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21. 中考新考法 证明代数结论 我们可以利用数、形来表示数量关系.
(1)对于“$1+2+3+4+5+4+3+2+1=25$”,用下列图形
(2)对于“$2+4+6+8=20$”,请画出可直观得到此结论的图形；
(3)计算$8+4+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=$
(1)对于“$1+2+3+4+5+4+3+2+1=25$”,用下列图形
②
(填正确的序号)可以最直观得到结论；(2)对于“$2+4+6+8=20$”,请画出可直观得到此结论的图形；
(3)计算$8+4+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=$
$15\frac{3}{4}$
,请画出图形,并结合图形说明该结论成立.答案
21.(1)②
(2)(答案不唯一)
方法1:可直观得到结论的图形如图(1)所示；
方法2:可直观得到结论的图形如图(2)所示。
(3)$15\frac{3}{4}$
示意图如图(3)所示。
画边长为4的正方形，依次分割其面积的一半，即$8,4,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{4}$，最后剩余面积的$\frac{1}{4}$，则有$8+4+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=16-\frac{1}{4}=15\frac{3}{4}$。
解析
【分析】
(1) 先观察算式特征：$1+2+3+4+5+4+3+2+1$是金字塔型求和，结果等于中间项5的平方，即$5^2=25$，对应边长为5的正方形总面积。我们需要对比两个5×5网格，找到能直观对应算式各项、且各部分和为总面积的图形，观察可知图②的阴影沿斜向计数，数量刚好依次对应算式的各个加数，因此选②。
(2) 算式$2+4+6+8=20$，可将其变形为$2×(1+2+3+4)$，可以通过构造行数为2、列数为$1+2+3+4=10$的网格，按列分组涂色，每组涂色面积分别对应2、4、6、8，总和就是20，画法不唯一，只要能对应各加数即可。
(3) 算式$8+4+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$可借助正方形面积分割来计算：画边长为4的正方形，总面积为16，每次取剩余面积的一半，得到的面积依次为8、4、2、1、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$，最后剩余面积为$\frac{1}{4}$，因此总和等于总面积减去剩余面积，即可得到结果。
【解析】
(1) 计算算式得$1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5^2$，对应5×5网格的总面积。观察图②，沿从左上到右下的斜向数阴影块数，依次为1、2、3、4、5、4、3、2、1，刚好和算式各项完全对应，总和为总面积25，因此选②。
(2) 构造2行10列的网格，将10列按1列、2列、3列、4列分组，每组所有格子涂色，则每组涂色块数依次为$2×1=2$、$2×2=4$、$2×3=6$、$2×4=8$，总涂色块数为$2+4+6+8=20$；也可构造其他符合数量对应关系的图形。
(3) 画边长为4的正方形，其面积为$4×4=16$：
第一次分割正方形的一半，面积为8，剩余面积为8；
第二次分割剩余面积的一半，面积为4，剩余面积为4；
第三次分割剩余面积的一半，面积为2，剩余面积为2；
第四次分割剩余面积的一半，面积为1，剩余面积为1；
第五次分割剩余面积的一半，面积为$\frac{1}{2}$，剩余面积为$\frac{1}{2}$；
第六次分割剩余面积的一半，面积为$\frac{1}{4}$，剩余面积为$\frac{1}{4}$。
所有分割出的面积和为$16-\frac{1}{4}=15\frac{3}{4}$，即$8+4+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=15\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $\boxed{②}$
(2) 画法不唯一，示例：
(3) $\boxed{15\frac{3}{4}}$
示意图：
说明：画边长为4的正方形，依次分割其面积的一半，即$8,4,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{4}$，最后剩余面积为$\frac{1}{4}$，则有$8+4+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=16-\frac{1}{4}=15\frac{3}{4}$。
【知识点】
数形结合思想；有理数的加法；图形面积计算
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，将代数求和问题转化为直观的图形面积问题，简化了计算过程，考查了学生对数量关系和图形特征的转化能力，题型灵活，能帮助学生理解数与形的内在联系。
【难度系数】
0.7
(1) 先观察算式特征：$1+2+3+4+5+4+3+2+1$是金字塔型求和，结果等于中间项5的平方，即$5^2=25$，对应边长为5的正方形总面积。我们需要对比两个5×5网格，找到能直观对应算式各项、且各部分和为总面积的图形，观察可知图②的阴影沿斜向计数，数量刚好依次对应算式的各个加数，因此选②。
(2) 算式$2+4+6+8=20$，可将其变形为$2×(1+2+3+4)$，可以通过构造行数为2、列数为$1+2+3+4=10$的网格，按列分组涂色，每组涂色面积分别对应2、4、6、8，总和就是20，画法不唯一，只要能对应各加数即可。
(3) 算式$8+4+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$可借助正方形面积分割来计算：画边长为4的正方形，总面积为16，每次取剩余面积的一半，得到的面积依次为8、4、2、1、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$，最后剩余面积为$\frac{1}{4}$，因此总和等于总面积减去剩余面积，即可得到结果。
【解析】
(1) 计算算式得$1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5^2$，对应5×5网格的总面积。观察图②，沿从左上到右下的斜向数阴影块数，依次为1、2、3、4、5、4、3、2、1，刚好和算式各项完全对应，总和为总面积25，因此选②。
(2) 构造2行10列的网格，将10列按1列、2列、3列、4列分组，每组所有格子涂色，则每组涂色块数依次为$2×1=2$、$2×2=4$、$2×3=6$、$2×4=8$，总涂色块数为$2+4+6+8=20$；也可构造其他符合数量对应关系的图形。
(3) 画边长为4的正方形，其面积为$4×4=16$：
第一次分割正方形的一半，面积为8，剩余面积为8；
第二次分割剩余面积的一半，面积为4，剩余面积为4；
第三次分割剩余面积的一半，面积为2，剩余面积为2；
第四次分割剩余面积的一半，面积为1，剩余面积为1；
第五次分割剩余面积的一半，面积为$\frac{1}{2}$，剩余面积为$\frac{1}{2}$；
第六次分割剩余面积的一半，面积为$\frac{1}{4}$，剩余面积为$\frac{1}{4}$。
所有分割出的面积和为$16-\frac{1}{4}=15\frac{3}{4}$，即$8+4+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=15\frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $\boxed{②}$
(2) 画法不唯一，示例：
(3) $\boxed{15\frac{3}{4}}$
示意图：
说明：画边长为4的正方形，依次分割其面积的一半，即$8,4,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{4}$，最后剩余面积为$\frac{1}{4}$，则有$8+4+2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=16-\frac{1}{4}=15\frac{3}{4}$。
【知识点】
数形结合思想；有理数的加法；图形面积计算
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，将代数求和问题转化为直观的图形面积问题，简化了计算过程，考查了学生对数量关系和图形特征的转化能力，题型灵活，能帮助学生理解数与形的内在联系。
【难度系数】
0.7
22. 下面介绍一种“高速公路”问题.
如图(1)是一个高速公路网络系统,共有9条高速公路(线),沟通8个城市(点).为了方便起见,我们给它们标上了字母$a,b,c,d,e,f,g,m,n$,将1~9数字赋值到每个字母,使得连接每个城市的高速公路之和相等,且每个数字只能用一次.
(1)根据“洛书”将1~9填写在下表:
(2)让我们先把道路网改画成比较对称的图形(如图(2)),然后再观察下“高速公路”问题与“洛书”里的九宫格的异同之处,写出$a,b,c,d,e,f,g,m,n$的值.
如图(1)是一个高速公路网络系统,共有9条高速公路(线),沟通8个城市(点).为了方便起见,我们给它们标上了字母$a,b,c,d,e,f,g,m,n$,将1~9数字赋值到每个字母,使得连接每个城市的高速公路之和相等,且每个数字只能用一次.
(1)根据“洛书”将1~9填写在下表:
(2)让我们先把道路网改画成比较对称的图形(如图(2)),然后再观察下“高速公路”问题与“洛书”里的九宫格的异同之处,写出$a,b,c,d,e,f,g,m,n$的值.
答案
22.答案不唯一,如:(1)如表所示：
(2)$a=6,b=5,c=9,d=3,e=4,f=8,g=2,m=1,n=7$.
解析
【分析】
（1）第一问是填写三阶幻方（洛书），解题思路为：先计算1~9的总和，再求出每行的和（幻和），确定中间位置的数，再将剩余数字凑成和相等的数对，对应填写在相对位置即可完成幻方。
（2）第二问需要将幻方的9个数字对应赋值给9条高速公路，核心是利用幻方的和相等的特性，保证每个城市连接的道路数字之和相等，且1~9不重复使用，赋值方式不唯一，按对应关系写出一组符合要求的解即可。
【解析】
（1）首先计算1到9的总和：$1+2+3+\dots+9=45$，三阶幻方共3行，因此每行的和（幻和）为$45÷3=15$。
设中间数为$x$，中间数会在4条线（行、列、两条对角线）中出现，可得$4x+(45-x)=15×4$，解得$x=5$。
剩余数字可凑成和为10的数对：(1,9)、(2,8)、(3,7)、(4,6)，将数对填写在和中间位置相对的位置，即可得到符合要求的幻方。
（2）观察高速公路网络的结构，将九宫格的9个数字分别对应赋值给9条高速公路$a,b,c,d,e,f,g,m,n$，保证每个城市连接的道路数字之和相等，且1~9仅使用一次，即可得到一组解，验证可知给出的赋值满足要求。
【答案】
(1)
(2)答案不唯一，示例：$a=6,b=5,c=9,d=3,e=4,f=8,g=2,m=1,n=7$
【知识点】
三阶幻方、数字规律、赋值探究
【点评】
本题结合传统“洛书”知识设计，既考查了三阶幻方的基本性质，也考查了将数学规律迁移到实际问题的应用能力，题目开放性较强，能有效锻炼发散思维。
【难度系数】
0.7
（1）第一问是填写三阶幻方（洛书），解题思路为：先计算1~9的总和，再求出每行的和（幻和），确定中间位置的数，再将剩余数字凑成和相等的数对，对应填写在相对位置即可完成幻方。
（2）第二问需要将幻方的9个数字对应赋值给9条高速公路，核心是利用幻方的和相等的特性，保证每个城市连接的道路数字之和相等，且1~9不重复使用，赋值方式不唯一，按对应关系写出一组符合要求的解即可。
【解析】
（1）首先计算1到9的总和：$1+2+3+\dots+9=45$，三阶幻方共3行，因此每行的和（幻和）为$45÷3=15$。
设中间数为$x$，中间数会在4条线（行、列、两条对角线）中出现，可得$4x+(45-x)=15×4$，解得$x=5$。
剩余数字可凑成和为10的数对：(1,9)、(2,8)、(3,7)、(4,6)，将数对填写在和中间位置相对的位置，即可得到符合要求的幻方。
（2）观察高速公路网络的结构，将九宫格的9个数字分别对应赋值给9条高速公路$a,b,c,d,e,f,g,m,n$，保证每个城市连接的道路数字之和相等，且1~9仅使用一次，即可得到一组解，验证可知给出的赋值满足要求。
【答案】
(1)
(2)答案不唯一，示例：$a=6,b=5,c=9,d=3,e=4,f=8,g=2,m=1,n=7$
【知识点】
三阶幻方、数字规律、赋值探究
【点评】
本题结合传统“洛书”知识设计，既考查了三阶幻方的基本性质，也考查了将数学规律迁移到实际问题的应用能力，题目开放性较强，能有效锻炼发散思维。
【难度系数】
0.7
23.(1)如图,两个半径为1的圆有一部分互相重叠,其重叠部分的面积是其中一个圆的面积的$\frac{1}{4}$,求图中阴影部分的面积.
(2)利用上述方法,解决下列新问题:七年级六班有10人参加学校的新生运动会,15人参加新生足球赛,其中有7人同时参加学校的新生运动会和新生足球赛.那么有多少人只参加学校的新生运动会或新生足球赛?
(2)利用上述方法,解决下列新问题:七年级六班有10人参加学校的新生运动会,15人参加新生足球赛,其中有7人同时参加学校的新生运动会和新生足球赛.那么有多少人只参加学校的新生运动会或新生足球赛?
答案
23.(1)$\frac{3}{2}π$ (2)11人
解析
【分析】
(1) 求解阴影面积时，首先明确阴影部分是两个圆分别减去中间重叠的空白区域后的总面积。第一步先计算单个圆的面积，再根据重叠部分与单个圆的面积关系求出重叠面积，最后用两个圆的总面积减去2倍的重叠面积（两个圆各有一块重叠区域为空白，需分别扣除）即可得到阴影面积。
(2) 第(2)题和第(1)题的重叠问题思路一致：可分别计算只参加运动会、只参加足球赛的人数，再将两类人数相加，就能得到只参加单项比赛的总人数。
【解析】
(1) 已知圆的半径$r=1$，单个圆的面积：
$S_{圆}=π r^2=π × 1^2=π$
由题意得重叠部分面积：$S_{重叠}=\frac{1}{4}S_{圆}=\frac{1}{4}π$
阴影部分面积 = 两个圆的总面积 - 2×重叠部分面积
$S_{阴影}=2π - 2× \frac{1}{4}π=2π-\frac{1}{2}π=\frac{3}{2}π$
(2) 只参加新生运动会的人数：$10-7=3$（人）
只参加新生足球赛的人数：$15-7=8$（人）
只参加其中一项的总人数：$3+8=11$（人）
【答案】
(1)$\frac{3}{2}π$；(2)11人
【知识点】
圆的面积计算、容斥原理、重叠问题应用
【点评】
本题将几何图形的重叠计算和实际生活的人数统计问题结合，需要学生掌握重叠部分的处理逻辑，能很好地锻炼知识迁移和举一反三的能力，理清重复部分需要扣除的次数即可快速解题。
【难度系数】
0.7
(1) 求解阴影面积时，首先明确阴影部分是两个圆分别减去中间重叠的空白区域后的总面积。第一步先计算单个圆的面积，再根据重叠部分与单个圆的面积关系求出重叠面积，最后用两个圆的总面积减去2倍的重叠面积（两个圆各有一块重叠区域为空白，需分别扣除）即可得到阴影面积。
(2) 第(2)题和第(1)题的重叠问题思路一致：可分别计算只参加运动会、只参加足球赛的人数，再将两类人数相加，就能得到只参加单项比赛的总人数。
【解析】
(1) 已知圆的半径$r=1$，单个圆的面积：
$S_{圆}=π r^2=π × 1^2=π$
由题意得重叠部分面积：$S_{重叠}=\frac{1}{4}S_{圆}=\frac{1}{4}π$
阴影部分面积 = 两个圆的总面积 - 2×重叠部分面积
$S_{阴影}=2π - 2× \frac{1}{4}π=2π-\frac{1}{2}π=\frac{3}{2}π$
(2) 只参加新生运动会的人数：$10-7=3$（人）
只参加新生足球赛的人数：$15-7=8$（人）
只参加其中一项的总人数：$3+8=11$（人）
【答案】
(1)$\frac{3}{2}π$；(2)11人
【知识点】
圆的面积计算、容斥原理、重叠问题应用
【点评】
本题将几何图形的重叠计算和实际生活的人数统计问题结合，需要学生掌握重叠部分的处理逻辑，能很好地锻炼知识迁移和举一反三的能力，理清重复部分需要扣除的次数即可快速解题。
【难度系数】
0.7
