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一、选择题
1. 下列对“$x$是$a$的平方根”表示正确的是(
A.若$x^2=a$, 则$x=\sqrt{a}$
B.若$x^2=a$, 则$x=\pm\sqrt{a}$
C.若$a^2=x$, 则$a=\sqrt{x}$
D.若$a^2=x$, 则$a=\pm\sqrt{x}$
1. 下列对“$x$是$a$的平方根”表示正确的是(
B
).A.若$x^2=a$, 则$x=\sqrt{a}$
B.若$x^2=a$, 则$x=\pm\sqrt{a}$
C.若$a^2=x$, 则$a=\sqrt{x}$
D.若$a^2=x$, 则$a=\pm\sqrt{x}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确题干“x是a的平方根”的含义：根据平方根的定义，若x是a的平方根，等价于x的平方等于a，也就是$x^2=a$，据此先排除不符合前提的选项；再结合平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，其表示为$\pm\sqrt{a}$，区分平方根和算术平方根的不同表示，最终选出正确选项。
【解析】
第一步：翻译题干含义。“x是a的平方根”满足的条件是$x^2=a$，因此选项中前提为$a^2=x$的C、D描述的是“a是x的平方根”，与题干不符，直接排除C、D。
第二步：判断平方根的表示。根据平方根的概念，若$x^2=a$（$a≥0$），则a的平方根有两个，分别为正的算术平方根$\sqrt{a}$和负的平方根$-\sqrt{a}$，合写为$x=\pm\sqrt{a}$。选项A仅写出了算术平方根，表述不完整，错误；选项B表述正确。
【答案】
B
【知识点】
平方根的定义，平方根的表示，算术平方根的概念
【点评】
本题是平方根的基础概念题，易错点有两个：一是容易混淆两个数的对应关系，搞反谁是谁的平方根；二是混淆平方根和算术平方根的表示，漏写负的平方根，掌握核心概念就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确题干“x是a的平方根”的含义：根据平方根的定义，若x是a的平方根，等价于x的平方等于a，也就是$x^2=a$，据此先排除不符合前提的选项；再结合平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，其表示为$\pm\sqrt{a}$，区分平方根和算术平方根的不同表示，最终选出正确选项。
【解析】
第一步：翻译题干含义。“x是a的平方根”满足的条件是$x^2=a$，因此选项中前提为$a^2=x$的C、D描述的是“a是x的平方根”，与题干不符，直接排除C、D。
第二步：判断平方根的表示。根据平方根的概念，若$x^2=a$（$a≥0$），则a的平方根有两个，分别为正的算术平方根$\sqrt{a}$和负的平方根$-\sqrt{a}$，合写为$x=\pm\sqrt{a}$。选项A仅写出了算术平方根，表述不完整，错误；选项B表述正确。
【答案】
B
【知识点】
平方根的定义，平方根的表示，算术平方根的概念
【点评】
本题是平方根的基础概念题，易错点有两个：一是容易混淆两个数的对应关系，搞反谁是谁的平方根；二是混淆平方根和算术平方根的表示，漏写负的平方根，掌握核心概念就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
2. 16 的平方根是(
A.2
B.-4
C.4
D.±4
D
).A.2
B.-4
C.4
D.±4
答案
D
解析
【分析】
首先回忆平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根。其次明确正数有两个互为相反数的平方根，不能只考虑正数的情况。接下来计算哪些数的平方等于16，即可得出16的平方根，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$叫做$a$的平方根。
因为$4^2=16$，$(-4)^2=16$，
所以16的平方根是$\pm4$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；正数平方根的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查对平方根概念的理解，解题时注意区分平方根和算术平方根，避免遗漏负的平方根出现错选。
【难度系数】
0.85
首先回忆平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根。其次明确正数有两个互为相反数的平方根，不能只考虑正数的情况。接下来计算哪些数的平方等于16，即可得出16的平方根，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$叫做$a$的平方根。
因为$4^2=16$，$(-4)^2=16$，
所以16的平方根是$\pm4$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；正数平方根的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查对平方根概念的理解，解题时注意区分平方根和算术平方根，避免遗漏负的平方根出现错选。
【难度系数】
0.85
3. 11 的平方根是(
A.$\pm\sqrt{11}$
B.$\sqrt{11}$
C.$-\sqrt{11}$
D.11
A
).A.$\pm\sqrt{11}$
B.$\sqrt{11}$
C.$-\sqrt{11}$
D.11
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。其次要明确正数平方根的特征：正数有两个平方根，二者互为相反数。我们只需要找到平方后等于11的数，再对应选项判断即可。
【解析】
根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根。
因为$(±\sqrt{11})^2=11$，所以11的平方根是$±\sqrt{11}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.平方根的定义
2.正数平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是区分平方根和算术平方根，不要遗漏正数的负平方根，避免错选B选项。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。其次要明确正数平方根的特征：正数有两个平方根，二者互为相反数。我们只需要找到平方后等于11的数，再对应选项判断即可。
【解析】
根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根。
因为$(±\sqrt{11})^2=11$，所以11的平方根是$±\sqrt{11}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.平方根的定义
2.正数平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是区分平方根和算术平方根，不要遗漏正数的负平方根，避免错选B选项。
【难度系数】
0.9
4.若$3a-4$和$12-5a$是一个正数的两个平方根，则这个正数的值为(
A.4
B.64
C.4或8
D.4或64
B
).A.4
B.64
C.4或8
D.4或64
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆正数平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，和为0。因此我们可以利用这一性质列关于a的一元一次方程，求出a的值后，代入任意一个平方根，再将其平方即可得到这个正数。注意不要错误认为两个平方根相等，相等是0的平方根的特征，不符合本题“正数”的前提。
【解析】
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数
∴ 两个平方根的和为0，可列方程：
$\begin{aligned}3a-4 + 12-5a &= 0 \\-2a +8 &=0 \\-2a &= -8 \\a &=4\end{aligned}$
将$a=4$代入$3a-4$得：$3×4 -4=8$
则这个正数为$8^2=64$
【答案】
B
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程；乘方运算
【点评】
本题是平方根章节的典型基础题，核心考查正数平方根的性质，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数，通过建立方程求解参数后计算原正数，解题时需注意区分正数和0的平方根的差异，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正数平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，和为0。因此我们可以利用这一性质列关于a的一元一次方程，求出a的值后，代入任意一个平方根，再将其平方即可得到这个正数。注意不要错误认为两个平方根相等，相等是0的平方根的特征，不符合本题“正数”的前提。
【解析】
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数
∴ 两个平方根的和为0，可列方程：
$\begin{aligned}3a-4 + 12-5a &= 0 \\-2a +8 &=0 \\-2a &= -8 \\a &=4\end{aligned}$
将$a=4$代入$3a-4$得：$3×4 -4=8$
则这个正数为$8^2=64$
【答案】
B
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程；乘方运算
【点评】
本题是平方根章节的典型基础题，核心考查正数平方根的性质，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数，通过建立方程求解参数后计算原正数，解题时需注意区分正数和0的平方根的差异，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
5. 跨学科 电流电阻 电流通过导线时会产生热量，满足$Q=I^2Rt$，其中Q为产生的热量(单位:J)，I为电流(单位:A)，R为导线电阻(单位:Ω)，t为通电时间(单位:s)，若导线电阻为5Ω，1 s时间导线产生30 J的热量，则通过的电流I为(
A.2.4 A
B.$\sqrt{6}$ A
C.4.8 A
D.$5\sqrt{6}$ A
B
).A.2.4 A
B.$\sqrt{6}$ A
C.4.8 A
D.$5\sqrt{6}$ A
答案
B
解析
【分析】
这是跨学科的公式应用类题目，解题思路清晰：首先题目给出了热量计算公式$Q=I^2Rt$，同时明确了Q、R、t三个量的具体数值，要求电流I。第一步先把已知数值代入公式，得到关于$I^2$的等式；第二步根据平方根的定义求解，再结合电流为正数的实际意义，取正的算术平方根即可得到结果。
【解析】
已知$R=5\Omega$，$t=1\mathrm{s}$，$Q=30\mathrm{J}$，将三个已知量代入公式$Q=I^2Rt$可得：
$\begin{aligned}30&=I^2×5×1\\5I^2&=30\\I^2&=6\end{aligned}$
由于电流I为正数，因此I是6的算术平方根，即$I=\sqrt{6}\ \mathrm{A}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 算术平方根的应用
2. 代数式代入求值
【点评】
本题结合物理焦耳定律考查平方根的实际应用，解题关键是准确代入已知量计算，同时结合实际意义舍去不符合要求的负平方根，属于基础的应用类题目。
【难度系数】
0.8
这是跨学科的公式应用类题目，解题思路清晰：首先题目给出了热量计算公式$Q=I^2Rt$，同时明确了Q、R、t三个量的具体数值，要求电流I。第一步先把已知数值代入公式，得到关于$I^2$的等式；第二步根据平方根的定义求解，再结合电流为正数的实际意义，取正的算术平方根即可得到结果。
【解析】
已知$R=5\Omega$，$t=1\mathrm{s}$，$Q=30\mathrm{J}$，将三个已知量代入公式$Q=I^2Rt$可得：
$\begin{aligned}30&=I^2×5×1\\5I^2&=30\\I^2&=6\end{aligned}$
由于电流I为正数，因此I是6的算术平方根，即$I=\sqrt{6}\ \mathrm{A}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 算术平方根的应用
2. 代数式代入求值
【点评】
本题结合物理焦耳定律考查平方根的实际应用，解题关键是准确代入已知量计算，同时结合实际意义舍去不符合要求的负平方根，属于基础的应用类题目。
【难度系数】
0.8
6. 下列叙述错误的是(
A.－8是64的算术平方根
B.5是25的算术平方根
C.0.1是0.01的算术平方根
D.0.04的算术平方根是0.2
A
).A.－8是64的算术平方根
B.5是25的算术平方根
C.0.1是0.01的算术平方根
D.0.04的算术平方根是0.2
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要明确算术平方根的核心定义：如果一个非负数x的平方等于a，即x²=a，那么x叫做a的算术平方根，特别注意算术平方根的结果一定是非负数。接下来只需要逐一验证每个选项是否符合上述定义，找到表述错误的选项即可。
【解析】
根据算术平方根的定义：若非负数x满足x²=a，则x是a的算术平方根，算术平方根必为非负数。
对各选项逐一判断：
A选项：$(-8)^2=64$，但算术平方根要求为非负数，64的算术平方根是8，不是-8，该表述错误；
B选项：$5^2=25$，且5是正数，因此5是25的算术平方根，该表述正确；
C选项：$0.1^2=0.01$，且0.1是正数，因此0.1是0.01的算术平方根，该表述正确；
D选项：$0.2^2=0.04$，且0.2是正数，因此0.04的算术平方根是0.2，该表述正确。
题目要求选择错误的叙述，故选A。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易混淆算术平方根与平方根的符号要求，牢记算术平方根的结果为非负数即可快速判断正误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确算术平方根的核心定义：如果一个非负数x的平方等于a，即x²=a，那么x叫做a的算术平方根，特别注意算术平方根的结果一定是非负数。接下来只需要逐一验证每个选项是否符合上述定义，找到表述错误的选项即可。
【解析】
根据算术平方根的定义：若非负数x满足x²=a，则x是a的算术平方根，算术平方根必为非负数。
对各选项逐一判断：
A选项：$(-8)^2=64$，但算术平方根要求为非负数，64的算术平方根是8，不是-8，该表述错误；
B选项：$5^2=25$，且5是正数，因此5是25的算术平方根，该表述正确；
C选项：$0.1^2=0.01$，且0.1是正数，因此0.1是0.01的算术平方根，该表述正确；
D选项：$0.2^2=0.04$，且0.2是正数，因此0.04的算术平方根是0.2，该表述正确。
题目要求选择错误的叙述，故选A。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易混淆算术平方根与平方根的符号要求，牢记算术平方根的结果为非负数即可快速判断正误。
【难度系数】
0.8
7. 下列各数中，其算术平方根为小数的是（
A.1
B.4
C.5
D.9
C
）.A.1
B.4
C.5
D.9
答案
C
解析
【分析】
解题思路：首先明确算术平方根的定义，若一个正数x的平方等于a，那么x就是a的算术平方根。我们只需要分别计算四个选项对应数字的算术平方根，判断结果是否为小数，就能选出正确答案。
【解析】
根据算术平方根的定义，依次计算各选项的算术平方根：
A. 1的算术平方根为$\sqrt{1}=1$，1是整数，不符合题意；
B. 4的算术平方根为$\sqrt{4}=2$，2是整数，不符合题意；
C. 5的算术平方根为$\sqrt{5}$，由于$2^2=4＜5$，$3^2=9＞5$，因此$\sqrt{5}$的大小在2和3之间，是小数，符合题意；
D. 9的算术平方根为$\sqrt{9}=3$，3是整数，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的概念；算术平方根的计算
【点评】
本题属于算术平方根相关的基础题型，主要考查对算术平方根定义的理解和基础运算能力，逐一计算验证选项即可得出答案，解题门槛较低。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先明确算术平方根的定义，若一个正数x的平方等于a，那么x就是a的算术平方根。我们只需要分别计算四个选项对应数字的算术平方根，判断结果是否为小数，就能选出正确答案。
【解析】
根据算术平方根的定义，依次计算各选项的算术平方根：
A. 1的算术平方根为$\sqrt{1}=1$，1是整数，不符合题意；
B. 4的算术平方根为$\sqrt{4}=2$，2是整数，不符合题意；
C. 5的算术平方根为$\sqrt{5}$，由于$2^2=4＜5$，$3^2=9＞5$，因此$\sqrt{5}$的大小在2和3之间，是小数，符合题意；
D. 9的算术平方根为$\sqrt{9}=3$，3是整数，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的概念；算术平方根的计算
【点评】
本题属于算术平方根相关的基础题型，主要考查对算术平方根定义的理解和基础运算能力，逐一计算验证选项即可得出答案，解题门槛较低。
【难度系数】
0.9
8.若完全相同的4个正方形面积之和是100，
则正方形的边长是(
A.2
B.5
C.10
D.20
则正方形的边长是(
B
).A.2
B.5
C.10
D.20
答案
根据题意，得$\sqrt{100÷4}=\sqrt{25}=5$，则正方形的边长为5.故选B.
解析
【分析】
解题时可分两步思考：首先，已知4个完全相同的正方形总面积为100，先计算出单个正方形的面积；其次，正方形的面积等于边长的平方，且边长为正数，因此只需求出单个正方形面积的算术平方根，即可得到正方形的边长。
【解析】
第一步，计算单个正方形的面积：
4个正方形面积和为100，且4个正方形完全相同，因此单个正方形的面积为$100÷4=25$。
第二步，计算正方形的边长：
设正方形边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式$S=a^2$，可得$a=\sqrt{S}=\sqrt{25}=5$。
因此正方形的边长为5，对应选项B。
【答案】B
【知识点】
正方形面积计算；算术平方根的应用
【点评】
本题是基础题型，结合几何图形面积公式考察算术平方根的应用，解题时注意边长为正数，仅需取面积的正平方根即可。
【难度系数】
0.9
解题时可分两步思考：首先，已知4个完全相同的正方形总面积为100，先计算出单个正方形的面积；其次，正方形的面积等于边长的平方，且边长为正数，因此只需求出单个正方形面积的算术平方根，即可得到正方形的边长。
【解析】
第一步，计算单个正方形的面积：
4个正方形面积和为100，且4个正方形完全相同，因此单个正方形的面积为$100÷4=25$。
第二步，计算正方形的边长：
设正方形边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式$S=a^2$，可得$a=\sqrt{S}=\sqrt{25}=5$。
因此正方形的边长为5，对应选项B。
【答案】B
【知识点】
正方形面积计算；算术平方根的应用
【点评】
本题是基础题型，结合几何图形面积公式考察算术平方根的应用，解题时注意边长为正数，仅需取面积的正平方根即可。
【难度系数】
0.9
9. 若一个数的平方等于$\frac{9}{64}$，则这个数是
$\pm\frac{3}{8}$
。答案
$\pm\frac{3}{8}$
解析
【分析】
本题考查平方根的相关知识，解题思路如下：首先明确题目本质是求$\frac{9}{64}$的平方根；再回忆平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；最后找到平方后等于$\frac{9}{64}$的两个数即可，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
设这个数为$x$，根据题意可得：
$x^2=\frac{9}{64}$
因为$(\frac{3}{8})^2=\frac{9}{64}$，$(-\frac{3}{8})^2=\frac{9}{64}$
所以$x=\pm\frac{3}{8}$
【答案】
$\pm\frac{3}{8}$
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查对平方根概念的理解，解题的易错点是容易只考虑正数的情况，漏掉负数平方根，掌握正数的平方根有两个且互为相反数是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查平方根的相关知识，解题思路如下：首先明确题目本质是求$\frac{9}{64}$的平方根；再回忆平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；最后找到平方后等于$\frac{9}{64}$的两个数即可，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
设这个数为$x$，根据题意可得：
$x^2=\frac{9}{64}$
因为$(\frac{3}{8})^2=\frac{9}{64}$，$(-\frac{3}{8})^2=\frac{9}{64}$
所以$x=\pm\frac{3}{8}$
【答案】
$\pm\frac{3}{8}$
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查对平方根概念的理解，解题的易错点是容易只考虑正数的情况，漏掉负数平方根，掌握正数的平方根有两个且互为相反数是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10. 16 的算术平方根是
4
.答案
4
解析
【分析】
解题时首先要明确算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，且算术平方根一定是非负的。接下来我们只需要找到满足平方等于16的正数，就能得到16的算术平方根。
【解析】
根据算术平方根的定义：若正数$x$满足$x^2=a$（$a≥0$），则$x$是$a$的算术平方根。
因为$4^2=16$，且4是正数，所以16的算术平方根是4。
【答案】
4
【知识点】
算术平方根的概念
【点评】
本题是基础概念考察题，解题关键是牢记算术平方根的非负性，注意区分算术平方根和平方根的区别，避免混淆概念导致错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，且算术平方根一定是非负的。接下来我们只需要找到满足平方等于16的正数，就能得到16的算术平方根。
【解析】
根据算术平方根的定义：若正数$x$满足$x^2=a$（$a≥0$），则$x$是$a$的算术平方根。
因为$4^2=16$，且4是正数，所以16的算术平方根是4。
【答案】
4
【知识点】
算术平方根的概念
【点评】
本题是基础概念考察题，解题关键是牢记算术平方根的非负性，注意区分算术平方根和平方根的区别，避免混淆概念导致错误。
【难度系数】
0.9
11.$\sqrt{4}$的算术平方根是
$\sqrt{2}$
.答案
$\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先要明确运算对象：本题求的是$\sqrt{4}$的算术平方根，而非4的算术平方根，这是常见的易错点。解题分两步进行：第一步先化简计算出$\sqrt{4}$的结果，第二步再根据算术平方根的定义，求该结果的算术平方根即可。
【解析】
1. 先计算$\sqrt{4}$的值：
因为$2^2=4$，根据算术平方根的定义，可得$\sqrt{4}=2$。
2. 再求2的算术平方根：
根据算术平方根的定义，非负数2的非负平方根就是它的算术平方根，因此2的算术平方根为$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式化简
【点评】
本题是易混易错题，很多同学容易忽略先化简$\sqrt{4}$，直接求4的算术平方根错填为2，解题时要先理清所求的是哪个数的算术平方根再计算。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确运算对象：本题求的是$\sqrt{4}$的算术平方根，而非4的算术平方根，这是常见的易错点。解题分两步进行：第一步先化简计算出$\sqrt{4}$的结果，第二步再根据算术平方根的定义，求该结果的算术平方根即可。
【解析】
1. 先计算$\sqrt{4}$的值：
因为$2^2=4$，根据算术平方根的定义，可得$\sqrt{4}=2$。
2. 再求2的算术平方根：
根据算术平方根的定义，非负数2的非负平方根就是它的算术平方根，因此2的算术平方根为$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式化简
【点评】
本题是易混易错题，很多同学容易忽略先化简$\sqrt{4}$，直接求4的算术平方根错填为2，解题时要先理清所求的是哪个数的算术平方根再计算。
【难度系数】
0.6
12. 若一个数的算术平方根等于它的本身，则这个数是
0或1
。答案
0或1
解析
【分析】
首先明确算术平方根的定义：只有非负数才有算术平方根，因此所求的数一定是非负数。接下来根据题目的条件“算术平方根等于它本身”，我们可以设这个数为a（a≥0），列出等式√a=a，通过求解这个等式得到可能的数值，最后验证结果是否符合算术平方根的要求即可。
【解析】
设这个数为a，根据算术平方根的性质，a必须是非负数，即a≥0。
根据题意可列等式：$\sqrt{a}=a$
等式两边同时平方得：$a=a^2$
移项整理得：$a^2 - a=0$
提取公因式得：$a(a-1)=0$
解得$a=0$或$a=1$。
验证：0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，均符合题意。
【答案】
0或1
【知识点】
算术平方根的定义；算术平方根的非负性
【点评】
本题是基础概念考查题，解题时容易遗漏0这个结果，要注意牢记算术平方根的非负性，不要错误将负数纳入考虑范围。
【难度系数】
0.8
首先明确算术平方根的定义：只有非负数才有算术平方根，因此所求的数一定是非负数。接下来根据题目的条件“算术平方根等于它本身”，我们可以设这个数为a（a≥0），列出等式√a=a，通过求解这个等式得到可能的数值，最后验证结果是否符合算术平方根的要求即可。
【解析】
设这个数为a，根据算术平方根的性质，a必须是非负数，即a≥0。
根据题意可列等式：$\sqrt{a}=a$
等式两边同时平方得：$a=a^2$
移项整理得：$a^2 - a=0$
提取公因式得：$a(a-1)=0$
解得$a=0$或$a=1$。
验证：0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，均符合题意。
【答案】
0或1
【知识点】
算术平方根的定义；算术平方根的非负性
【点评】
本题是基础概念考查题，解题时容易遗漏0这个结果，要注意牢记算术平方根的非负性，不要错误将负数纳入考虑范围。
【难度系数】
0.8
13.已知$\sqrt{2x -1}=1$,则$x=$
1
.答案
1
解析
【分析】
本题可根据算术平方根的定义解题：如果一个非负数a的算术平方根为b，那么满足$a=b^2$，由此我们可以先将等式两边同时平方去掉根号，转化为熟悉的一元一次方程，求解后再代入原方程检验是否满足被开方数非负且等式成立即可。
【解析】
已知$\sqrt{2x -1}=1$，根据算术平方根的性质，等式两边同时平方可得：
$2x - 1 = 1^2$
即$2x - 1 = 1$
移项得：$2x = 1 + 1$
合并同类项得：$2x = 2$
系数化为1得：$x = 1$
检验：将$x=1$代入原方程左边，得$\sqrt{2×1 -1}=\sqrt{1}=1$，与右边相等，且被开方数$2x-1=1≥0$，符合要求。
【答案】
1
【知识点】
算术平方根的定义；一元一次方程的解法；根式方程验根
【点评】
本题属于基础题，核心考察算术平方根的性质，解题关键是通过平方运算将含根号的方程转化为整式方程求解，注意解完后要检验结果是否满足根号下的数非负且原等式成立，避免出现增根。
【难度系数】
0.9
本题可根据算术平方根的定义解题：如果一个非负数a的算术平方根为b，那么满足$a=b^2$，由此我们可以先将等式两边同时平方去掉根号，转化为熟悉的一元一次方程，求解后再代入原方程检验是否满足被开方数非负且等式成立即可。
【解析】
已知$\sqrt{2x -1}=1$，根据算术平方根的性质，等式两边同时平方可得：
$2x - 1 = 1^2$
即$2x - 1 = 1$
移项得：$2x = 1 + 1$
合并同类项得：$2x = 2$
系数化为1得：$x = 1$
检验：将$x=1$代入原方程左边，得$\sqrt{2×1 -1}=\sqrt{1}=1$，与右边相等，且被开方数$2x-1=1≥0$，符合要求。
【答案】
1
【知识点】
算术平方根的定义；一元一次方程的解法；根式方程验根
【点评】
本题属于基础题，核心考察算术平方根的性质，解题关键是通过平方运算将含根号的方程转化为整式方程求解，注意解完后要检验结果是否满足根号下的数非负且原等式成立，避免出现增根。
【难度系数】
0.9
14. 若$m,n$为实数，且$(m+4)^2 + \sqrt{n-5}=0$，则$(m+n)^2$的值为
1
。答案
1
解析
【分析】
解题核心是利用非负数的性质求解。我们已知一个实数的平方、算术平方根都属于非负数，当两个非负数相加的和为0时，这两个非负数必须都等于0。按照这个规律，我们先分别列方程求出m、n的取值，再代入代数式$(m+n)^2$计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because$ 任意实数的平方是非负数，算术平方根也是非负数
$\therefore (m+4)^2 ≥ 0$，$\sqrt{n-5} ≥ 0$
又$\because (m+4)^2 + \sqrt{n-5}=0$
$\therefore$ 仅当$(m+4)^2=0$且$\sqrt{n-5}=0$时，等式成立
即$m+4=0$，$n-5=0$
解得$m=-4$，$n=5$
$\therefore m+n=-4+5=1$
$\therefore (m+n)^2=1^2=1$
【答案】
1
【知识点】
平方的非负性，算术平方根的非负性，代数式求值
【点评】
本题是基础常考题型，核心考查非负数的运算性质，熟练掌握“若干个非负数的和为0，则每个非负数的取值都为0”这一规律，即可快速解答同类题型。
【难度系数】
0.9
解题核心是利用非负数的性质求解。我们已知一个实数的平方、算术平方根都属于非负数，当两个非负数相加的和为0时，这两个非负数必须都等于0。按照这个规律，我们先分别列方程求出m、n的取值，再代入代数式$(m+n)^2$计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because$ 任意实数的平方是非负数，算术平方根也是非负数
$\therefore (m+4)^2 ≥ 0$，$\sqrt{n-5} ≥ 0$
又$\because (m+4)^2 + \sqrt{n-5}=0$
$\therefore$ 仅当$(m+4)^2=0$且$\sqrt{n-5}=0$时，等式成立
即$m+4=0$，$n-5=0$
解得$m=-4$，$n=5$
$\therefore m+n=-4+5=1$
$\therefore (m+n)^2=1^2=1$
【答案】
1
【知识点】
平方的非负性，算术平方根的非负性，代数式求值
【点评】
本题是基础常考题型，核心考查非负数的运算性质，熟练掌握“若干个非负数的和为0，则每个非负数的取值都为0”这一规律，即可快速解答同类题型。
【难度系数】
0.9
15.如果一个正数的两个平方根分别为$3m+4$和$2-m$，那么这个数是
25
.答案
25
解析
【分析】
解题的核心突破口是牢记正数的平方根性质：一个正数的两个平方根互为相反数，二者相加和为0。我们首先利用这个性质列出关于m的一元一次方程，求解得到m的取值后，代入任意一个平方根的表达式，再将该平方根平方，即可求出对应的正数。
【解析】
解：
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数，
∴ 两个平方根的和为0，可列方程：
$\begin{aligned}3m+4 + (2 - m) &= 0 \\2m + 6 &= 0 \\2m &= -6 \\m &= -3\end{aligned}$
将$m=-3$代入$3m+4$，可得其中一个平方根为：$3×(-3)+4=-5$
因此这个正数为：$(-5)^2=25$
【答案】
25
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是平方根章节的常规基础题，解题关键是熟练掌握正数两个平方根互为相反数的性质，通过列方程求出参数后即可计算得到最终结果，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题的核心突破口是牢记正数的平方根性质：一个正数的两个平方根互为相反数，二者相加和为0。我们首先利用这个性质列出关于m的一元一次方程，求解得到m的取值后，代入任意一个平方根的表达式，再将该平方根平方，即可求出对应的正数。
【解析】
解：
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数，
∴ 两个平方根的和为0，可列方程：
$\begin{aligned}3m+4 + (2 - m) &= 0 \\2m + 6 &= 0 \\2m &= -6 \\m &= -3\end{aligned}$
将$m=-3$代入$3m+4$，可得其中一个平方根为：$3×(-3)+4=-5$
因此这个正数为：$(-5)^2=25$
【答案】
25
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是平方根章节的常规基础题，解题关键是熟练掌握正数两个平方根互为相反数的性质，通过列方程求出参数后即可计算得到最终结果，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
16. 若$x,y$为实数，且$|x+2|+\sqrt{y-3}=0$，则$(x+y)^{2025}$的值为
1
。答案
1
解析
【分析】
首先回忆非负数的性质：绝对值和算术平方根都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自都等于0。据此我们可以先分别列出关于x、y的一元一次方程，求解得到x和y的值，再代入式子$(x+y)^{2025}$计算最终结果即可。
【解析】
解：
∵ 绝对值具有非负性，算术平方根也具有非负性，即$|x+2|≥0$，$\sqrt{y-3}≥0$，
又
∵ $|x+2|+\sqrt{y-3}=0$，
∴ 只有当$|x+2|=0$且$\sqrt{y-3}=0$时，等式才成立，
即 $x+2=0$，$y-3=0$，
解得 $x=-2$，$y=3$，
将$x=-2$，$y=3$代入$(x+y)^{2025}$得：
$(x+y)^{2025}=(-2+3)^{2025}=1^{2025}=1$。
【答案】
1
【知识点】
绝对值的非负性，算术平方根的非负性，乘方运算
【点评】
本题是基础题型，核心考查非负数的性质，解题的关键是明确“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0”这一结论，代入计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.9
首先回忆非负数的性质：绝对值和算术平方根都是非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自都等于0。据此我们可以先分别列出关于x、y的一元一次方程，求解得到x和y的值，再代入式子$(x+y)^{2025}$计算最终结果即可。
【解析】
解：
∵ 绝对值具有非负性，算术平方根也具有非负性，即$|x+2|≥0$，$\sqrt{y-3}≥0$，
又
∵ $|x+2|+\sqrt{y-3}=0$，
∴ 只有当$|x+2|=0$且$\sqrt{y-3}=0$时，等式才成立，
即 $x+2=0$，$y-3=0$，
解得 $x=-2$，$y=3$，
将$x=-2$，$y=3$代入$(x+y)^{2025}$得：
$(x+y)^{2025}=(-2+3)^{2025}=1^{2025}=1$。
【答案】
1
【知识点】
绝对值的非负性，算术平方根的非负性，乘方运算
【点评】
本题是基础题型，核心考查非负数的性质，解题的关键是明确“若干个非负数的和为0时，每个非负数的值均为0”这一结论，代入计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.9
17.计算：$\sqrt{1-x}+\sqrt{x-1}+x^2 -1=$
0
答案
0
解析
【分析】
要计算该代数式的值，首先观察到式中含有两个二次根式，根据二次根式的性质，二次根式的被开方数必须是非负数，因此我们可以先列出关于x的不等式组，确定x的唯一取值，再将x的值代入原式计算即可得到最终结果。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{1-x}$和$\sqrt{x-1}$有意义，被开方数需满足非负的条件，据此列不等式组：
$\begin{cases}1-x≥0 \\x-1≥0\end{cases}$
解不等式$1-x≥0$得：$x≤1$
解不等式$x-1≥0$得：$x≥1$
因此x的取值只能为$x=1$
将$x=1$代入原式计算：
$\sqrt{1-1}+\sqrt{1-1}+1^2 -1 = 0 + 0 + 1 - 1 = 0$
【答案】
0
【知识点】
二次根式有意义的条件，代数式求值
【点评】
本题的解题关键是挖掘二次根式被开方数非负的隐含条件，先确定未知数的取值，再代入计算即可，掌握二次根式的基本性质是解答此类题的核心。
【难度系数】
0.8
要计算该代数式的值，首先观察到式中含有两个二次根式，根据二次根式的性质，二次根式的被开方数必须是非负数，因此我们可以先列出关于x的不等式组，确定x的唯一取值，再将x的值代入原式计算即可得到最终结果。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{1-x}$和$\sqrt{x-1}$有意义，被开方数需满足非负的条件，据此列不等式组：
$\begin{cases}1-x≥0 \\x-1≥0\end{cases}$
解不等式$1-x≥0$得：$x≤1$
解不等式$x-1≥0$得：$x≥1$
因此x的取值只能为$x=1$
将$x=1$代入原式计算：
$\sqrt{1-1}+\sqrt{1-1}+1^2 -1 = 0 + 0 + 1 - 1 = 0$
【答案】
0
【知识点】
二次根式有意义的条件，代数式求值
【点评】
本题的解题关键是挖掘二次根式被开方数非负的隐含条件，先确定未知数的取值，再代入计算即可，掌握二次根式的基本性质是解答此类题的核心。
【难度系数】
0.8
18. 中考新考法 新定义问题 规定用符号$[x]$表示一个实数$x$的整数部分，例如：$[3.69]=3$，$[\sqrt{3}]=1$。按此规定，$[\sqrt{13}-1]=$
2
。答案
$\because9＜13＜16$，
$\therefore3＜\sqrt{13}＜4$，
$\therefore2＜\sqrt{13}-1＜3$。
$\because[3.69]=3$，$[\sqrt{3}]=1$，
$\therefore[\sqrt{13}-1]=2$。
$\therefore3＜\sqrt{13}＜4$，
$\therefore2＜\sqrt{13}-1＜3$。
$\because[3.69]=3$，$[\sqrt{3}]=1$，
$\therefore[\sqrt{13}-1]=2$。
解析
【分析】首先明确题目中符号$[x]$的含义：表示实数$x$的整数部分，即不大于$x$的最大整数。要求$[\sqrt{13}-1]$，第一步需要先估算出$\sqrt{13}$的取值范围，第二步通过不等式的性质推出$\sqrt{13}-1$的取值范围，最后根据取整符号的定义就能得到结果。
【解析】
$\because9＜13＜16$，
$\therefore\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$，
不等式各边同时减1，可得$3-1＜\sqrt{13}-1＜4-1$，即$2＜\sqrt{13}-1＜3$，
根据$[x]$表示实数整数部分的规定，$\sqrt{13}-1$介于2和3之间，整数部分为2，因此$[\sqrt{13}-1]=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
无理数的估算；新定义运算
【点评】
本题是新定义类基础题，解题核心是准确理解取整符号的含义，熟练掌握用相邻平方数估算无理数取值范围的方法，只要掌握无理数估算的基本技能就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
【解析】
$\because9＜13＜16$，
$\therefore\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$，
不等式各边同时减1，可得$3-1＜\sqrt{13}-1＜4-1$，即$2＜\sqrt{13}-1＜3$，
根据$[x]$表示实数整数部分的规定，$\sqrt{13}-1$介于2和3之间，整数部分为2，因此$[\sqrt{13}-1]=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
无理数的估算；新定义运算
【点评】
本题是新定义类基础题，解题核心是准确理解取整符号的含义，熟练掌握用相邻平方数估算无理数取值范围的方法，只要掌握无理数估算的基本技能就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
三、解答题
19. 求下列各数的平方根：
(1)$\frac{64}{81}$； (2)0.0196； (3)2.89； (4)$2\frac{1}{4}$.
19. 求下列各数的平方根：
(1)$\frac{64}{81}$； (2)0.0196； (3)2.89； (4)$2\frac{1}{4}$.
答案
(1)$\frac{64}{81}$的平方根是$\pm\frac{8}{9}$.
(2)0.0196的平方根是$\pm0.14$.
(3)2.89的平方根是$\pm1.7$.
(4)$2\frac{1}{4}$的平方根是$\pm\frac{3}{2}$.
(2)0.0196的平方根是$\pm0.14$.
(3)2.89的平方根是$\pm1.7$.
(4)$2\frac{1}{4}$的平方根是$\pm\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
解题的核心是依据平方根的定义：若$x^2=a(a≥0)$，则$x$叫做$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根。解题时先将各数转化为便于计算平方的形式（如带分数先化为假分数），再找到平方等于该数的数，最后写出正负两个平方根即可。
【解析】
(1) 因为$(\pm\frac{8}{9})^2=\frac{64}{81}$，所以$\frac{64}{81}$的平方根是$\pm\frac{8}{9}$；
(2) 因为$(\pm0.14)^2=0.0196$，所以0.0196的平方根是$\pm0.14$；
(3) 因为$(\pm1.7)^2=2.89$，所以2.89的平方根是$\pm1.7$；
(4) 先把带分数化为假分数：$2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$，因为$(\pm\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，所以$2\frac{1}{4}$的平方根是$\pm\frac{3}{2}$。
【答案】
(1)$\frac{64}{81}$的平方根是$\pm\frac{8}{9}$.
(2)0.0196的平方根是$\pm0.14$.
(3)2.89的平方根是$\pm1.7$.
(4)$2\frac{1}{4}$的平方根是$\pm\frac{3}{2}$.
【知识点】
平方根的概念；乘方的逆运算；带分数化假分数
【点评】
本题属于平方根计算的基础题型，解题时需注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏写负的平方根；计算带分数的平方根时，先将其转化为假分数再计算能有效降低出错率，需熟练掌握常见数的平方结果提升计算速度。
【难度系数】
0.8
解题的核心是依据平方根的定义：若$x^2=a(a≥0)$，则$x$叫做$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根。解题时先将各数转化为便于计算平方的形式（如带分数先化为假分数），再找到平方等于该数的数，最后写出正负两个平方根即可。
【解析】
(1) 因为$(\pm\frac{8}{9})^2=\frac{64}{81}$，所以$\frac{64}{81}$的平方根是$\pm\frac{8}{9}$；
(2) 因为$(\pm0.14)^2=0.0196$，所以0.0196的平方根是$\pm0.14$；
(3) 因为$(\pm1.7)^2=2.89$，所以2.89的平方根是$\pm1.7$；
(4) 先把带分数化为假分数：$2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$，因为$(\pm\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，所以$2\frac{1}{4}$的平方根是$\pm\frac{3}{2}$。
【答案】
(1)$\frac{64}{81}$的平方根是$\pm\frac{8}{9}$.
(2)0.0196的平方根是$\pm0.14$.
(3)2.89的平方根是$\pm1.7$.
(4)$2\frac{1}{4}$的平方根是$\pm\frac{3}{2}$.
【知识点】
平方根的概念；乘方的逆运算；带分数化假分数
【点评】
本题属于平方根计算的基础题型，解题时需注意正数的平方根有两个且互为相反数，不要漏写负的平方根；计算带分数的平方根时，先将其转化为假分数再计算能有效降低出错率，需熟练掌握常见数的平方结果提升计算速度。
【难度系数】
0.8
