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20. 求下列各式中$x$的值.
(1)$9x^2 -25=0$;
(2)$(x-1)^2=36$.
(1)$9x^2 -25=0$;
(2)$(x-1)^2=36$.
答案
(1)移项，得$9x^2=25$，两边都除以9，得$x^2=\frac{25}{9}$，
由平方根的定义，得$x=\pm\frac{5}{3}$.
(2)$(x-1)^2=36$，由平方根的定义，得$x-1=\pm6$，
即$x=7$或$x=-5$.
■ 方法诠释 本题考查了平方根，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解答的前提.
由平方根的定义，得$x=\pm\frac{5}{3}$.
(2)$(x-1)^2=36$，由平方根的定义，得$x-1=\pm6$，
即$x=7$或$x=-5$.
■ 方法诠释 本题考查了平方根，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解答的前提.
解析
【分析】
这两道题均为利用平方根定义求解的方程题。解题思路：第(1)题先通过等式的性质将方程变形为$x^2=a(a≥0)$的形式，再根据平方根的定义求x的值；第(2)题把$(x-1)$看作整体，直接利用平方根的定义得到$x-1$的取值，再分别求解一元一次方程即可，注意正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解。
【解析】
(1) 移项，得$9x^2=25$，
两边都除以9，得$x^2=\frac{25}{9}$，
由平方根的定义，得$x=\pm\frac{5}{3}$。
(2) 由平方根的定义，得$x-1=\pm6$，
即$x=7$或$x=-5$。
【答案】
(1)$x=\pm\frac{5}{3}$；(2)$x=7$或$x=-5$
【知识点】
平方根的定义、等式的性质
【点评】
本题是平方根的基础应用类题目，解题核心是将含未知数的平方项单独整理到等号一侧，或将括号内的多项式视为整体，利用平方根的定义将二次方程降为一次方程求解，解题时需注意正数的平方根有两个，避免漏写负根出错。
【难度系数】
0.75
这两道题均为利用平方根定义求解的方程题。解题思路：第(1)题先通过等式的性质将方程变形为$x^2=a(a≥0)$的形式，再根据平方根的定义求x的值；第(2)题把$(x-1)$看作整体，直接利用平方根的定义得到$x-1$的取值，再分别求解一元一次方程即可，注意正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解。
【解析】
(1) 移项，得$9x^2=25$，
两边都除以9，得$x^2=\frac{25}{9}$，
由平方根的定义，得$x=\pm\frac{5}{3}$。
(2) 由平方根的定义，得$x-1=\pm6$，
即$x=7$或$x=-5$。
【答案】
(1)$x=\pm\frac{5}{3}$；(2)$x=7$或$x=-5$
【知识点】
平方根的定义、等式的性质
【点评】
本题是平方根的基础应用类题目，解题核心是将含未知数的平方项单独整理到等号一侧，或将括号内的多项式视为整体，利用平方根的定义将二次方程降为一次方程求解，解题时需注意正数的平方根有两个，避免漏写负根出错。
【难度系数】
0.75
21. 小华解方程$(x+6)^2 -9=0$的过程如下：
解:移项,得$(x+6)^2=9$, 第一步
根据平方根的意义,
$x+6=3$, 第二步
由此可得$x=-3$. 第三步
小华的解答从第
解:移项,得$(x+6)^2=9$, 第一步
根据平方根的意义,
$x+6=3$, 第二步由此可得$x=-3$. 第三步
小华的解答从第
二
步开始出错,请写出正确的解答过程.答案
二
正确的解答过程如下：
移项，得$(x+6)^2=9$，
根据平方根的意义，得$x+6=\pm\sqrt{9}$，
即$x+6=\pm3$，
$\therefore x+6=3$或$x+6=-3$，
由此可得$x=-3$或$x=-9$.
正确的解答过程如下：
移项，得$(x+6)^2=9$，
根据平方根的意义，得$x+6=\pm\sqrt{9}$，
即$x+6=\pm3$，
$\therefore x+6=3$或$x+6=-3$，
由此可得$x=-3$或$x=-9$.
解析
【分析】
要判断小华的解题步骤是否正确，首先回忆直接开平方法解一元二次方程的规则：第一步移项，将常数项移到等号另一侧，小华第一步得到$(x+6)^2=9$是正确的；第二步根据平方根的意义，正数的平方根有两个，且互为相反数，9的平方根是3和-3，而小华只写出了正的平方根，漏掉了负的平方根，因此从第二步开始出错。正确解法需要兼顾正负两个平方根，分别求解即可得到完整的解。
【解析】
小华的解答从第二步开始出错，错误原因是忽略了正数有两个互为相反数的平方根。
正确解答过程：
移项，得$(x+6)^2=9$，
根据平方根的意义，得$x+6=\pm\sqrt{9}$，
即$x+6=\pm3$，
$\therefore x+6=3$或$x+6=-3$，
由此可得$x=-3$或$x=-9$。
【答案】
二
正确的解答过程如下：
移项，得$(x+6)^2=9$，
根据平方根的意义，得$x+6=\pm\sqrt{9}$，
即$x+6=\pm3$，
$\therefore x+6=3$或$x+6=-3$，
由此可得$x=-3$或$x=-9$。
【知识点】
平方根的意义；直接开平方法解方程
【点评】
本题考查利用平方根的性质解一元二次方程，易错点是求解时容易漏掉正数的负平方根，导致漏解，解题时要注意全面考虑平方根的两种情况，保证解的完整性。
【难度系数】
0.7
要判断小华的解题步骤是否正确，首先回忆直接开平方法解一元二次方程的规则：第一步移项，将常数项移到等号另一侧，小华第一步得到$(x+6)^2=9$是正确的；第二步根据平方根的意义，正数的平方根有两个，且互为相反数，9的平方根是3和-3，而小华只写出了正的平方根，漏掉了负的平方根，因此从第二步开始出错。正确解法需要兼顾正负两个平方根，分别求解即可得到完整的解。
【解析】
小华的解答从第二步开始出错，错误原因是忽略了正数有两个互为相反数的平方根。
正确解答过程：
移项，得$(x+6)^2=9$，
根据平方根的意义，得$x+6=\pm\sqrt{9}$，
即$x+6=\pm3$，
$\therefore x+6=3$或$x+6=-3$，
由此可得$x=-3$或$x=-9$。
【答案】
二
正确的解答过程如下：
移项，得$(x+6)^2=9$，
根据平方根的意义，得$x+6=\pm\sqrt{9}$，
即$x+6=\pm3$，
$\therefore x+6=3$或$x+6=-3$，
由此可得$x=-3$或$x=-9$。
【知识点】
平方根的意义；直接开平方法解方程
【点评】
本题考查利用平方根的性质解一元二次方程，易错点是求解时容易漏掉正数的负平方根，导致漏解，解题时要注意全面考虑平方根的两种情况，保证解的完整性。
【难度系数】
0.7
22. 跨学科 动能 小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”。为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间$t$（单位：秒）和高度$h$（单位：米）近似满足公式$h=\frac{1}{2}gt^2$，其中$g$为重力加速度，$g≈10$米/平方秒。物体落地时产生的动能=物体质量×重力加速度×高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为$1×10×30=300$(焦耳).
(1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？
(2)一个0.5千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒.
(1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？
(2)一个0.5千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒.
答案
(1)把$h=80$代入$h=\frac{1}{2}gt^2$，得$80\approx\frac{1}{2}×10t^2$，即$t\approx\pm\sqrt{\frac{80×2}{10}}$，解得$t\approx4$(负值舍去).
故一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒.
(2)由题意，得$\frac{1}{2}×10h\approx200$，解得$h\approx40$，
把$h=40$代入$h=\frac{1}{2}gt^2$，得$40\approx\frac{1}{2}×10t^2$，
即$t\approx\pm\sqrt{\frac{40×2}{10}}$，解得$t\approx\sqrt{8}$(负值舍去).
故该物品坠落到地面用了大约$\sqrt{8}$秒.
■ 素养考向 本题考查了数学核心素养中的模型观念，理解公式，正确代入求值是解题的关键.
故一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒.
(2)由题意，得$\frac{1}{2}×10h\approx200$，解得$h\approx40$，
把$h=40$代入$h=\frac{1}{2}gt^2$，得$40\approx\frac{1}{2}×10t^2$，
即$t\approx\pm\sqrt{\frac{40×2}{10}}$，解得$t\approx\sqrt{8}$(负值舍去).
故该物品坠落到地面用了大约$\sqrt{8}$秒.
■ 素养考向 本题考查了数学核心素养中的模型观念，理解公式，正确代入求值是解题的关键.
解析
【分析】
（1）要计算物品从80米高楼坠落的时间，已知高度h和时间t的近似公式，直接将h=80、g≈10代入公式，得到关于t的方程即可求解；注意t代表时间，是正数，因此计算时要舍去负的平方根。
（2）要推算物品坠落的时间，首先需要根据给出的动能公式反推物品坠落的高度h，再将求得的h代入h和t的关系式，同样结合时间为正数的实际意义舍去负根，就能得到最终的坠落时间。
【解析】
（1）将$h=80$，$g≈10$代入公式$h=\frac{1}{2}gt^2$，得：
$80\approx\frac{1}{2}×10t^2$
化简得$t^2\approx16$，解得$t\approx\pm4$
因为时间不能为负数，舍去$t\approx-4$，因此$t\approx4$。
（2）根据动能公式“动能=物体质量×重力加速度×高度”，将动能200焦耳、质量0.5千克、$g≈10$代入，得：
$200=0.5×10×h$
解得$h\approx40$米
再将$h=40$代入$h=\frac{1}{2}gt^2$，得：
$40\approx\frac{1}{2}×10t^2$
化简得$t^2\approx8$，解得$t\approx\pm\sqrt{8}$
因为时间不能为负数，舍去$t\approx-\sqrt{8}$，因此$t\approx\sqrt{8}$。
【答案】
(1) 大约4秒；
(2) 大约$\sqrt{8}$秒。
【知识点】
平方根计算，代数式求值，公式应用
【点评】
本题结合高空抛物的现实场景，跨学科考查知识应用能力，解题核心是准确理解给出的公式、正确代入数值计算，同时要注意结合实际问题的意义舍去不符合要求的解，也能让学生直观认识到高空抛物的危害性。
【难度系数】
0.8
（1）要计算物品从80米高楼坠落的时间，已知高度h和时间t的近似公式，直接将h=80、g≈10代入公式，得到关于t的方程即可求解；注意t代表时间，是正数，因此计算时要舍去负的平方根。
（2）要推算物品坠落的时间，首先需要根据给出的动能公式反推物品坠落的高度h，再将求得的h代入h和t的关系式，同样结合时间为正数的实际意义舍去负根，就能得到最终的坠落时间。
【解析】
（1）将$h=80$，$g≈10$代入公式$h=\frac{1}{2}gt^2$，得：
$80\approx\frac{1}{2}×10t^2$
化简得$t^2\approx16$，解得$t\approx\pm4$
因为时间不能为负数，舍去$t\approx-4$，因此$t\approx4$。
（2）根据动能公式“动能=物体质量×重力加速度×高度”，将动能200焦耳、质量0.5千克、$g≈10$代入，得：
$200=0.5×10×h$
解得$h\approx40$米
再将$h=40$代入$h=\frac{1}{2}gt^2$，得：
$40\approx\frac{1}{2}×10t^2$
化简得$t^2\approx8$，解得$t\approx\pm\sqrt{8}$
因为时间不能为负数，舍去$t\approx-\sqrt{8}$，因此$t\approx\sqrt{8}$。
【答案】
(1) 大约4秒；
(2) 大约$\sqrt{8}$秒。
【知识点】
平方根计算，代数式求值，公式应用
【点评】
本题结合高空抛物的现实场景，跨学科考查知识应用能力，解题核心是准确理解给出的公式、正确代入数值计算，同时要注意结合实际问题的意义舍去不符合要求的解，也能让学生直观认识到高空抛物的危害性。
【难度系数】
0.8
23.已知正实数$ x $的平方根分别为$ a $和$ a+b $.
(1)若$ a=-2 $，则$ a+b $的值为________，$ x $的值为________；
(2)当$ b=6 $时，求$ a $的值；
(3)若$ a^2x+(a+b)^2x=8 $，求$ x $的值.
(1)若$ a=-2 $，则$ a+b $的值为________，$ x $的值为________；
(2)当$ b=6 $时，求$ a $的值；
(3)若$ a^2x+(a+b)^2x=8 $，求$ x $的值.
答案
(1)2 4
(2)$\because$正实数$x$的平方根分别为$a$和$a+b$，
$\therefore a+a+b=0$.
$\because b=6$，$\therefore a=-3$.
(3)$\because$正实数$x$的平方根分别为$a$和$a+b$，
$\therefore a+a+b=0$，$a^2=x$，$\therefore a+b=-a$.
$\because a^2x+(a+b)^2x=8$，$\therefore x[a^2+(a+b)^2]=8$，
$\therefore x[a^2+(-a)^2]=8$，
$\therefore 2a^2x=8$，$\therefore 2x^2=8$，解得$x=2$(负值舍去).
(2)$\because$正实数$x$的平方根分别为$a$和$a+b$，
$\therefore a+a+b=0$.
$\because b=6$，$\therefore a=-3$.
(3)$\because$正实数$x$的平方根分别为$a$和$a+b$，
$\therefore a+a+b=0$，$a^2=x$，$\therefore a+b=-a$.
$\because a^2x+(a+b)^2x=8$，$\therefore x[a^2+(a+b)^2]=8$，
$\therefore x[a^2+(-a)^2]=8$，
$\therefore 2a^2x=8$，$\therefore 2x^2=8$，解得$x=2$(负值舍去).
解析
【分析】
本题解题核心是运用正实数的平方根性质：正实数的两个平方根互为相反数，且每个平方根的平方等于该正实数。各小问思路如下：(1)已知其中一个平方根，直接根据相反数的性质求另一个平方根，再将平方根平方得到x的值；(2)根据两个平方根之和为0列方程，代入b的值即可求出a；(3)先将a+b用-a代换，再结合a²=x的性质，把已知等式转化为仅含x的方程，结合x为正实数的条件求解即可。
【解析】
(1) 正实数的两个平方根互为相反数，已知a=-2，因此$a+b=-a=2$；x是平方根的平方，因此$x=a^2=(-2)^2=4$。
(2) $\because$正实数$x$的平方根分别为$a$和$a+b$，
$\therefore$两个平方根之和为0，即$a+a+b=0$。
把$b=6$代入得：$2a+6=0$，解得$a=-3$。
(3) $\because$正实数$x$的平方根分别为$a$和$a+b$，
$\therefore a+a+b=0$，即$a+b=-a$，且$a^2=x$，$(a+b)^2=x$。
将其代入$a^2x+(a+b)^2x=8$，提取公因式得$x[a^2+(a+b)^2]=8$，
把$a+b=-a$代入得$x[a^2+(-a)^2]=8$，即$2a^2x=8$，
结合$a^2=x$，可得$2x^2=8$，即$x^2=4$。
$\because x$是正实数，$\therefore x=2$（负值舍去）。
【答案】
(1)2；4
(2)$a=-3$
(3)$x=2$
【知识点】
平方根的性质；一元一次方程解法；一元二次方程求解
【点评】
本题围绕平方根的核心性质设置梯度问题，解题关键是熟练掌握正实数的两个平方根互为相反数的性质，结合方程思想求解，计算时需注意结合x为正实数的条件舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.75
本题解题核心是运用正实数的平方根性质：正实数的两个平方根互为相反数，且每个平方根的平方等于该正实数。各小问思路如下：(1)已知其中一个平方根，直接根据相反数的性质求另一个平方根，再将平方根平方得到x的值；(2)根据两个平方根之和为0列方程，代入b的值即可求出a；(3)先将a+b用-a代换，再结合a²=x的性质，把已知等式转化为仅含x的方程，结合x为正实数的条件求解即可。
【解析】
(1) 正实数的两个平方根互为相反数，已知a=-2，因此$a+b=-a=2$；x是平方根的平方，因此$x=a^2=(-2)^2=4$。
(2) $\because$正实数$x$的平方根分别为$a$和$a+b$，
$\therefore$两个平方根之和为0，即$a+a+b=0$。
把$b=6$代入得：$2a+6=0$，解得$a=-3$。
(3) $\because$正实数$x$的平方根分别为$a$和$a+b$，
$\therefore a+a+b=0$，即$a+b=-a$，且$a^2=x$，$(a+b)^2=x$。
将其代入$a^2x+(a+b)^2x=8$，提取公因式得$x[a^2+(a+b)^2]=8$，
把$a+b=-a$代入得$x[a^2+(-a)^2]=8$，即$2a^2x=8$，
结合$a^2=x$，可得$2x^2=8$，即$x^2=4$。
$\because x$是正实数，$\therefore x=2$（负值舍去）。
【答案】
(1)2；4
(2)$a=-3$
(3)$x=2$
【知识点】
平方根的性质；一元一次方程解法；一元二次方程求解
【点评】
本题围绕平方根的核心性质设置梯度问题，解题关键是熟练掌握正实数的两个平方根互为相反数的性质，结合方程思想求解，计算时需注意结合x为正实数的条件舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.75
