$x_{1}=1,x_{2}=-1$
【知识点】
换元法解一元二次方程，整体代换思想
【点评】
本题是一元二次方程的典型巧解题型，核心是引导学生发现方程结构的共性，不需要用常规方法展开整理为一元二次方程一般式再求解，通过整体换元直接利用已知条件快速得到结果，有效降低计算量，也能锻炼学生的整体代换思维，避免机械计算。
【难度系数】
0.7
首先观察两个方程的结构特征，发现新方程里把$(2x-1)$当作一个整体时，它的形式和已知解的方程$x^2+2x-3=0$完全相同，因此不需要展开新方程硬算，按照换元思路分步解题：第一步设辅助元$y=2x-1$，将原方程转化为已知解的标准形式方程，直接得到y的两个取值；第二步把得到的y值代回$y=2x-1$，得到两个关于x的一元一次方程，分别求解就能得到原方程的解，这种整体代换的方法能大幅简化计算，避免复杂运算出错。
【解析】
解：令$y=2x-1$，则原方程$(2x-1)^2+2(2x-1)-3=0$可转化为：
$y^2 + 2y - 3 = 0$
根据题干给出的已知条件，该方程的解为$y_1=1$，$y_2=-3$，分两种情况代回$y=2x-1$计算：
① 当$y=1$时，$2x - 1 = 1$，移项计算得$2x=2$，解得$x_1=1$；
② 当$y=-3$时，$2x - 1 = -3$，移项计算得$2x=-2$，解得$x_2=-1$。
【答案】
$x_{1}=1,x_{2}=-1$
【知识点】
换元法解一元二次方程，整体代换思想
【点评】
本题是一元二次方程的典型巧解题型，核心是引导学生发现方程结构的共性，不需要用常规方法展开整理为一元二次方程一般式再求解，通过整体换元直接利用已知条件快速得到结果，有效降低计算量，也能锻炼学生的整体代换思维，避免机械计算。
【难度系数】
0.7
10.(2025·海州区月考)已知 $m,n$ 是方程 $x^2-2023x+2024=0$ 的两根,则 $(m^2-2024m+2025)(n^2-2024n+2025)=$
2
.答案
10.2
解析
【分析】
首先，已知m、n是给定一元二次方程的两根，第一步先利用一元二次方程根的定义：将根代入原方程可得到等式，据此对所求代数式里的二次项进行降次变形，把原本含m²、n²的复杂式子化简为仅含m、n的一次式；化简后再利用韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）直接得到m+n和mn的整体值，最后整体代入化简后的式子即可算出结果，全程不需要求解出m、n的具体数值，大幅简化计算。
【解析】
解：
∵m是方程$x^2-2023x+2024=0$的根，
∴将x=m代入方程得：$m^2 - 2023m + 2024 = 0$，
变形可得：$m^2 = 2023m - 2024$，
将其代入第一个括号内的代数式：
$m^2 - 2024m + 2025 = 2023m - 2024 - 2024m + 2025 = 1 - m$，
同理，n是方程$x^2-2023x+2024=0$的根，可得：
$n^2 - 2024n + 2025 = 1 - n$，
因此原式可化简为：
$(1 - m)(1 - n) = 1 - (m + n) + mn$，
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于方程$x^2-2023x+2024=0$，两根满足：
$m + n = 2023$，$mn = 2024$，
将其代入上式：
原式$= 1 - 2023 + 2024 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理
【点评】
本题核心考察整体代换的数学思想，不需要直接求解方程的两个根，先利用方程根的性质对二次代数式降次，再结合韦达定理整体代入求值，避免了复杂的无理数运算，是一元二次方程章节的典型技巧类题型。
【难度系数】
0.6
首先，已知m、n是给定一元二次方程的两根，第一步先利用一元二次方程根的定义：将根代入原方程可得到等式，据此对所求代数式里的二次项进行降次变形，把原本含m²、n²的复杂式子化简为仅含m、n的一次式；化简后再利用韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）直接得到m+n和mn的整体值，最后整体代入化简后的式子即可算出结果，全程不需要求解出m、n的具体数值，大幅简化计算。
【解析】
解：
∵m是方程$x^2-2023x+2024=0$的根，
∴将x=m代入方程得：$m^2 - 2023m + 2024 = 0$，
变形可得：$m^2 = 2023m - 2024$，
将其代入第一个括号内的代数式：
$m^2 - 2024m + 2025 = 2023m - 2024 - 2024m + 2025 = 1 - m$，
同理，n是方程$x^2-2023x+2024=0$的根，可得：
$n^2 - 2024n + 2025 = 1 - n$，
因此原式可化简为：
$(1 - m)(1 - n) = 1 - (m + n) + mn$，
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于方程$x^2-2023x+2024=0$，两根满足：
$m + n = 2023$，$mn = 2024$，
将其代入上式：
原式$= 1 - 2023 + 2024 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的定义，韦达定理
【点评】
本题核心考察整体代换的数学思想，不需要直接求解方程的两个根，先利用方程根的性质对二次代数式降次，再结合韦达定理整体代入求值，避免了复杂的无理数运算，是一元二次方程章节的典型技巧类题型。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共55分)
11.(20分)解下列方程:
(1)$x(2x-7)=2x$;
(2)$x^{2}-2x+4=0$;
(3)$(y+2)^{2}=(3y-1)^{2}$;
(4)$2y^{2}+7y-3=0$.
11.(20分)解下列方程:
(1)$x(2x-7)=2x$;
(2)$x^{2}-2x+4=0$;
(3)$(y+2)^{2}=(3y-1)^{2}$;
(4)$2y^{2}+7y-3=0$.
答案
11.(1)$x_{1}=0,x_{2}=\dfrac{9}{2}$
(2)无实数根
(3)$y_{1}=-\dfrac{1}{4},y_{2}=\dfrac{3}{2}$
(4)$y_{1}=\dfrac{-7+\sqrt{73}}{4},y_{2}=\dfrac{-7-\sqrt{73}}{4}$
(2)无实数根
(3)$y_{1}=-\dfrac{1}{4},y_{2}=\dfrac{3}{2}$
(4)$y_{1}=\dfrac{-7+\sqrt{73}}{4},y_{2}=\dfrac{-7-\sqrt{73}}{4}$
解析
【分析】
这是4道不同形式的一元二次方程求解题目，解题思路是根据每个方程的结构特征选择最简便的解法：
1. 第(1)题先移项将右侧的2x移到左侧，不要直接两边除以x避免丢失x=0这个根，之后用提取公因式的因式分解法求解即可；
2. 第(2)题是标准的一元二次方程一般式，先计算根的判别式，通过判别式的正负判断方程是否有实数根；
3. 第(3)题左右两侧都是完全平方的形式，移项后利用平方差公式进行因式分解，可快速得到两个一次方程求解，比展开整理再求解更简便；
4. 第(4)题的二次三项式无法用整数因式分解，直接套用一元二次方程的求根公式计算即可。
【解析】
(1) 对方程$x(2x-7)=2x$移项得：
$x(2x-7)-2x=0$
展开整理得：$2x^2 -9x=0$
提取公因式$x$得：$x(2x-9)=0$
令两个因式分别为0，解得：$x_1=0$，$2x_2-9=0 \implies x_2=\frac{9}{2}$
(2) 对方程$x^2-2x+4=0$，确定系数$a=1$，$b=-2$，$c=4$
计算根的判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1×4 = 4-16=-12＜0$
因此该方程无实数根。
(3) 对方程$(y+2)^2=(3y-1)^2$移项得：
$(y+2)^2-(3y-1)^2=0$
由平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$因式分解得：
$[(y+2)+(3y-1)][(y+2)-(3y-1)]=0$
化简括号内的项得：$(4y+1)(-2y+3)=0$
令两个因式分别为0，解得：$4y_1+1=0 \implies y_1=-\frac{1}{4}$，$-2y_2+3=0 \implies y_2=\frac{3}{2}$
(4) 对方程$2y^2+7y-3=0$，确定系数$a=2$，$b=7$，$c=-3$
计算根的判别式：$\Delta = b^2-4ac =7^2 -4×2×(-3)=49+24=73＞0$
代入一元二次方程求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$y=\frac{-7\pm\sqrt{73}}{2×2}=\frac{-7\pm\sqrt{73}}{4}$
即$y_1=\frac{-7+\sqrt{73}}{4}$，$y_2=\frac{-7-\sqrt{73}}{4}$
【答案】
(1)$x_{1}=0,x_{2}=\dfrac{9}{2}$
(2)无实数根
(3)$y_{1}=-\dfrac{1}{4},y_{2}=\dfrac{3}{2}$
(4)$y_{1}=\dfrac{-7+\sqrt{73}}{4},y_{2}=\dfrac{-7-\sqrt{73}}{4}$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，根的判别式
【点评】
本题全面考察了一元二次方程的常用求解方法，属于基础必做题，需要特别注意求解时不能随意给方程两边除以含未知数的项，避免丢失根，同时要先通过判别式判断方程是否存在实数根，根据方程的不同特征选择最优解法可以大幅提升解题准确率和速度。
【难度系数】
0.8
这是4道不同形式的一元二次方程求解题目，解题思路是根据每个方程的结构特征选择最简便的解法：
1. 第(1)题先移项将右侧的2x移到左侧，不要直接两边除以x避免丢失x=0这个根，之后用提取公因式的因式分解法求解即可；
2. 第(2)题是标准的一元二次方程一般式，先计算根的判别式，通过判别式的正负判断方程是否有实数根；
3. 第(3)题左右两侧都是完全平方的形式，移项后利用平方差公式进行因式分解，可快速得到两个一次方程求解，比展开整理再求解更简便；
4. 第(4)题的二次三项式无法用整数因式分解，直接套用一元二次方程的求根公式计算即可。
【解析】
(1) 对方程$x(2x-7)=2x$移项得：
$x(2x-7)-2x=0$
展开整理得：$2x^2 -9x=0$
提取公因式$x$得：$x(2x-9)=0$
令两个因式分别为0，解得：$x_1=0$，$2x_2-9=0 \implies x_2=\frac{9}{2}$
(2) 对方程$x^2-2x+4=0$，确定系数$a=1$，$b=-2$，$c=4$
计算根的判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1×4 = 4-16=-12＜0$
因此该方程无实数根。
(3) 对方程$(y+2)^2=(3y-1)^2$移项得：
$(y+2)^2-(3y-1)^2=0$
由平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$因式分解得：
$[(y+2)+(3y-1)][(y+2)-(3y-1)]=0$
化简括号内的项得：$(4y+1)(-2y+3)=0$
令两个因式分别为0，解得：$4y_1+1=0 \implies y_1=-\frac{1}{4}$，$-2y_2+3=0 \implies y_2=\frac{3}{2}$
(4) 对方程$2y^2+7y-3=0$，确定系数$a=2$，$b=7$，$c=-3$
计算根的判别式：$\Delta = b^2-4ac =7^2 -4×2×(-3)=49+24=73＞0$
代入一元二次方程求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$y=\frac{-7\pm\sqrt{73}}{2×2}=\frac{-7\pm\sqrt{73}}{4}$
即$y_1=\frac{-7+\sqrt{73}}{4}$，$y_2=\frac{-7-\sqrt{73}}{4}$
【答案】
(1)$x_{1}=0,x_{2}=\dfrac{9}{2}$
(2)无实数根
(3)$y_{1}=-\dfrac{1}{4},y_{2}=\dfrac{3}{2}$
(4)$y_{1}=\dfrac{-7+\sqrt{73}}{4},y_{2}=\dfrac{-7-\sqrt{73}}{4}$
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，根的判别式
【点评】
本题全面考察了一元二次方程的常用求解方法，属于基础必做题，需要特别注意求解时不能随意给方程两边除以含未知数的项，避免丢失根，同时要先通过判别式判断方程是否存在实数根，根据方程的不同特征选择最优解法可以大幅提升解题准确率和速度。
【难度系数】
0.8
