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1. 如图,A,B,C 是$\odot O$上的三点,B 是劣弧 AC 的中点,$∠ OAB=72^{\circ }$,则$∠ AOC$的度数为 （
A.$69^{\circ }$
B.$70^{\circ }$
C.$72^{\circ }$
D.$112^{\circ }$
C
）A.$69^{\circ }$
B.$70^{\circ }$
C.$72^{\circ }$
D.$112^{\circ }$
答案
1. C $\because OB = OA,\therefore ∠ OBA = ∠ OAB = 72°.\therefore ∠ AOB=180°-∠ OBA-∠ OAB=180°-72°-72°=36°.\because B$ 是劣弧 $AC$ 的中点,$\therefore \overgroup{BC}=\overgroup{AB}. \therefore ∠ BOC=∠ AOB=36°. \therefore ∠ AOC=2∠ AOB=72°.$
解析
【分析】
解题时我们可以按清晰的两步思路推进：第一步，先利用圆的半径都相等的性质，得到OA=OB，判定△OAB是等腰三角形，结合已知的∠OAB=72°，用三角形内角和定理算出圆心角∠AOB的度数；第二步，根据B是劣弧AC的中点，得到弧AB等于弧BC，再依据同圆中等弧对应的圆心角相等，得到∠BOC和∠AOB相等，最后把两个角相加就得到∠AOC的总度数，对照选项选出正确答案。
【解析】
解：
1. 因为OA、OB都是⊙O的半径，因此OA=OB，△OAB为等腰三角形
已知∠OAB=72°，可得∠OBA=∠OAB=72°
根据三角形内角和为180°，计算得：
$∠ AOB = 180° - ∠ OAB - ∠ OBA = 180° -72° -72° = 36°$
2. 因为B是劣弧AC的中点，因此$\overgroup{AB}=\overgroup{BC}$
根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得$∠ BOC=∠ AOB=36°$
3. 最终计算得$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 36° + 36° =72°$
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质，弧与圆心角关系
【点评】
本题属于圆章节的基础概念题，没有复杂变形和辅助线要求，只需要结合等腰三角形内角计算规则，牢记同圆中等弧对应等圆心角的性质即可顺利求解，是巩固圆基础性质的典型入门练习题。
【难度系数】
0.9
解题时我们可以按清晰的两步思路推进：第一步，先利用圆的半径都相等的性质，得到OA=OB，判定△OAB是等腰三角形，结合已知的∠OAB=72°，用三角形内角和定理算出圆心角∠AOB的度数；第二步，根据B是劣弧AC的中点，得到弧AB等于弧BC，再依据同圆中等弧对应的圆心角相等，得到∠BOC和∠AOB相等，最后把两个角相加就得到∠AOC的总度数，对照选项选出正确答案。
【解析】
解：
1. 因为OA、OB都是⊙O的半径，因此OA=OB，△OAB为等腰三角形
已知∠OAB=72°，可得∠OBA=∠OAB=72°
根据三角形内角和为180°，计算得：
$∠ AOB = 180° - ∠ OAB - ∠ OBA = 180° -72° -72° = 36°$
2. 因为B是劣弧AC的中点，因此$\overgroup{AB}=\overgroup{BC}$
根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得$∠ BOC=∠ AOB=36°$
3. 最终计算得$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 36° + 36° =72°$
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质，弧与圆心角关系
【点评】
本题属于圆章节的基础概念题，没有复杂变形和辅助线要求，只需要结合等腰三角形内角计算规则，牢记同圆中等弧对应等圆心角的性质即可顺利求解，是巩固圆基础性质的典型入门练习题。
【难度系数】
0.9
2. 易错题 如图，在$\odot O$中，$∠ AOB=2∠ COD$，则下列判断中正确的是（
A.$AB=2CD$
B.$AB＜CD$
C.$AB＜2CD$
D.$AB＞2CD$
C
）A.$AB=2CD$
B.$AB＜CD$
C.$AB＜2CD$
D.$AB＞2CD$
答案
2. C 如图,作$∠ AOB$ 的平分线交$\odot O$ 于点 $E$,连接 $AE$, $BE$,则$∠ AOE=∠ BOE=\frac{1}{2}∠ AOB. \because ∠ AOB=2∠ COD$,$\therefore ∠ AOE = ∠ BOE = ∠ COD. \therefore AE = BE = CD.$$\because AB＜AE+BE,\therefore AB＜2CD.$
（第2题配图）
（第2题配图）
解析
【分析】
我们要比较弦AB和2CD的大小，已知条件是圆心角∠AOB=2∠COD，首先不能直接默认“圆心角是2倍，对应的弦长也为2倍”，这是本题最常见的错误思路。正确的思考路径是：第一步，利用同圆中相等圆心角对应的弦相等的性质，通过作辅助线将∠AOB拆分为两个都等于∠COD的角，得到两条长度都等于CD的弦；第二步，再利用三角形的三边关系“两边之和大于第三边”，将AB和这两条弦的和做比较，就能顺利推出AB和2CD的大小关系。
【解析】
解：作∠AOB的角平分线，交⊙O于点E，连接AE、BE。
∵ OE平分∠AOB，
∴ ∠AOE = ∠BOE = $\frac{1}{2}$∠AOB，
结合已知条件∠AOB = 2∠COD，可得∠AOE = ∠BOE = ∠COD。
在同圆⊙O中，相等的圆心角所对的弦长度相等，
因此AE = CD，BE = CD，即AE + BE = 2CD。
在△ABE中，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，可得AB ＜ AE + BE，
将AE+BE=2CD代入，最终得到AB ＜ 2CD。
所以选项C正确。
【答案】C
【知识点】圆心角弦关系，三角形三边关系
【点评】本题是典型易错题，很多同学会直接由圆心角的倍数关系错误推出弦长的倍数关系，忽略了同圆中弦长和圆心角并非线性正比。通过构造角平分线拆分大圆心角，将2CD转化为两条等长弦的和，再结合三角形三边关系推导大小，是这类比较弦长倍数问题的通用解题技巧。
【难度系数】0.6
我们要比较弦AB和2CD的大小，已知条件是圆心角∠AOB=2∠COD，首先不能直接默认“圆心角是2倍，对应的弦长也为2倍”，这是本题最常见的错误思路。正确的思考路径是：第一步，利用同圆中相等圆心角对应的弦相等的性质，通过作辅助线将∠AOB拆分为两个都等于∠COD的角，得到两条长度都等于CD的弦；第二步，再利用三角形的三边关系“两边之和大于第三边”，将AB和这两条弦的和做比较，就能顺利推出AB和2CD的大小关系。
【解析】
解：作∠AOB的角平分线，交⊙O于点E，连接AE、BE。
∵ OE平分∠AOB，
∴ ∠AOE = ∠BOE = $\frac{1}{2}$∠AOB，
结合已知条件∠AOB = 2∠COD，可得∠AOE = ∠BOE = ∠COD。
在同圆⊙O中，相等的圆心角所对的弦长度相等，
因此AE = CD，BE = CD，即AE + BE = 2CD。
在△ABE中，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，可得AB ＜ AE + BE，
将AE+BE=2CD代入，最终得到AB ＜ 2CD。
所以选项C正确。
【答案】C
【知识点】圆心角弦关系，三角形三边关系
【点评】本题是典型易错题，很多同学会直接由圆心角的倍数关系错误推出弦长的倍数关系，忽略了同圆中弦长和圆心角并非线性正比。通过构造角平分线拆分大圆心角，将2CD转化为两条等长弦的和，再结合三角形三边关系推导大小，是这类比较弦长倍数问题的通用解题技巧。
【难度系数】0.6
3. 如图 ,$AB$,$CD$ 是$\odot O$的弦 , 且$AB=CD$. 若$∠ BOD=84°$, 则$∠ ACO$的度数为
48°
.答案
3. $48°$ 连接 $OA. \because AB=CD,\therefore \overgroup{AB}=\overgroup{CD}. \therefore \overgroup{CD}-\overgroup{AD}=\overgroup{AB}-\overgroup{AD}. \therefore \overgroup{AC}=\overgroup{BD}. \therefore ∠ AOC=∠ BOD=84°.$$\because OC=OA,\therefore ∠ ACO=∠ CAO=\frac{1}{2}(180°-∠ AOC)=\frac{1}{2}×(180°-84°)=48°.$
解析
【分析】
我们可以按清晰的逻辑逐步推导解题：1. 首先回忆同圆的弦弧对应性质：同圆中长度相等的弦对应的弧也相等，已知AB=CD，可直接得到弧AB等于弧CD；2. 观察图形发现弧AB和弧CD都包含公共的弧AD，两边同时减去公共弧AD，就能推出剩余的弧AC等于弧BD；3. 根据同圆中等弧对应的圆心角相等，可得到∠AOC和已知的∠BOD度数相等，即∠AOC=84°；4. 注意OA、OC都是圆的半径，因此△AOC是等腰三角形，结合三角形内角和定理，就能算出底角∠ACO的度数。
【解析】
解：连接OA，
∵ AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，同圆中相等的弦所对的弧相等
∴ $\overgroup{AB}=\overgroup{CD}$
两边同时减去公共部分的弧$\overgroup{AD}$，可得：
$\overgroup{AB}-\overgroup{AD}=\overgroup{CD}-\overgroup{AD}$，即$\overgroup{AC}=\overgroup{BD}$
∵ 同圆中等弧对应的圆心角相等
∴ ∠AOC = ∠BOD = 84°
又
∵ OA、OC都是⊙O的半径，即OA=OC
∴ △AOC为等腰三角形，∠ACO=∠CAO
根据三角形内角和为180°计算：
∠ACO = $\frac{1}{2}(180°-∠AOC)$ = $\frac{1}{2}×(180°-84°)$ = 48°
【答案】
$48°$
【知识点】
等弦对等弧，圆心角定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是圆章节的基础角度计算题型，核心考察同圆中弦、弧、圆心角的对应转化关系，推导逻辑连贯，没有复杂变形，是巩固圆基础性质的典型习题，学生只要掌握弧的等量代换思路就可以顺利完成求解。
【难度系数】
0.7
我们可以按清晰的逻辑逐步推导解题：1. 首先回忆同圆的弦弧对应性质：同圆中长度相等的弦对应的弧也相等，已知AB=CD，可直接得到弧AB等于弧CD；2. 观察图形发现弧AB和弧CD都包含公共的弧AD，两边同时减去公共弧AD，就能推出剩余的弧AC等于弧BD；3. 根据同圆中等弧对应的圆心角相等，可得到∠AOC和已知的∠BOD度数相等，即∠AOC=84°；4. 注意OA、OC都是圆的半径，因此△AOC是等腰三角形，结合三角形内角和定理，就能算出底角∠ACO的度数。
【解析】
解：连接OA，
∵ AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，同圆中相等的弦所对的弧相等
∴ $\overgroup{AB}=\overgroup{CD}$
两边同时减去公共部分的弧$\overgroup{AD}$，可得：
$\overgroup{AB}-\overgroup{AD}=\overgroup{CD}-\overgroup{AD}$，即$\overgroup{AC}=\overgroup{BD}$
∵ 同圆中等弧对应的圆心角相等
∴ ∠AOC = ∠BOD = 84°
又
∵ OA、OC都是⊙O的半径，即OA=OC
∴ △AOC为等腰三角形，∠ACO=∠CAO
根据三角形内角和为180°计算：
∠ACO = $\frac{1}{2}(180°-∠AOC)$ = $\frac{1}{2}×(180°-84°)$ = 48°
【答案】
$48°$
【知识点】
等弦对等弧，圆心角定理，等腰三角形性质
【点评】
本题是圆章节的基础角度计算题型，核心考察同圆中弦、弧、圆心角的对应转化关系，推导逻辑连贯，没有复杂变形，是巩固圆基础性质的典型习题，学生只要掌握弧的等量代换思路就可以顺利完成求解。
【难度系数】
0.7
4. 如图，$AB$，$CD$ 是$\odot O$ 的两条弦. 若 $AB=CD$，$OE ⊥ AB$，$OF ⊥ CD$，垂足分别为 $E$，$F$，则 $OE$
=
$OF$（填“$=$”或“$≠$”）.答案
4. $=$ $\because OE⊥ AB,OF⊥ CD,\therefore AE=BE=\frac{1}{2} AB$,$CF=DF=\frac{1}{2} CD. \because AB=CD,\therefore AE=CF. \because OA=OC,\therefore \mathrm{Rt}△ AEO≌\mathrm{Rt}△ CFO(\mathrm{HL}). \therefore OE=OF.$
解析
【分析】
我们可以按如下思路推导：首先已知AB=CD，且OE、OF分别垂直于两条弦，先结合垂径定理，垂直于弦的半径会平分弦，因此可以得到两条弦各自的半长相等；再利用同圆的半径都相等的性质，得到两个直角三角形的斜边对应相等，就可以通过HL判定两个直角三角形全等，全等后对应边OE和OF自然相等。
【解析】
解：
$\because OE⊥ AB,OF⊥ CD$，由垂径定理可得：
$AE=BE=\frac{1}{2} AB$，$CF=DF=\frac{1}{2} CD$
$\because AB=CD$，
$\therefore AE=CF$，
又$\because OA$、$OC$都是$\odot O$的半径，
$\therefore OA=OC$，
在$\mathrm{Rt}△ AEO$和$\mathrm{Rt}△ CFO$中：
$\begin{cases} OA=OC \\ AE=CF \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEO≌\mathrm{Rt}△ CFO(\mathrm{HL})$，
$\therefore OE=OF$。
【答案】
$=$
【知识点】
垂径定理，HL全等判定，同圆半径相等
【点评】
本题属于圆的基础性质题，结合垂径定理和直角三角形全等的判定，推导得出同圆中等弦对应的弦心距相等的结论，考察的都是核心基础知识点，帮助学生巩固弦与弦心距的对应关系。
【难度系数】
0.9
我们可以按如下思路推导：首先已知AB=CD，且OE、OF分别垂直于两条弦，先结合垂径定理，垂直于弦的半径会平分弦，因此可以得到两条弦各自的半长相等；再利用同圆的半径都相等的性质，得到两个直角三角形的斜边对应相等，就可以通过HL判定两个直角三角形全等，全等后对应边OE和OF自然相等。
【解析】
解：
$\because OE⊥ AB,OF⊥ CD$，由垂径定理可得：
$AE=BE=\frac{1}{2} AB$，$CF=DF=\frac{1}{2} CD$
$\because AB=CD$，
$\therefore AE=CF$，
又$\because OA$、$OC$都是$\odot O$的半径，
$\therefore OA=OC$，
在$\mathrm{Rt}△ AEO$和$\mathrm{Rt}△ CFO$中：
$\begin{cases} OA=OC \\ AE=CF \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEO≌\mathrm{Rt}△ CFO(\mathrm{HL})$，
$\therefore OE=OF$。
【答案】
$=$
【知识点】
垂径定理，HL全等判定，同圆半径相等
【点评】
本题属于圆的基础性质题，结合垂径定理和直角三角形全等的判定，推导得出同圆中等弦对应的弦心距相等的结论，考察的都是核心基础知识点，帮助学生巩固弦与弦心距的对应关系。
【难度系数】
0.9
5. 如图, $O A, O B$ 是 $\odot O$ 的半径, 且 $\overgroup{A C}=\overgroup{B C}$, 弦 $C M, C N$ 分别经过 $O A, O B$ 的中点 $D, E$. 求证:
(1) $C D=C E$.
(2) $C M=C N$.
(1) $C D=C E$.
(2) $C M=C N$.
答案
5. (1) $\because OA,OB$ 是$\odot O$ 的半径,$\therefore OA=OB. \because D,E$分别是 $OA,OB$ 的中点, $\therefore OD = \frac{1}{2} OA,OE = \frac{1}{2} OB.$$\therefore OD=OE. \because \overgroup{AC}=\overgroup{BC},\therefore ∠ AOC=∠ BOC.$ 在$△ DOC$和$△ EOC$ 中,$\begin{cases} OD=OE, \\ ∠ DOC=∠ EOC, \\ OC=OC. \end{cases}$ $\therefore △ DOC ≌ △ EOC(\mathrm{SAS}). \therefore CD = CE.$
(2) 连接 $OM,ON$. 由(1)知,$△ DOC≌△ EOC,\therefore ∠ OCD = ∠ OCE$,即 $∠ OCM =∠ OCN. \because OM=OC,ON=OC,\therefore ∠ OMC=∠ OCM$,$∠ ONC=∠ OCN. \therefore ∠ OMC = ∠ ONC.$ 在 $△ OMC$ 和$△ ONC$ 中,$\begin{cases} ∠ OMC=∠ ONC, \\ ∠ OCM=∠ OCN, \\ OM=ON, \end{cases}$$\therefore △ OMC≌△ ONC(\mathrm{AAS}).$$\therefore CM=CN.$
(2) 连接 $OM,ON$. 由(1)知,$△ DOC≌△ EOC,\therefore ∠ OCD = ∠ OCE$,即 $∠ OCM =∠ OCN. \because OM=OC,ON=OC,\therefore ∠ OMC=∠ OCM$,$∠ ONC=∠ OCN. \therefore ∠ OMC = ∠ ONC.$ 在 $△ OMC$ 和$△ ONC$ 中,$\begin{cases} ∠ OMC=∠ ONC, \\ ∠ OCM=∠ OCN, \\ OM=ON, \end{cases}$$\therefore △ OMC≌△ ONC(\mathrm{AAS}).$$\therefore CM=CN.$
解析
【分析】
我们从待证结论倒推解题思路：
1. 要证明CD=CE，优先考虑证明CD、CE所在的△DOC和△EOC全等：首先OA、OB都是⊙O的半径，因此OA=OB，D、E分别是OA、OB的中点，可直接推出OD=OE；已知$\overgroup{AC}=\overgroup{BC}$，根据同圆中等弧对应的圆心角相等，可得∠AOC=∠BOC，再加上公共边OC=OC，凑齐SAS全等的全部条件，全等后即可直接得到CD=CE。
2. 要证明CM=CN，承接第一问的全等结论，先得到∠OCD=∠OCE，也就是∠OCM=∠OCN；再连接OM、ON，二者都是圆的半径，满足OM=ON=OC，利用等腰三角形等边对等角的性质，得到∠OMC=∠OCM，∠ONC=∠OCN，进而推出∠OMC=∠ONC，凑齐AAS全等的条件证明△OMC≌△ONC，即可得到CM=CN。
【解析】
证明：
(1)
∵ OA,OB 是$\odot O$ 的半径，
∴ $OA=OB$。
∵ D,E分别是 OA,OB 的中点，
∴ $OD = \frac{1}{2} OA$，$OE = \frac{1}{2} OB$，
∴ $OD=OE$。
∵ $\overgroup{AC}=\overgroup{BC}$，
∴ $∠ AOC=∠ BOC$。
在$△ DOC$和$△ EOC$ 中，
$\begin{cases} OD=OE, \\ ∠ DOC=∠ EOC, \\ OC=OC. \end{cases}$
∴ $△ DOC ≌ △ EOC(\mathrm{SAS})$，
∴ $CD = CE$。
(2) 连接 $OM,ON$。
由(1)知，$△ DOC≌△ EOC$，
∴ $∠ OCD = ∠ OCE$，即 $∠ OCM =∠ OCN$。
∵ $OM=OC$，$ON=OC$，
∴ $∠ OMC=∠ OCM$，$∠ ONC=∠ OCN$，
∴ $∠ OMC = ∠ ONC$。
在 $△ OMC$ 和$△ ONC$ 中，
$\begin{cases} ∠ OMC=∠ ONC, \\ ∠ OCM=∠ OCN, \\ OM=ON, \end{cases}$
∴ $△ OMC≌△ ONC(\mathrm{AAS})$，
∴ $CM=CN$。
【答案】
通过上述证明过程，可证得(1)$CD=CE$；(2)$CM=CN$。
【知识点】
等弧对等圆心角，全等三角形判定，同圆半径相等
【点评】
本题是圆与三角形全等结合的基础递进式证明题，第一问的结论直接作为第二问的推导条件，既考察了圆的基础性质，也巩固了全等三角形证明的常规逻辑，也可通过“同圆中弦心距相等则弦相等”的思路快速推导第二问，帮助学生打通不同几何性质的关联。
【难度系数】
0.7
我们从待证结论倒推解题思路：
1. 要证明CD=CE，优先考虑证明CD、CE所在的△DOC和△EOC全等：首先OA、OB都是⊙O的半径，因此OA=OB，D、E分别是OA、OB的中点，可直接推出OD=OE；已知$\overgroup{AC}=\overgroup{BC}$，根据同圆中等弧对应的圆心角相等，可得∠AOC=∠BOC，再加上公共边OC=OC，凑齐SAS全等的全部条件，全等后即可直接得到CD=CE。
2. 要证明CM=CN，承接第一问的全等结论，先得到∠OCD=∠OCE，也就是∠OCM=∠OCN；再连接OM、ON，二者都是圆的半径，满足OM=ON=OC，利用等腰三角形等边对等角的性质，得到∠OMC=∠OCM，∠ONC=∠OCN，进而推出∠OMC=∠ONC，凑齐AAS全等的条件证明△OMC≌△ONC，即可得到CM=CN。
【解析】
证明：
(1)
∵ OA,OB 是$\odot O$ 的半径，
∴ $OA=OB$。
∵ D,E分别是 OA,OB 的中点，
∴ $OD = \frac{1}{2} OA$，$OE = \frac{1}{2} OB$，
∴ $OD=OE$。
∵ $\overgroup{AC}=\overgroup{BC}$，
∴ $∠ AOC=∠ BOC$。
在$△ DOC$和$△ EOC$ 中，
$\begin{cases} OD=OE, \\ ∠ DOC=∠ EOC, \\ OC=OC. \end{cases}$
∴ $△ DOC ≌ △ EOC(\mathrm{SAS})$，
∴ $CD = CE$。
(2) 连接 $OM,ON$。
由(1)知，$△ DOC≌△ EOC$，
∴ $∠ OCD = ∠ OCE$，即 $∠ OCM =∠ OCN$。
∵ $OM=OC$，$ON=OC$，
∴ $∠ OMC=∠ OCM$，$∠ ONC=∠ OCN$，
∴ $∠ OMC = ∠ ONC$。
在 $△ OMC$ 和$△ ONC$ 中，
$\begin{cases} ∠ OMC=∠ ONC, \\ ∠ OCM=∠ OCN, \\ OM=ON, \end{cases}$
∴ $△ OMC≌△ ONC(\mathrm{AAS})$，
∴ $CM=CN$。
【答案】
通过上述证明过程，可证得(1)$CD=CE$；(2)$CM=CN$。
【知识点】
等弧对等圆心角，全等三角形判定，同圆半径相等
【点评】
本题是圆与三角形全等结合的基础递进式证明题，第一问的结论直接作为第二问的推导条件，既考察了圆的基础性质，也巩固了全等三角形证明的常规逻辑，也可通过“同圆中弦心距相等则弦相等”的思路快速推导第二问，帮助学生打通不同几何性质的关联。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$\odot O$ 经过五边形$OABCD$的四个顶点. 若劣弧$AD$的度数为$150^{\circ },∠ A=75^{\circ },∠ D=60^{\circ }$，则$\overset{\frown}{BC}$的度数为（
A.$25^{\circ }$
B.$40^{\circ }$
C.$50^{\circ }$
D.$60^{\circ }$
D
）A.$25^{\circ }$
B.$40^{\circ }$
C.$50^{\circ }$
D.$60^{\circ }$
答案
6. D 连接$OB,OC$,则$OA=OB=OC=OD,\therefore ∠ OBA=∠ A = 75^{\circ },∠ OCD = ∠ D = 60^{\circ }. \therefore ∠ AOB = 180^{\circ }-∠ OBA-∠ A = 180^{\circ }-75^{\circ }-75^{\circ }=30^{\circ },∠ COD = 180^{\circ }-∠ OCD-∠ D = 180^{\circ }-60^{\circ }-60^{\circ }=60^{\circ }. \because ∠ AOD=150^{\circ },$$\therefore ∠ BOC=150^{\circ }-∠ AOB-∠ COD=150^{\circ }-30^{\circ }-60^{\circ }=60^{\circ }. \therefore \overgroup{BC}$ 的度数为 $60^{\circ }.$
解析
【分析】
我们的核心目标是求$\overset{\frown}{BC}$的度数，根据弧的度数定义，弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此只需要求出$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角$∠ BOC$的度数即可。已知劣弧$AD$的度数为$150°$，说明它对应的圆心角$∠ AOD=150°$。观察图形可知点B、C都在圆上，我们可以连接辅助线$OB$、$OC$，利用同圆半径相等的性质，得到$OA=OB$、$OC=OD$，构造出两个等腰三角形，结合已知的$∠ A=75°$、$∠ D=60°$，就能算出两个等腰三角形的顶角$∠ AOB$和$∠ COD$的度数，最后用$∠ AOD$的总度数减去这两个角的度数，就能得到$∠ BOC$的度数，也就是$\overset{\frown}{BC}$的度数。
【解析】
解：连接$OB$、$OC$，
$\because OA、OB、OC、OD$都是$\odot O$的半径，
$\therefore OA=OB$，$OC=OD$，
$\therefore △ OAB$为等腰三角形，由等边对等角得$∠ OBA=∠ A=75°$，
根据三角形内角和为$180°$：
$∠ AOB = 180° - ∠ A - ∠ OBA = 180° - 75° -75° = 30°$；
同理，$△ OCD$为等腰三角形，$∠ OCD=∠ D=60°$，
$\therefore ∠ COD = 180° - ∠ D - ∠ OCD = 180° - 60° - 60° = 60°$；
已知劣弧$AD$的度数为$150°$，因此其对应的圆心角$∠ AOD=150°$，
$\therefore ∠ BOC = ∠ AOD - ∠ AOB - ∠ COD = 150° - 30° - 60° = 60°$，
由弧的度数等于其所对圆心角的度数，可得$\overset{\frown}{BC}$的度数为$60°$。
【答案】D
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；弧的度数定义
【点评】
本题的突破口是通过连接$OB$、$OC$构造等腰三角形，无需使用五边形内角和等复杂计算，仅结合圆的基础性质和三角形内角和定理，就可以将已知条件转化为对应圆心角的度数，最终得到目标弧的度数，侧重考察学生对圆基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
我们的核心目标是求$\overset{\frown}{BC}$的度数，根据弧的度数定义，弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此只需要求出$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角$∠ BOC$的度数即可。已知劣弧$AD$的度数为$150°$，说明它对应的圆心角$∠ AOD=150°$。观察图形可知点B、C都在圆上，我们可以连接辅助线$OB$、$OC$，利用同圆半径相等的性质，得到$OA=OB$、$OC=OD$，构造出两个等腰三角形，结合已知的$∠ A=75°$、$∠ D=60°$，就能算出两个等腰三角形的顶角$∠ AOB$和$∠ COD$的度数，最后用$∠ AOD$的总度数减去这两个角的度数，就能得到$∠ BOC$的度数，也就是$\overset{\frown}{BC}$的度数。
【解析】
解：连接$OB$、$OC$，
$\because OA、OB、OC、OD$都是$\odot O$的半径，
$\therefore OA=OB$，$OC=OD$，
$\therefore △ OAB$为等腰三角形，由等边对等角得$∠ OBA=∠ A=75°$，
根据三角形内角和为$180°$：
$∠ AOB = 180° - ∠ A - ∠ OBA = 180° - 75° -75° = 30°$；
同理，$△ OCD$为等腰三角形，$∠ OCD=∠ D=60°$，
$\therefore ∠ COD = 180° - ∠ D - ∠ OCD = 180° - 60° - 60° = 60°$；
已知劣弧$AD$的度数为$150°$，因此其对应的圆心角$∠ AOD=150°$，
$\therefore ∠ BOC = ∠ AOD - ∠ AOB - ∠ COD = 150° - 30° - 60° = 60°$，
由弧的度数等于其所对圆心角的度数，可得$\overset{\frown}{BC}$的度数为$60°$。
【答案】D
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；弧的度数定义
【点评】
本题的突破口是通过连接$OB$、$OC$构造等腰三角形，无需使用五边形内角和等复杂计算，仅结合圆的基础性质和三角形内角和定理，就可以将已知条件转化为对应圆心角的度数，最终得到目标弧的度数，侧重考察学生对圆基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
7. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$D$是$\overset{\frown}{AC}$的中点,过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$,延长$DE$交$\odot O$于点$F$.若$AE=2$,$\odot O$的直径为$10$,则$AC$的长为（
A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$
D
）A.$5$
B.$6$
C.$7$
D.$8$
答案
7. D 连接 $OD,OF. \because DE⊥ AB,AB$ 是$\odot O$ 的直径,$\therefore DE = EF.$ 又 $\because OD = OF,\therefore ∠ AOD = ∠ AOF.$$\therefore \overgroup{AD}=\overgroup{AF}. \because D$ 是$\overgroup{AC}$ 的中点,$\therefore \overgroup{AD}=\overgroup{DC}. \therefore \overgroup{AC}=\overgroup{DF}. \therefore AC=DF. \because \odot O$ 的直径为 $10,\therefore OF=OA=5.$$\because AE=2,\therefore OE=OA-AE=5-2=3.$ 在 $\mathrm{Rt}△ OEF$ 中,由勾股定理,得 $EF = \sqrt{OF^2-OE^2} = \sqrt{5^2-3^2} = 4.$$\therefore DE=EF=4. \therefore AC=DF=DE+EF=4+4=8.$
解析
【分析】
我们可以按如下思路解题：首先观察已知条件，AB是⊙O的直径且DE⊥AB，根据垂径定理，AB会垂直平分弦DF，同时平分DF对应的弧，可得弧AD等于弧AF；题目明确D是弧AC的中点，因此弧AD等于弧DC，通过等量代换就能推出弧AC和弧DF相等，根据同圆中等弧对应的弦相等，就可以把求AC的长度转化为求弦DF的长度，大幅简化计算。接下来结合⊙O直径为10得到半径为5，由AE=2算出OE的长度，在直角三角形OEF中用勾股定理求出EF的长度，进而得到DF的长度，也就得到了AC的长。
【解析】
解：连接OD、OF，
1. 因为$DE⊥ AB$，AB是$\odot O$的直径，由垂径定理可得：$DE = EF$，且AB平分弧DF，因此$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AF}$；
2. 已知D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，因此$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$，等量代换可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DF}$，根据同圆中等弧对应的弦相等，得$AC=DF$；
3. 由$\odot O$的直径为10，可得半径$OA=OF=5$，又$AE=2$，因此$OE=OA-AE=5-2=3$；
4. 在$\mathrm{Rt}△ OEF$中，由勾股定理计算得：$EF = \sqrt{OF^2-OE^2} = \sqrt{5^2-3^2} = 4$，因此$DF=DE+EF=2EF=8$，即$AC=8$。
【答案】D
【知识点】垂径定理，勾股定理，等弧对等弦
【点评】本题是圆的基础综合题，核心是利用弧的等量转化，将不易直接求解的弦AC转化为可直接计算的弦DF，体现了几何转化思想的应用，解题关键是发现弧AC和弧DF的等量关系，能够有效巩固垂径定理的相关应用。
【难度系数】
0.7
我们可以按如下思路解题：首先观察已知条件，AB是⊙O的直径且DE⊥AB，根据垂径定理，AB会垂直平分弦DF，同时平分DF对应的弧，可得弧AD等于弧AF；题目明确D是弧AC的中点，因此弧AD等于弧DC，通过等量代换就能推出弧AC和弧DF相等，根据同圆中等弧对应的弦相等，就可以把求AC的长度转化为求弦DF的长度，大幅简化计算。接下来结合⊙O直径为10得到半径为5，由AE=2算出OE的长度，在直角三角形OEF中用勾股定理求出EF的长度，进而得到DF的长度，也就得到了AC的长。
【解析】
解：连接OD、OF，
1. 因为$DE⊥ AB$，AB是$\odot O$的直径，由垂径定理可得：$DE = EF$，且AB平分弧DF，因此$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AF}$；
2. 已知D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，因此$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}$，等量代换可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DF}$，根据同圆中等弧对应的弦相等，得$AC=DF$；
3. 由$\odot O$的直径为10，可得半径$OA=OF=5$，又$AE=2$，因此$OE=OA-AE=5-2=3$；
4. 在$\mathrm{Rt}△ OEF$中，由勾股定理计算得：$EF = \sqrt{OF^2-OE^2} = \sqrt{5^2-3^2} = 4$，因此$DF=DE+EF=2EF=8$，即$AC=8$。
【答案】D
【知识点】垂径定理，勾股定理，等弧对等弦
【点评】本题是圆的基础综合题，核心是利用弧的等量转化，将不易直接求解的弦AC转化为可直接计算的弦DF，体现了几何转化思想的应用，解题关键是发现弧AC和弧DF的等量关系，能够有效巩固垂径定理的相关应用。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在$\odot O$中,$AM$是$\odot O$的直径,$AM=8$,$B$是$\overset{\frown}{AM}$的中点,点$C$在弦$AB$上,且$AC=\sqrt{2}$.点$D$在$\overset{\frown}{AB}$上,且$CD// OB$,则$CD$的长为
$\sqrt{7}-1$
.答案
8. $\sqrt{7}-1$ 如图,延长 $DC$ 交$AO$ 于点$E$,连接 $OD. \because AM$是$\odot O$ 的直径,$B$ 是$\overgroup{AM}$ 的中点,$\therefore OD = \frac{1}{2} AM = 4$,$∠ AOB = \frac{1}{2} × 180^{\circ } = 90^{\circ }. \because CD // OB, \therefore ∠ AEC =∠ AOB=90^{\circ }. \because OA=OB,\therefore ∠ BAO=45^{\circ }. \because AC=\sqrt{2},$$\therefore$ 易得 $AE=CE=1. \therefore EO=OA-AE=4-1=3.$$\because OD=4,∠ DEO=180^{\circ }-∠ DEA=90^{\circ },\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ DEO$中,$DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}. \therefore CD=DE-CE=\sqrt{7}-1.$
（第8题配图）
（第8题配图）
解析
【分析】
解题思路梳理：首先从已知条件入手，AM是直径且长为8，可得⊙O的半径为4；B是弧AM的中点，因此两段等弧对应的圆心角∠AOB=90°。已知CD平行OB，根据平行线同位角相等的性质，可推出CD与AO垂直，因此我们可以作辅助线：延长DC交AO于点E，连接OD。接下来先在等腰Rt△ACE中，由AC=√2、∠CAE=45°，算出AE和CE的长度都是1，进而得到OE=OA-AE=3。之后在Rt△DEO中，OD是半径为4，用勾股定理算出DE的长度，最后用DE减去CE即可得到CD的长度，整个过程把分散的条件集中到直角三角形中，大幅简化计算。
【解析】
解：延长DC交AO于点E，连接OD。
1. 由AM是⊙O的直径，AM=8，可得⊙O的半径$OD=OA=OB=\frac{1}{2}AM=4$。
2. 因为B是$\overset{\frown}{AM}$的中点，所以$∠ AOB=\frac{1}{2}×180°=90°$，又OA=OB，因此△AOB是等腰直角三角形，可得$∠ BAO=45°$。
3. 已知$CD// OB$，根据平行线同位角相等，得$∠ AEC=∠ AOB=90°$，因此△ACE是等腰直角三角形。
4. 已知$AC=\sqrt{2}$，在等腰Rt△ACE中，$AE=CE=AC·\sin45°=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$。
5. 计算OE的长度：$OE=OA - AE=4 - 1=3$。
6. 在Rt△DEO中，$∠ DEO=90°$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{OD^2 - OE^2}=\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{7}$。
7. 因此$CD=DE - CE=\sqrt{7}-1$。
【答案】
$\sqrt{7}-1$
【知识点】
圆心角定理，勾股定理，平行线性质
【点评】
本题的核心突破口是构造辅助线，通过延长线段将平行条件转化为垂直关系，把已知边长和圆的半径条件集中到直角三角形中求解，综合了等腰直角三角形性质、圆的基本性质等知识点，对学生的辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
解题思路梳理：首先从已知条件入手，AM是直径且长为8，可得⊙O的半径为4；B是弧AM的中点，因此两段等弧对应的圆心角∠AOB=90°。已知CD平行OB，根据平行线同位角相等的性质，可推出CD与AO垂直，因此我们可以作辅助线：延长DC交AO于点E，连接OD。接下来先在等腰Rt△ACE中，由AC=√2、∠CAE=45°，算出AE和CE的长度都是1，进而得到OE=OA-AE=3。之后在Rt△DEO中，OD是半径为4，用勾股定理算出DE的长度，最后用DE减去CE即可得到CD的长度，整个过程把分散的条件集中到直角三角形中，大幅简化计算。
【解析】
解：延长DC交AO于点E，连接OD。
1. 由AM是⊙O的直径，AM=8，可得⊙O的半径$OD=OA=OB=\frac{1}{2}AM=4$。
2. 因为B是$\overset{\frown}{AM}$的中点，所以$∠ AOB=\frac{1}{2}×180°=90°$，又OA=OB，因此△AOB是等腰直角三角形，可得$∠ BAO=45°$。
3. 已知$CD// OB$，根据平行线同位角相等，得$∠ AEC=∠ AOB=90°$，因此△ACE是等腰直角三角形。
4. 已知$AC=\sqrt{2}$，在等腰Rt△ACE中，$AE=CE=AC·\sin45°=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$。
5. 计算OE的长度：$OE=OA - AE=4 - 1=3$。
6. 在Rt△DEO中，$∠ DEO=90°$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{OD^2 - OE^2}=\sqrt{4^2 - 3^2}=\sqrt{7}$。
7. 因此$CD=DE - CE=\sqrt{7}-1$。
【答案】
$\sqrt{7}-1$
【知识点】
圆心角定理，勾股定理，平行线性质
【点评】
本题的核心突破口是构造辅助线，通过延长线段将平行条件转化为垂直关系，把已知边长和圆的半径条件集中到直角三角形中求解，综合了等腰直角三角形性质、圆的基本性质等知识点，对学生的辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
