登录
12. 如图，仔细观察，图中共有
6
个正方形.答案
12.6
解析
【分析】
要准确数出图中正方形的个数，需采用有序分类计数的方法，避免重复和遗漏。我们可以按照正方形的摆放方向和大小分类：先数正放的正方形，按从小到大的顺序数，再数斜放的正方形，最后把各类的数量相加即可得到总数。
【解析】
我们分类计数：
1. 正放的最小正方形：观察图中的田字格结构，共有4个边长相等的小正正方形；
2. 正放的大正方形：由上述4个小正方形拼成的最外层的大正方形，共1个；
3. 斜放的正方形：图中由中间交叉线段分割出的4个等腰直角三角形，恰好能组成1个斜放的正方形。
将三类数量相加：$4 + 1 + 1 = 6$（个）
【答案】
6
【知识点】
图形计数；正方形的识别
【点评】
本题解题的关键是掌握有序分类计数的方法，计数时要注意不能忽略斜放的特殊正方形，否则容易出现漏数的错误。
【难度系数】
0.7
要准确数出图中正方形的个数，需采用有序分类计数的方法，避免重复和遗漏。我们可以按照正方形的摆放方向和大小分类：先数正放的正方形，按从小到大的顺序数，再数斜放的正方形，最后把各类的数量相加即可得到总数。
【解析】
我们分类计数：
1. 正放的最小正方形：观察图中的田字格结构，共有4个边长相等的小正正方形；
2. 正放的大正方形：由上述4个小正方形拼成的最外层的大正方形，共1个；
3. 斜放的正方形：图中由中间交叉线段分割出的4个等腰直角三角形，恰好能组成1个斜放的正方形。
将三类数量相加：$4 + 1 + 1 = 6$（个）
【答案】
6
【知识点】
图形计数；正方形的识别
【点评】
本题解题的关键是掌握有序分类计数的方法，计数时要注意不能忽略斜放的特殊正方形，否则容易出现漏数的错误。
【难度系数】
0.7
13.现有一批如图所示的地砖.如果要铺成正方形的地面,那么至少要用
6
块这种地砖.答案
13.6
解析
【分析】
要使用给定的长方形地砖铺成正方形且地砖数量最少，正方形的边长需要同时是长方形长（45cm）和宽（30cm）的公倍数，当边长取二者的最小公倍数时，所需地砖数量最少。我们可以先求出45和30的最小公倍数，再分别计算正方形边长对应包含多少个地砖的长、多少个地砖的宽，二者乘积就是最少需要的地砖块数。
【解析】
步骤1：求45和30的最小公倍数
分解质因数：
$45 = 3×3×5$
$30 = 2×3×5$
则45和30的最小公倍数为$2×3×3×5 = 90$，即铺成的最小正方形的边长为90cm。
步骤2：计算各边需要的地砖数量
沿正方形边长方向，对应地砖长的数量：$90÷45 = 2$（块）
沿正方形另一边长方向，对应地砖宽的数量：$90÷30 = 3$（块）
步骤3：计算总块数
总块数 = $2×3 = 6$（块）
【答案】
6
【知识点】
最小公倍数计算、公倍数应用、图形密铺
【点评】
本题是公倍数在实际生活中的典型应用问题，解题核心是理解最小正方形的边长就是长方形地砖长和宽的最小公倍数，结合简单的乘除运算即可求解，能锻炼学生将数学知识应用于生活实际的能力。
【难度系数】
0.7
要使用给定的长方形地砖铺成正方形且地砖数量最少，正方形的边长需要同时是长方形长（45cm）和宽（30cm）的公倍数，当边长取二者的最小公倍数时，所需地砖数量最少。我们可以先求出45和30的最小公倍数，再分别计算正方形边长对应包含多少个地砖的长、多少个地砖的宽，二者乘积就是最少需要的地砖块数。
【解析】
步骤1：求45和30的最小公倍数
分解质因数：
$45 = 3×3×5$
$30 = 2×3×5$
则45和30的最小公倍数为$2×3×3×5 = 90$，即铺成的最小正方形的边长为90cm。
步骤2：计算各边需要的地砖数量
沿正方形边长方向，对应地砖长的数量：$90÷45 = 2$（块）
沿正方形另一边长方向，对应地砖宽的数量：$90÷30 = 3$（块）
步骤3：计算总块数
总块数 = $2×3 = 6$（块）
【答案】
6
【知识点】
最小公倍数计算、公倍数应用、图形密铺
【点评】
本题是公倍数在实际生活中的典型应用问题，解题核心是理解最小正方形的边长就是长方形地砖长和宽的最小公倍数，结合简单的乘除运算即可求解，能锻炼学生将数学知识应用于生活实际的能力。
【难度系数】
0.7
14.测量1张纸大约有多厚,出现了以下四种观点：
①直接用三角尺测量1张纸的厚度；
②先用三角尺测量同类型的2张纸的厚度；
③先用三角尺测量同类型的50张纸的厚度；
④先用三角尺测量同类型的100 000张纸的厚度.
你认为最合理且可行的观点是
（填序号）
①直接用三角尺测量1张纸的厚度；
②先用三角尺测量同类型的2张纸的厚度；
③先用三角尺测量同类型的50张纸的厚度；
④先用三角尺测量同类型的100 000张纸的厚度.
你认为最合理且可行的观点是
③
.（填序号）
答案
14.③
解析
【分析】
要测量1张纸的厚度，首先明确1张纸厚度极小，远小于三角尺的分度值，直接测量或测量少量纸张时误差极大；若测量的纸张数量过多，又会存在收集难、测量不便的问题。因此解题时要结合测量精度和操作可行性两个维度，选择数量适中的纸张用累积法测量，再计算单张厚度即可。
【解析】
对四个观点逐一分析：
①1张纸的厚度远小于三角尺的最小分度值，直接测量误差极大，无法得到准确结果，不可行；
②2张纸的总厚度仍然很小，测量误差依旧较大，结果不准确，不合理；
③50张同类型纸的总厚度足够大，可使用三角尺准确测出总厚度，再用总厚度除以50就能得到1张纸的厚度，测量误差小且操作便捷，合理可行；
④100000张纸数量过多，收集难度大，测量总厚度也不方便，操作成本高，不可行。
因此最合理且可行的是③。
【答案】
③
【知识点】
累积法测微小长度、长度测量误差控制
【点评】
本题结合实际测量场景，考查微小长度的特殊测量方法的应用，需要学生兼顾测量精度和操作可行性判断最优方案，贴合生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.8
要测量1张纸的厚度，首先明确1张纸厚度极小，远小于三角尺的分度值，直接测量或测量少量纸张时误差极大；若测量的纸张数量过多，又会存在收集难、测量不便的问题。因此解题时要结合测量精度和操作可行性两个维度，选择数量适中的纸张用累积法测量，再计算单张厚度即可。
【解析】
对四个观点逐一分析：
①1张纸的厚度远小于三角尺的最小分度值，直接测量误差极大，无法得到准确结果，不可行；
②2张纸的总厚度仍然很小，测量误差依旧较大，结果不准确，不合理；
③50张同类型纸的总厚度足够大，可使用三角尺准确测出总厚度，再用总厚度除以50就能得到1张纸的厚度，测量误差小且操作便捷，合理可行；
④100000张纸数量过多，收集难度大，测量总厚度也不方便，操作成本高，不可行。
因此最合理且可行的是③。
【答案】
③
【知识点】
累积法测微小长度、长度测量误差控制
【点评】
本题结合实际测量场景，考查微小长度的特殊测量方法的应用，需要学生兼顾测量精度和操作可行性判断最优方案，贴合生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.8
15. 传统文化 杨辉三角 如图所示的数表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫作杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全表第四行空缺的数字是
3
。答案
15.3
解析
【分析】
解决本题首先需要观察杨辉三角已给出的数字，总结数字变化的规律：每一行的首尾数字都是1，中间的每个数字等于它上一行相邻两个数字的和。再找到空缺位置对应的上一行的两个相邻数字，相加即可得到结果。
【解析】
观察杨辉三角的数字排列特征：
1. 先验证规律：第三行的数字2，恰好等于上一行相邻的两个1相加，即$1+1=2$，其余已知数字也符合“除首尾外，每个数字等于上一行相邻两数之和”的规律。
2. 第四行空缺的位置，对应的上一行（第三行）相邻的两个数字是1和2，因此空缺的数字为$1+2=3$。
【答案】
3
【知识点】
数字规律探究；杨辉三角的特征
【点评】
本题依托我国古代数学成就杨辉三角设题，既渗透了传统文化，又考查了学生观察、归纳数字规律的能力，解题关键是准确找到相邻行数字的运算关系。
【难度系数】
0.8
解决本题首先需要观察杨辉三角已给出的数字，总结数字变化的规律：每一行的首尾数字都是1，中间的每个数字等于它上一行相邻两个数字的和。再找到空缺位置对应的上一行的两个相邻数字，相加即可得到结果。
【解析】
观察杨辉三角的数字排列特征：
1. 先验证规律：第三行的数字2，恰好等于上一行相邻的两个1相加，即$1+1=2$，其余已知数字也符合“除首尾外，每个数字等于上一行相邻两数之和”的规律。
2. 第四行空缺的位置，对应的上一行（第三行）相邻的两个数字是1和2，因此空缺的数字为$1+2=3$。
【答案】
3
【知识点】
数字规律探究；杨辉三角的特征
【点评】
本题依托我国古代数学成就杨辉三角设题，既渗透了传统文化，又考查了学生观察、归纳数字规律的能力，解题关键是准确找到相邻行数字的运算关系。
【难度系数】
0.8
16.直线上有2025个点，我们进行如下操作：
在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有
在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有
16 193
个点。答案
16.16 193
解析
【分析】
解题时先明确每次插点的数量和原有总点数的关系：直线上有n个点时，相邻点的间隔数为n-1，每次操作在每个间隔插入1个点，即插入n-1个点，因此操作后总点数=原有点数+插入点数=2n-1。我们按照这个规律依次计算3次操作后的总点数即可。
【解析】
初始时直线上共有2025个点：
1. 第1次操作后，总点数为：$2×2025 -1 = 4050 -1 = 4049$（个）
2. 第2次操作后，总点数为：$2×4049 -1 = 8098 -1 = 8097$（个）
3. 第3次操作后，总点数为：$2×8097 -1 = 16194 -1 = 16193$（个）
【答案】
16193
【知识点】
间隔问题、规律探究、整数四则运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题关键是先推导得出每次操作后总点数的变化公式，再逐步计算即可，计算时要注意运算准确性，避免算错操作次数。
【难度系数】
0.7
解题时先明确每次插点的数量和原有总点数的关系：直线上有n个点时，相邻点的间隔数为n-1，每次操作在每个间隔插入1个点，即插入n-1个点，因此操作后总点数=原有点数+插入点数=2n-1。我们按照这个规律依次计算3次操作后的总点数即可。
【解析】
初始时直线上共有2025个点：
1. 第1次操作后，总点数为：$2×2025 -1 = 4050 -1 = 4049$（个）
2. 第2次操作后，总点数为：$2×4049 -1 = 8098 -1 = 8097$（个）
3. 第3次操作后，总点数为：$2×8097 -1 = 16194 -1 = 16193$（个）
【答案】
16193
【知识点】
间隔问题、规律探究、整数四则运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题关键是先推导得出每次操作后总点数的变化公式，再逐步计算即可，计算时要注意运算准确性，避免算错操作次数。
【难度系数】
0.7
17.如图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字.电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2025次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是
3
.答案
17.3
解析
【分析】
首先观察图形可知，12个数字围成封闭圆圈，电子跳蚤每跳12次就会回到起点“0”的位置，属于周期为12的周期问题。解题时先计算2025次里包含多少个完整的周期，余下多少次，再根据逆时针跳转的规则，从0开始逆时针数余下的次数，就能得到最终落点的数字。
【解析】
解：由题意得，电子跳蚤的跳转周期为12，即每跳12次回到标有0的圆圈。
计算2025除以12的商和余数：
$2025÷12=168······9$，即跳完168个完整周期后，还需要再跳9次。
从数字0开始逆时针跳转计数：跳1次到11，跳2次到10，跳3次到9，跳4次到8，跳5次到7，跳6次到6，跳7次到5，跳8次到4，跳9次到3。
因此最终落在标有数字3的圆圈中。
【答案】
3
【知识点】
周期规律，带余除法
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是先确定循环周期，再利用带余除法求出余数，结合跳转方向计数即可得到结果，掌握周期问题的通用解题思路就能快速作答。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知，12个数字围成封闭圆圈，电子跳蚤每跳12次就会回到起点“0”的位置，属于周期为12的周期问题。解题时先计算2025次里包含多少个完整的周期，余下多少次，再根据逆时针跳转的规则，从0开始逆时针数余下的次数，就能得到最终落点的数字。
【解析】
解：由题意得，电子跳蚤的跳转周期为12，即每跳12次回到标有0的圆圈。
计算2025除以12的商和余数：
$2025÷12=168······9$，即跳完168个完整周期后，还需要再跳9次。
从数字0开始逆时针跳转计数：跳1次到11，跳2次到10，跳3次到9，跳4次到8，跳5次到7，跳6次到6，跳7次到5，跳8次到4，跳9次到3。
因此最终落在标有数字3的圆圈中。
【答案】
3
【知识点】
周期规律，带余除法
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是先确定循环周期，再利用带余除法求出余数，结合跳转方向计数即可得到结果，掌握周期问题的通用解题思路就能快速作答。
【难度系数】
0.7
18. 甲、乙、丙三种不同的物体，在天平上的称重情况如图所示，那么这三种物体的质量从大到小的排列顺序是
（第18题）
甲＞乙＞丙
。（第18题）答案
18.甲＞乙＞丙
解析
【分析】
解题时先从状态明确的天平入手：首先看第一个平衡的天平，利用平衡时左右质量相等的特点，推导乙和丙的质量关系；再看第二个倾斜的天平，利用“天平下沉一侧质量更大”的特点，推导甲和乙的质量关系，最后整合两组关系就能得到三者的质量排序。
【解析】
第一步：分析第一个平衡天平的质量关系
天平左侧总质量为3个丙的质量和，右侧为1个丙和1个乙的质量和，天平平衡说明两侧质量相等，可得：
$3m_丙 = m_丙 + m_乙$
根据等式的性质，两边同时减去$m_丙$，得$m_乙 = 2m_丙$，因此$m_乙 ＞ m_丙$。
第二步：分析第二个倾斜天平的质量关系
天平左侧放置甲，右侧放置乙，天平向左侧下沉，说明左侧质量更大，可得：$m_甲 ＞ m_乙$。
第三步：整合关系
结合以上两个结论，可得三者质量从大到小的顺序。
【答案】
甲＞乙＞丙
【知识点】
等式的性质；大小比较；天平称重原理
【点评】
本题结合天平的实际使用考查逻辑推理能力，解题的核心是准确从天平的不同状态中提炼出等量或不等量关系，整体思路清晰，容易上手。
【难度系数】
0.8
解题时先从状态明确的天平入手：首先看第一个平衡的天平，利用平衡时左右质量相等的特点，推导乙和丙的质量关系；再看第二个倾斜的天平，利用“天平下沉一侧质量更大”的特点，推导甲和乙的质量关系，最后整合两组关系就能得到三者的质量排序。
【解析】
第一步：分析第一个平衡天平的质量关系
天平左侧总质量为3个丙的质量和，右侧为1个丙和1个乙的质量和，天平平衡说明两侧质量相等，可得：
$3m_丙 = m_丙 + m_乙$
根据等式的性质，两边同时减去$m_丙$，得$m_乙 = 2m_丙$，因此$m_乙 ＞ m_丙$。
第二步：分析第二个倾斜天平的质量关系
天平左侧放置甲，右侧放置乙，天平向左侧下沉，说明左侧质量更大，可得：$m_甲 ＞ m_乙$。
第三步：整合关系
结合以上两个结论，可得三者质量从大到小的顺序。
【答案】
甲＞乙＞丙
【知识点】
等式的性质；大小比较；天平称重原理
【点评】
本题结合天平的实际使用考查逻辑推理能力，解题的核心是准确从天平的不同状态中提炼出等量或不等量关系，整体思路清晰，容易上手。
【难度系数】
0.8
三、解答题
19. 如图是一个三角形形状的地块.如果要将它分成4个面积相等的部分,请在图上画出分割线.(至少用2种方法)
19. 如图是一个三角形形状的地块.如果要将它分成4个面积相等的部分,请在图上画出分割线.(至少用2种方法)
答案
19.答案不唯一，如图所示：
解析
【分析】
要将三角形分成4个面积相等的部分，核心依据是等底等高的三角形面积相等，可从两个方向思考解题：①将三角形的某一条边4等分，等分点与对顶点连接后，得到的4个小三角形同高、底相等，面积自然相等；②先将原三角形二等分得到2个面积相等的小三角形，再将每个小三角形分别二等分，最终也能得到4个面积相等的部分，还有其他符合面积相等条件的分割思路也可使用。
【解析】
方法1：选择三角形的任意一条边，将其平均分成4段，得到3个分点，分别将这3个分点与这条边相对的顶点连接。4个小三角形的高均为原三角形这条边上的高，底的长度均为原边长的$\frac{1}{4}$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，4个小三角形的面积均为原三角形的$\frac{1}{4}$，符合要求，对应参考图(1)。
方法2：先取三角形任意一条边的中点，将中点与对顶点连接，得到2个面积相等的大三角形；再分别取这2个大三角形的任意一条边的中点，与各自对顶点连接，最终得到4个面积相等的小三角形，每个面积为原三角形的$\frac{1}{4}$，符合要求，对应参考图(2)。
除此之外还有其他合理分割方法，答案不唯一，对应参考图(3)也属于符合要求的分割方案。
【答案】
答案不唯一，如图所示：
【知识点】
三角形面积公式；等底等高的三角形面积相等
【点评】
本题属于开放性作图题，核心是灵活运用三角形面积的相关性质设计分割方案，解题时只要抓住面积相等的核心条件，就能拓展出多种分割方法，能够锻炼发散思维和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
要将三角形分成4个面积相等的部分，核心依据是等底等高的三角形面积相等，可从两个方向思考解题：①将三角形的某一条边4等分，等分点与对顶点连接后，得到的4个小三角形同高、底相等，面积自然相等；②先将原三角形二等分得到2个面积相等的小三角形，再将每个小三角形分别二等分，最终也能得到4个面积相等的部分，还有其他符合面积相等条件的分割思路也可使用。
【解析】
方法1：选择三角形的任意一条边，将其平均分成4段，得到3个分点，分别将这3个分点与这条边相对的顶点连接。4个小三角形的高均为原三角形这条边上的高，底的长度均为原边长的$\frac{1}{4}$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，4个小三角形的面积均为原三角形的$\frac{1}{4}$，符合要求，对应参考图(1)。
方法2：先取三角形任意一条边的中点，将中点与对顶点连接，得到2个面积相等的大三角形；再分别取这2个大三角形的任意一条边的中点，与各自对顶点连接，最终得到4个面积相等的小三角形，每个面积为原三角形的$\frac{1}{4}$，符合要求，对应参考图(2)。
除此之外还有其他合理分割方法，答案不唯一，对应参考图(3)也属于符合要求的分割方案。
【答案】
答案不唯一，如图所示：
【知识点】
三角形面积公式；等底等高的三角形面积相等
【点评】
本题属于开放性作图题，核心是灵活运用三角形面积的相关性质设计分割方案，解题时只要抓住面积相等的核心条件，就能拓展出多种分割方法，能够锻炼发散思维和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
20.如图,要在竖直高AC为2米,水平宽BC为8米的楼梯表面铺地毯,求地毯的长度至少需要多少米.
答案
20.由题意可知，地毯的水平长度与BC的长度相等，垂直长度与AC的长度相等，所以地毯的长度至少需要8+2=10(米).
解析
【分析】
要计算楼梯表面铺地毯的最小长度，可利用平移的思路思考：楼梯表面由每级台阶的水平面和竖直面组成，把所有台阶的水平面向下平移，总长度刚好和BC的长度相等；把所有台阶的竖直面向右平移，总长度刚好和AC的长度相等。因此地毯总长度就是水平部分总长与竖直部分总长的和，代入已知的BC、AC长度计算即可。
【解析】
解：根据平移的性质，所有台阶的水平部分总长度等于水平宽BC的长度，为8米；所有台阶的竖直部分总长度等于竖直高AC的长度，为2米。
因此地毯的最小长度为两部分长度之和：$8+2=10$（米）。
【答案】
10米
【知识点】
平移的应用，线段和的计算
【点评】
本题是平移知识在实际生活中的典型应用，通过平移可以将分散的不规则线段转化为已知长度的整段线段，简化计算过程，能锻炼将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.9
要计算楼梯表面铺地毯的最小长度，可利用平移的思路思考：楼梯表面由每级台阶的水平面和竖直面组成，把所有台阶的水平面向下平移，总长度刚好和BC的长度相等；把所有台阶的竖直面向右平移，总长度刚好和AC的长度相等。因此地毯总长度就是水平部分总长与竖直部分总长的和，代入已知的BC、AC长度计算即可。
【解析】
解：根据平移的性质，所有台阶的水平部分总长度等于水平宽BC的长度，为8米；所有台阶的竖直部分总长度等于竖直高AC的长度，为2米。
因此地毯的最小长度为两部分长度之和：$8+2=10$（米）。
【答案】
10米
【知识点】
平移的应用，线段和的计算
【点评】
本题是平移知识在实际生活中的典型应用，通过平移可以将分散的不规则线段转化为已知长度的整段线段，简化计算过程，能锻炼将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.9
