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8. 在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=8$，高$AD=4.8$，设能完全覆盖$△ ABC$的圆的半径为$r$，则$r$的最小值为
5或4
.答案
8. 5或4 ① 如图①,当 AD 在△ABC 内部时,
∵ AB=6,AC=8,高 AD=4.8,
∴ 由勾股定理,得 BD=3.6,CD=6.4.
∴ BC=10.
∵ 6²+8²=10²,
∴ △ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形.
∴ 完全覆盖△ABC 的圆的最小半径为 10×$\frac{1}{2}$=5. ② 如图②,当 AD 在△ABC 外部,即△ABC 是钝角三角形时,
∵ 以 AC 为直径的圆是能完全覆盖△ABC 的最小圆,
∴ 能完全覆盖△ABC 的圆的半径r 的最小值为 8×$\frac{1}{2}$=4. 综上所述,r 的最小值为 5 或 4.
（第8题）
∵ AB=6,AC=8,高 AD=4.8,
∴ 由勾股定理,得 BD=3.6,CD=6.4.
∴ BC=10.
∵ 6²+8²=10²,
∴ △ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形.
∴ 完全覆盖△ABC 的圆的最小半径为 10×$\frac{1}{2}$=5. ② 如图②,当 AD 在△ABC 外部,即△ABC 是钝角三角形时,
∵ 以 AC 为直径的圆是能完全覆盖△ABC 的最小圆,
∴ 能完全覆盖△ABC 的圆的半径r 的最小值为 8×$\frac{1}{2}$=4. 综上所述,r 的最小值为 5 或 4.
（第8题）
解析
【分析】
我们要找能完全覆盖△ABC的最小圆的半径，首先明确三角形最小覆盖圆的性质：锐角、直角三角形的最小覆盖圆是自身的外接圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆。题目仅给出两条边长和高的长度，没有给出图形，高AD的位置不确定，因此需要分两类讨论：高AD在△ABC内部、高AD在△ABC外部，分别计算对应三角形的边长，判断三角形类型后求出对应最小覆盖圆的半径，最终汇总结果即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时：
在Rt△ABD中，AB=6，AD=4.8，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{6^2-4.8^2}=3.6$
在Rt△ACD中，AC=8，AD=4.8，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{8^2-4.8^2}=6.4$
此时$BC=BD+CD=3.6+6.4=10$
$\because 6^2+8^2=10^2$，即$AB^2+AC^2=BC^2$
$\therefore △ ABC$是斜边为BC的直角三角形
直角三角形的外接圆是其最小覆盖圆，外接圆直径等于斜边长，因此此时最小半径$r=\frac{1}{2}× BC=\frac{1}{2}×10=5$。
② 当高AD在△ABC外部时，此时△ABC为钝角三角形：
同理可得$BD=3.6$，$CD=6.4$，此时$BC=CD-BD=2.8$，三角形三条边中最长边为AC=8。
钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，因此此时最小半径$r=\frac{1}{2}× AC=\frac{1}{2}×8=4$。
综上，r的最小值为5或4。
【答案】5或4
【知识点】勾股定理，三角形外接圆，最小覆盖圆
【点评】本题的易错点是容易遗漏高AD在三角形外部的钝角三角形情况，仅得到r=5这一个结果，无图的几何题要主动分类讨论高的不同位置，结合不同类型三角形的最小覆盖圆性质求解，避免漏解。
【难度系数】0.3
我们要找能完全覆盖△ABC的最小圆的半径，首先明确三角形最小覆盖圆的性质：锐角、直角三角形的最小覆盖圆是自身的外接圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆。题目仅给出两条边长和高的长度，没有给出图形，高AD的位置不确定，因此需要分两类讨论：高AD在△ABC内部、高AD在△ABC外部，分别计算对应三角形的边长，判断三角形类型后求出对应最小覆盖圆的半径，最终汇总结果即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时：
在Rt△ABD中，AB=6，AD=4.8，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{6^2-4.8^2}=3.6$
在Rt△ACD中，AC=8，AD=4.8，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{8^2-4.8^2}=6.4$
此时$BC=BD+CD=3.6+6.4=10$
$\because 6^2+8^2=10^2$，即$AB^2+AC^2=BC^2$
$\therefore △ ABC$是斜边为BC的直角三角形
直角三角形的外接圆是其最小覆盖圆，外接圆直径等于斜边长，因此此时最小半径$r=\frac{1}{2}× BC=\frac{1}{2}×10=5$。
② 当高AD在△ABC外部时，此时△ABC为钝角三角形：
同理可得$BD=3.6$，$CD=6.4$，此时$BC=CD-BD=2.8$，三角形三条边中最长边为AC=8。
钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，因此此时最小半径$r=\frac{1}{2}× AC=\frac{1}{2}×8=4$。
综上，r的最小值为5或4。
【答案】5或4
【知识点】勾股定理，三角形外接圆，最小覆盖圆
【点评】本题的易错点是容易遗漏高AD在三角形外部的钝角三角形情况，仅得到r=5这一个结果，无图的几何题要主动分类讨论高的不同位置，结合不同类型三角形的最小覆盖圆性质求解，避免漏解。
【难度系数】0.3
9. 如果$A(1,2),B(3,-3),C(x,y)$三点可以确定一个圆，那么$x,y$需要满足的条件是
5x+2y≠9
.答案
9. 5x+2y≠9 设直线 AB 对应的函数表达式为 y=kx+b.
∵ 点 A(1,2),B(3,-3)在直线 AB 上,
∴ $\begin{cases}k+b=2,\\3k+b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\dfrac{5}{2},\\b=\dfrac{9}{2}.\end{cases}$
∴ 直线 AB 对应的函数表达式为 y=$-\frac{5}{2}x+\frac{9}{2}$.
∵ A(1,2),B(3,-3),C(x,y)三点可以确定一个圆,
∴ 点 C 不在直线 AB 上.
∴ y≠$-\frac{5}{2}x+\frac{9}{2}$,即x,y 需满足的条件是 5x+2y≠9.
∵ 点 A(1,2),B(3,-3)在直线 AB 上,
∴ $\begin{cases}k+b=2,\\3k+b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\dfrac{5}{2},\\b=\dfrac{9}{2}.\end{cases}$
∴ 直线 AB 对应的函数表达式为 y=$-\frac{5}{2}x+\frac{9}{2}$.
∵ A(1,2),B(3,-3),C(x,y)三点可以确定一个圆,
∴ 点 C 不在直线 AB 上.
∴ y≠$-\frac{5}{2}x+\frac{9}{2}$,即x,y 需满足的条件是 5x+2y≠9.
解析
【分析】
我们首先回忆三点确定一个圆的核心条件：只有不在同一直线上的三个点才能确定唯一的一个圆。因此题目要求A、B、C三点可以确定一个圆，等价于点C不在A、B两点所确定的直线上。解题时第一步先通过A、B两点的坐标求出直线AB的函数表达式，第二步将“点C不在直线AB上”转化为对应的代数不等关系，整理后就能得到x、y需要满足的条件。
【解析】
1. 求解直线AB的解析式
设直线AB对应的函数表达式为$y=kx+b$，将$A(1,2)$、$B(3,-3)$代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}k+b=2\\3k+b=-3\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得$2k=-5$，解得$k=-\frac{5}{2}$，将$k=-\frac{5}{2}$代入$k+b=2$，解得$b=\frac{9}{2}$。
因此直线AB的解析式为$y=-\frac{5}{2}x+\frac{9}{2}$。
2. 转化三点定圆的条件
因为三点可以确定一个圆，所以A、B、C三点不能共线，即点$C(x,y)$不在直线AB上，因此点C的坐标不满足直线AB的方程：
$y ≠ -\frac{5}{2}x + \frac{9}{2}$
两边同时乘以2整理得$2y ≠ -5x +9$，移项后得到$5x+2y ≠9$。
【答案】
$5x+2y≠9$
【知识点】
三点确定一个圆；一次函数解析式求解
【点评】
本题核心是将几何的“三点定圆”条件转化为代数不等关系，易错点是容易直接描述点C不在直线AB上，没有整理为x、y的整式不等式，考察了对几何概念的灵活转化能力，属于基础的概念应用题。
【难度系数】
0.7
我们首先回忆三点确定一个圆的核心条件：只有不在同一直线上的三个点才能确定唯一的一个圆。因此题目要求A、B、C三点可以确定一个圆，等价于点C不在A、B两点所确定的直线上。解题时第一步先通过A、B两点的坐标求出直线AB的函数表达式，第二步将“点C不在直线AB上”转化为对应的代数不等关系，整理后就能得到x、y需要满足的条件。
【解析】
1. 求解直线AB的解析式
设直线AB对应的函数表达式为$y=kx+b$，将$A(1,2)$、$B(3,-3)$代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}k+b=2\\3k+b=-3\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得$2k=-5$，解得$k=-\frac{5}{2}$，将$k=-\frac{5}{2}$代入$k+b=2$，解得$b=\frac{9}{2}$。
因此直线AB的解析式为$y=-\frac{5}{2}x+\frac{9}{2}$。
2. 转化三点定圆的条件
因为三点可以确定一个圆，所以A、B、C三点不能共线，即点$C(x,y)$不在直线AB上，因此点C的坐标不满足直线AB的方程：
$y ≠ -\frac{5}{2}x + \frac{9}{2}$
两边同时乘以2整理得$2y ≠ -5x +9$，移项后得到$5x+2y ≠9$。
【答案】
$5x+2y≠9$
【知识点】
三点确定一个圆；一次函数解析式求解
【点评】
本题核心是将几何的“三点定圆”条件转化为代数不等关系，易错点是容易直接描述点C不在直线AB上，没有整理为x、y的整式不等式，考察了对几何概念的灵活转化能力，属于基础的概念应用题。
【难度系数】
0.7
10. 如图，$D$是$△ ABC$的边$BC$的中点，过$AD$的延长线上的点$E$作$AD$的垂线$EF$，$E$为垂足，$EF$与$AB$的延长线相交于点$F$，点$O$在$AD$上，$AO=CO$，$BC// EF$。求证：
(1) $AB=AC$。
(2) 点$O$是$△ ABC$的外接圆的圆心。
(1) $AB=AC$。
(2) 点$O$是$△ ABC$的外接圆的圆心。
答案
10. (1)
∵ D 是△ABC 的边 BC 的中点,
∴ BD=CD.
∵ BC//EF,AD⊥EF,
∴ AD⊥BC.
∴ AB=AC.
(2) 连接 BO.
∵ D 是△ABC 的边 BC 的中点,
∴ BD=CD.
∵ AD⊥BC,
∴ BO=CO.
∵ AO=CO,
∴ AO=BO=CO.
∴ 点 O 是△ABC 的外接圆的圆心.
∵ D 是△ABC 的边 BC 的中点,
∴ BD=CD.
∵ BC//EF,AD⊥EF,
∴ AD⊥BC.
∴ AB=AC.
(2) 连接 BO.
∵ D 是△ABC 的边 BC 的中点,
∴ BD=CD.
∵ AD⊥BC,
∴ BO=CO.
∵ AO=CO,
∴ AO=BO=CO.
∴ 点 O 是△ABC 的外接圆的圆心.
解析
【分析】
要完成这道证明题，我们可以分两小问梳理思路：
1. 第一问要证AB=AC，我们可以利用线段垂直平分线的性质推导：已知D是BC的中点，只要证明AD垂直于BC，就能说明AD是BC的垂直平分线，点A在BC的垂直平分线上，自然就有AB=AC。题目给出EF⊥AD，且BC//EF，根据平行线的性质，就可以直接推出AD⊥BC，条件就凑齐了。
2. 第二问要证点O是△ABC的外接圆圆心，根据外心的定义，外心是到三角形三个顶点距离都相等的点。题目已经给出AO=CO，我们只需要连接BO，利用AD是BC的垂直平分线、O在AD上的条件，就能得到BO=CO，进而推出AO=BO=CO，满足外心的判定要求。
【解析】
(1) 已知D是△ABC的边BC的中点，因此可得BD=CD。
因为BC//EF，且AD⊥EF（E为垂足），根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，可推出AD⊥BC。
此时AD既平分BC，又垂直于BC，即AD是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AB=AC。
(2) 连接BO，因为D是BC中点，AD⊥BC，即AD垂直平分BC，点O在AD上，根据线段垂直平分线的性质，可得BO=CO。
已知题目条件AO=CO，因此可推出AO=BO=CO，即点O到△ABC三个顶点的距离都相等。
根据三角形外接圆圆心的定义，即可判定点O是△ABC的外接圆的圆心。
【答案】
证明如下：
(1)
∵ D 是△ABC 的边 BC 的中点,
∴ BD=CD.
∵ BC//EF,AD⊥EF,
∴ AD⊥BC.
∴ AB=AC.
(2) 连接 BO.
∵ D 是△ABC 的边 BC 的中点,
∴ BD=CD.
∵ AD⊥BC,
∴ BO=CO.
∵ AO=CO,
∴ AO=BO=CO.
∴ 点 O 是△ABC 的外接圆的圆心.
【知识点】
平行线的性质；线段垂直平分线性质；三角形外心判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考察线段垂直平分线性质的灵活应用，解题的关键是识别出AD是BC的垂直平分线这个核心条件，第一问通过平行线传递垂直关系快速得到等腰三角形，第二问紧扣外心“到三顶点距离相等”的定义完成推导，整体逻辑清晰，适合巩固垂直平分线相关知识点。
【难度系数】
0.8
要完成这道证明题，我们可以分两小问梳理思路：
1. 第一问要证AB=AC，我们可以利用线段垂直平分线的性质推导：已知D是BC的中点，只要证明AD垂直于BC，就能说明AD是BC的垂直平分线，点A在BC的垂直平分线上，自然就有AB=AC。题目给出EF⊥AD，且BC//EF，根据平行线的性质，就可以直接推出AD⊥BC，条件就凑齐了。
2. 第二问要证点O是△ABC的外接圆圆心，根据外心的定义，外心是到三角形三个顶点距离都相等的点。题目已经给出AO=CO，我们只需要连接BO，利用AD是BC的垂直平分线、O在AD上的条件，就能得到BO=CO，进而推出AO=BO=CO，满足外心的判定要求。
【解析】
(1) 已知D是△ABC的边BC的中点，因此可得BD=CD。
因为BC//EF，且AD⊥EF（E为垂足），根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，可推出AD⊥BC。
此时AD既平分BC，又垂直于BC，即AD是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AB=AC。
(2) 连接BO，因为D是BC中点，AD⊥BC，即AD垂直平分BC，点O在AD上，根据线段垂直平分线的性质，可得BO=CO。
已知题目条件AO=CO，因此可推出AO=BO=CO，即点O到△ABC三个顶点的距离都相等。
根据三角形外接圆圆心的定义，即可判定点O是△ABC的外接圆的圆心。
【答案】
证明如下：
(1)
∵ D 是△ABC 的边 BC 的中点,
∴ BD=CD.
∵ BC//EF,AD⊥EF,
∴ AD⊥BC.
∴ AB=AC.
(2) 连接 BO.
∵ D 是△ABC 的边 BC 的中点,
∴ BD=CD.
∵ AD⊥BC,
∴ BO=CO.
∵ AO=CO,
∴ AO=BO=CO.
∴ 点 O 是△ABC 的外接圆的圆心.
【知识点】
平行线的性质；线段垂直平分线性质；三角形外心判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考察线段垂直平分线性质的灵活应用，解题的关键是识别出AD是BC的垂直平分线这个核心条件，第一问通过平行线传递垂直关系快速得到等腰三角形，第二问紧扣外心“到三顶点距离相等”的定义完成推导，整体逻辑清晰，适合巩固垂直平分线相关知识点。
【难度系数】
0.8
11. ⋆ 如图,在等腰三角形 ABC 中,$AB=AC=13\ \mathrm{cm}$,$BC=10\ \mathrm{cm}$,求等腰三角形 ABC 外接圆的半径.
答案
11. 设点 O 为等腰三角形 ABC 外接圆的圆心,连接 AO 并延长,交 BC 于点 D,连接 OB,OC.
∵ AB=AC,OB=OC,
∴ 点 A,O 都在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ AD⊥BC,BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=5 cm. 设等腰三角形 ABC 外接圆的半径为 R cm,则 OA=OB=OC=R cm. 在 Rt△ABD 中,由勾股定理,得 AD=$\sqrt{AB^2-BD^2}$=12 cm.
∴ OD=AD-OA=(12-R)cm. 在 Rt△OBD 中,由勾股定理,得 OB²=OD²+BD²,即 R²=(12-R)²+5²,解得 R=$\frac{169}{24}$.
∴ 等腰三角形 ABC 外接圆的半径为$\frac{169}{24}$ cm.
方法归纳
求三角形外接圆半径的一般方法
直角三角形外接圆的圆心为斜边的中点,其外接圆的半径为斜边的一半. 对于求解等腰三角形的外接圆的半径问题,往往先确定其外接圆圆心的位置,其外接圆圆心必在底边的垂直平分线上,再根据外接圆圆心到各顶点的距离相等,构造以等腰三角形底边的一半和圆的半径为边的直角三角形,运用勾股定理解决问题.
∵ AB=AC,OB=OC,
∴ 点 A,O 都在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ AD⊥BC,BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=5 cm. 设等腰三角形 ABC 外接圆的半径为 R cm,则 OA=OB=OC=R cm. 在 Rt△ABD 中,由勾股定理,得 AD=$\sqrt{AB^2-BD^2}$=12 cm.
∴ OD=AD-OA=(12-R)cm. 在 Rt△OBD 中,由勾股定理,得 OB²=OD²+BD²,即 R²=(12-R)²+5²,解得 R=$\frac{169}{24}$.
∴ 等腰三角形 ABC 外接圆的半径为$\frac{169}{24}$ cm.
方法归纳
求三角形外接圆半径的一般方法
直角三角形外接圆的圆心为斜边的中点,其外接圆的半径为斜边的一半. 对于求解等腰三角形的外接圆的半径问题,往往先确定其外接圆圆心的位置,其外接圆圆心必在底边的垂直平分线上,再根据外接圆圆心到各顶点的距离相等,构造以等腰三角形底边的一半和圆的半径为边的直角三角形,运用勾股定理解决问题.
解析
【分析】
解题思路如下：①首先回忆三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，结合等腰三角形AB=AC的轴对称性，可知底边BC的垂直平分线必然同时经过顶点A和外接圆圆心O，因此过A作BC的垂线，该垂线就是BC的垂直平分线，直接得到BD=CD=BC/2，同时AD⊥BC。②先在Rt△ABD中用勾股定理算出等腰三角形底边上的高AD的长度。③设外接圆半径为R，那么OA=OB=R，OD的长度就可以用AD-R表示，此时在Rt△OBD中，三条边分别是OB=R，OD=12-R，BD=5，代入勾股定理列出关于R的方程，解方程即可得到外接圆半径。
【解析】
解：设点O为等腰△ABC外接圆的圆心，连接AO并延长，交BC于点D，连接OB、OC。
∵ AB=AC，OB=OC，
∴ 点A、O都在线段BC的垂直平分线上，
因此AD⊥BC，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$。
设等腰△ABC外接圆的半径为R cm，则OA=OB=R cm。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm}$，
∴ OD=AD-OA=(12-R) cm。
在Rt△OBD中，由勾股定理可得$OB^2=OD^2+BD^2$，代入对应边长得：
$R^2=(12-R)^2+5^2$
展开方程：$R^2=144-24R+R^2+25$
消去等式两侧的$R^2$，整理得$24R=169$，解得$R=\frac{169}{24}$。
【答案】
等腰三角形ABC外接圆的半径为$\frac{169}{24}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
等腰三角形性质，外接圆性质，勾股定理
【点评】
本题是求等腰三角形外接圆半径的经典题型，利用等腰三角形的轴对称性快速确定外接圆圆心在底边的高线上，将未知的半径转化到直角三角形中构造方程求解，是求解非直角三角形外接圆半径的通用思路，需要注意区分不同类型三角形外接圆圆心的位置，避免线段长度关系列错。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：①首先回忆三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，结合等腰三角形AB=AC的轴对称性，可知底边BC的垂直平分线必然同时经过顶点A和外接圆圆心O，因此过A作BC的垂线，该垂线就是BC的垂直平分线，直接得到BD=CD=BC/2，同时AD⊥BC。②先在Rt△ABD中用勾股定理算出等腰三角形底边上的高AD的长度。③设外接圆半径为R，那么OA=OB=R，OD的长度就可以用AD-R表示，此时在Rt△OBD中，三条边分别是OB=R，OD=12-R，BD=5，代入勾股定理列出关于R的方程，解方程即可得到外接圆半径。
【解析】
解：设点O为等腰△ABC外接圆的圆心，连接AO并延长，交BC于点D，连接OB、OC。
∵ AB=AC，OB=OC，
∴ 点A、O都在线段BC的垂直平分线上，
因此AD⊥BC，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$。
设等腰△ABC外接圆的半径为R cm，则OA=OB=R cm。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm}$，
∴ OD=AD-OA=(12-R) cm。
在Rt△OBD中，由勾股定理可得$OB^2=OD^2+BD^2$，代入对应边长得：
$R^2=(12-R)^2+5^2$
展开方程：$R^2=144-24R+R^2+25$
消去等式两侧的$R^2$，整理得$24R=169$，解得$R=\frac{169}{24}$。
【答案】
等腰三角形ABC外接圆的半径为$\frac{169}{24}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
等腰三角形性质，外接圆性质，勾股定理
【点评】
本题是求等腰三角形外接圆半径的经典题型，利用等腰三角形的轴对称性快速确定外接圆圆心在底边的高线上，将未知的半径转化到直角三角形中构造方程求解，是求解非直角三角形外接圆半径的通用思路，需要注意区分不同类型三角形外接圆圆心的位置，避免线段长度关系列错。
【难度系数】
0.6
12. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°,AD ⊥ BC$于点$D$,$△ ABC$,$△ ABD$,$△ ACD$的外接圆半径分别为$R,R_1,R_2$,则有（
A.$R=R_1+R_2$
B.$R=\dfrac{R_1+R_2}{2}$
C.$R^2=R_1R_2$
D.$R^2=R^2_1+R^2_2$
D
）A.$R=R_1+R_2$
B.$R=\dfrac{R_1+R_2}{2}$
C.$R^2=R_1R_2$
D.$R^2=R^2_1+R^2_2$
答案
12. D
∵ R,R₁,R₂分别为△ABC,△ABD,△ACD 的外接圆半径,∠BAC=90°,AD⊥BC,
∴ R=$\frac{1}{2}$BC,R₁=$\frac{1}{2}$AB,R₂=$\frac{1}{2}$AC.
∵ BC²=AB²+AC²,
∴ R²=R₁²+R₂².
∵ R,R₁,R₂分别为△ABC,△ABD,△ACD 的外接圆半径,∠BAC=90°,AD⊥BC,
∴ R=$\frac{1}{2}$BC,R₁=$\frac{1}{2}$AB,R₂=$\frac{1}{2}$AC.
∵ BC²=AB²+AC²,
∴ R²=R₁²+R₂².
解析
【分析】
解题思路：首先观察三个三角形的特征，发现△ABC、△ABD、△ACD均为直角三角形，先回忆直角三角形外接圆的核心性质：直角三角形的外接圆直径就是它的斜边，因此外接圆半径等于对应斜边长度的一半。第一步先分别写出三个三角形外接圆半径和对应斜边的关系：Rt△ABC直角在A点，斜边为BC，因此R=BC/2；Rt△ABD直角在D点，斜边为AB，因此R₁=AB/2；Rt△ACD直角在D点，斜边为AC，因此R₂=AC/2。第二步结合Rt△ABC中的勾股定理BC²=AB²+AC²，将上述半径表达式代入等式化简，就能得到三个半径的关系式，匹配对应选项即可。
【解析】
解：
1. 判定直角三角形：
已知∠BAC=90°，AD⊥BC，因此∠ADB=∠ADC=90°，可得△ABC、△ABD、△ACD均为直角三角形。
2. 推导各外接圆半径表达式：
根据直角三角形外接圆性质：直角三角形的外接圆直径等于其斜边长度，因此：
Rt△ABC的外接圆半径$ R=\frac{1}{2}BC$，即 BC=2R
Rt△ABD的外接圆半径$ R_1=\frac{1}{2}AB$，即$ AB=2R_1$
Rt△ACD的外接圆半径$ R_2=\frac{1}{2}AC$，即$ AC=2R_2$
3. 结合勾股定理化简：
在Rt△ABC中，由勾股定理得$ BC^2=AB^2+AC^2$，将上述BC、AB、AC的表达式代入得：
$ (2R)^2=(2R_1)^2+(2R_2)^2 $两边同时除以4，化简可得$ R^2=R_1^2+R_2^2$。
因此选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形外接圆性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础推导题，不需要复杂辅助线或运算，只要准确识别三个直角三角形的斜边，正确写出三个外接圆半径和斜边的对应关系，再结合勾股定理即可快速得到结论，易错点是误将直角边当作Rt△ABD、Rt△ACD的斜边，导致半径表达式写错。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先观察三个三角形的特征，发现△ABC、△ABD、△ACD均为直角三角形，先回忆直角三角形外接圆的核心性质：直角三角形的外接圆直径就是它的斜边，因此外接圆半径等于对应斜边长度的一半。第一步先分别写出三个三角形外接圆半径和对应斜边的关系：Rt△ABC直角在A点，斜边为BC，因此R=BC/2；Rt△ABD直角在D点，斜边为AB，因此R₁=AB/2；Rt△ACD直角在D点，斜边为AC，因此R₂=AC/2。第二步结合Rt△ABC中的勾股定理BC²=AB²+AC²，将上述半径表达式代入等式化简，就能得到三个半径的关系式，匹配对应选项即可。
【解析】
解：
1. 判定直角三角形：
已知∠BAC=90°，AD⊥BC，因此∠ADB=∠ADC=90°，可得△ABC、△ABD、△ACD均为直角三角形。
2. 推导各外接圆半径表达式：
根据直角三角形外接圆性质：直角三角形的外接圆直径等于其斜边长度，因此：
Rt△ABC的外接圆半径$ R=\frac{1}{2}BC$，即 BC=2R
Rt△ABD的外接圆半径$ R_1=\frac{1}{2}AB$，即$ AB=2R_1$
Rt△ACD的外接圆半径$ R_2=\frac{1}{2}AC$，即$ AC=2R_2$
3. 结合勾股定理化简：
在Rt△ABC中，由勾股定理得$ BC^2=AB^2+AC^2$，将上述BC、AB、AC的表达式代入得：
$ (2R)^2=(2R_1)^2+(2R_2)^2 $两边同时除以4，化简可得$ R^2=R_1^2+R_2^2$。
因此选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形外接圆性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础推导题，不需要复杂辅助线或运算，只要准确识别三个直角三角形的斜边，正确写出三个外接圆半径和斜边的对应关系，再结合勾股定理即可快速得到结论，易错点是误将直角边当作Rt△ABD、Rt△ACD的斜边，导致半径表达式写错。
【难度系数】
0.7
13. 在$△ ABC$和$△ ADE$中，$AB=AC$，$AD=AE$，$∠ BAC=∠ DAE=50°$，连接$BD$和$CE$，将$△ ADE$绕点$A$旋转($△ ADE$始终在$AB$所在直线的右侧).
(1) 如图①，在$△ ADE$绕点$A$旋转的过程中，当$AE// BC$时，求$∠ DAC$的度数.
(2) 如图②，当点$D$恰好是$△ ABC$的外心时，连接$DC$，试判断四边形$ADCE$的形状，并说明理由.
(1) 如图①，在$△ ADE$绕点$A$旋转的过程中，当$AE// BC$时，求$∠ DAC$的度数.
(2) 如图②，当点$D$恰好是$△ ABC$的外心时，连接$DC$，试判断四边形$ADCE$的形状，并说明理由.
答案
13. (1)
∵ AB = AC, ∠BAC = 50°,
∴ ∠ABC = $\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=65°.
∵ AE//BC,
∴ ∠BAE = 180°-∠ABC=115°.
∴ ∠DAC = ∠BAE - ∠BAC - ∠DAE = 115°-50°-50°=15°. (2) 四边形ADCE为菱形. 理由:
∵ 点 D 为△ABC 的外心,
∴ AD = BD = CD.
∵ ∠BAC = ∠DAE,
∴ ∠BAC - ∠CAD = ∠DAE - ∠CAD, 即∠BAD = ∠CAE. 在△BAD 和△CAE 中,
$\begin{cases}BA=CA,\\∠BAD=∠CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
∴ △BAD≌△CAE(SAS).
∴ BD=CE. 又
∵ AD=AE,
∴ AD=AE=CD=CE.
∴ 四边形ADCE为菱形.
∵ AB = AC, ∠BAC = 50°,
∴ ∠ABC = $\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=65°.
∵ AE//BC,
∴ ∠BAE = 180°-∠ABC=115°.
∴ ∠DAC = ∠BAE - ∠BAC - ∠DAE = 115°-50°-50°=15°. (2) 四边形ADCE为菱形. 理由:
∵ 点 D 为△ABC 的外心,
∴ AD = BD = CD.
∵ ∠BAC = ∠DAE,
∴ ∠BAC - ∠CAD = ∠DAE - ∠CAD, 即∠BAD = ∠CAE. 在△BAD 和△CAE 中,
$\begin{cases}BA=CA,\\∠BAD=∠CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
∴ △BAD≌△CAE(SAS).
∴ BD=CE. 又
∵ AD=AE,
∴ AD=AE=CD=CE.
∴ 四边形ADCE为菱形.
解析
【分析】
第(1)问：首先根据AB=AC、∠BAC=50°，利用等腰三角形内角和性质算出△ABC的底角∠ABC的度数；再结合AE//BC的条件，通过平行线同旁内角互补得到∠BAE的度数；最后观察角的组成，∠BAE由∠BAC、∠DAC、∠DAE相加得到，代入已知的两个50°角即可求出∠DAC。
第(2)问：先利用三角形外心的性质，得到点D到△ABC三个顶点距离相等，即AD=BD=CD；再通过∠BAC=∠DAE，同时减去公共角∠CAD得到∠BAD=∠CAE，结合AB=AC、AD=AE用SAS证明△BAD≌△CAE，推出BD=CE，进而得到四边形ADCE四条边全部相等，即可判定四边形的形状。
【解析】
(1) 解：
∵ AB=AC，∠BAC=50°，
∴ △ABC为等腰三角形，∠ABC = $\frac{1}{2}(180°-∠BAC) = \frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$。
∵ AE//BC，
∴ ∠BAE + ∠ABC = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠BAE = 180° - 65° = 115°。
又
∵ ∠DAE=50°，且∠BAE = ∠BAC + ∠DAC + ∠DAE，
∴ ∠DAC = 115° - 50° - 50° = 15°。
(2) 四边形ADCE为菱形，理由如下：
∵ 点D是△ABC的外心，
∴ AD=BD=CD（三角形外心到三个顶点的距离相等）。
∵ ∠BAC=∠DAE=50°，
∴ ∠BAC - ∠CAD = ∠DAE - ∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
在△BAD和△CAE中：
$\begin{cases}BA=CA \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{cases}$
∴ △BAD ≌ △CAE（SAS），
∴ BD=CE。
又
∵ AD=AE，结合BD=AD=CD，可得AD=AE=CD=CE，
根据四条边相等的四边形是菱形，因此四边形ADCE为菱形。
【答案】
(1) ∠DAC的度数为15°；(2) 四边形ADCE是菱形。
【知识点】
等腰三角形性质，全等三角形SAS判定，菱形判定，三角形外心性质
【点评】
本题以图形旋转为载体，综合考察了平行线性质、等腰三角形性质、全等三角形证明、特殊四边形判定以及三角形外心的概念，解题核心是抓住旋转过程中的角等量关系，逐步推导边和角的关联，能够有效检验学生对基础几何知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
第(1)问：首先根据AB=AC、∠BAC=50°，利用等腰三角形内角和性质算出△ABC的底角∠ABC的度数；再结合AE//BC的条件，通过平行线同旁内角互补得到∠BAE的度数；最后观察角的组成，∠BAE由∠BAC、∠DAC、∠DAE相加得到，代入已知的两个50°角即可求出∠DAC。
第(2)问：先利用三角形外心的性质，得到点D到△ABC三个顶点距离相等，即AD=BD=CD；再通过∠BAC=∠DAE，同时减去公共角∠CAD得到∠BAD=∠CAE，结合AB=AC、AD=AE用SAS证明△BAD≌△CAE，推出BD=CE，进而得到四边形ADCE四条边全部相等，即可判定四边形的形状。
【解析】
(1) 解：
∵ AB=AC，∠BAC=50°，
∴ △ABC为等腰三角形，∠ABC = $\frac{1}{2}(180°-∠BAC) = \frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$。
∵ AE//BC，
∴ ∠BAE + ∠ABC = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠BAE = 180° - 65° = 115°。
又
∵ ∠DAE=50°，且∠BAE = ∠BAC + ∠DAC + ∠DAE，
∴ ∠DAC = 115° - 50° - 50° = 15°。
(2) 四边形ADCE为菱形，理由如下：
∵ 点D是△ABC的外心，
∴ AD=BD=CD（三角形外心到三个顶点的距离相等）。
∵ ∠BAC=∠DAE=50°，
∴ ∠BAC - ∠CAD = ∠DAE - ∠CAD，即∠BAD=∠CAE。
在△BAD和△CAE中：
$\begin{cases}BA=CA \\∠BAD=∠CAE \\AD=AE\end{cases}$
∴ △BAD ≌ △CAE（SAS），
∴ BD=CE。
又
∵ AD=AE，结合BD=AD=CD，可得AD=AE=CD=CE，
根据四条边相等的四边形是菱形，因此四边形ADCE为菱形。
【答案】
(1) ∠DAC的度数为15°；(2) 四边形ADCE是菱形。
【知识点】
等腰三角形性质，全等三角形SAS判定，菱形判定，三角形外心性质
【点评】
本题以图形旋转为载体，综合考察了平行线性质、等腰三角形性质、全等三角形证明、特殊四边形判定以及三角形外心的概念，解题核心是抓住旋转过程中的角等量关系，逐步推导边和角的关联，能够有效检验学生对基础几何知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
