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1. (教材习题变式)(2024·长沙)如图,在$\odot O$中,弦$AB$的长为8,圆心$O$到$AB$的距离$OE=$4,则$\odot O$的半径为（
A.4
B.$4\sqrt{2}$
C.5
D.$5\sqrt{2}$
B
）A.4
B.$4\sqrt{2}$
C.5
D.$5\sqrt{2}$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决本题，需利用垂径定理和勾股定理：已知OE垂直于弦AB，根据垂径定理可知OE平分AB，先求出AE的长度；再连接半径OA，得到直角三角形OAE，最后用勾股定理计算出OA的长度，即圆的半径。
【解析】
连接OA，
∵ OE⊥AB，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
∴ AE = $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4$。
在Rt△OAE中，OE=4，AE=4，由勾股定理得：
$OA^2 = AE^2 + OE^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$，
∴ $OA = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$，即⊙O的半径为$4\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是垂径定理的基础应用题，通过构造直角三角形结合勾股定理求解圆的半径，属于圆章节的基础题型，考查学生对垂径定理和勾股定理的基本应用能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需利用垂径定理和勾股定理：已知OE垂直于弦AB，根据垂径定理可知OE平分AB，先求出AE的长度；再连接半径OA，得到直角三角形OAE，最后用勾股定理计算出OA的长度，即圆的半径。
【解析】
连接OA，
∵ OE⊥AB，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
∴ AE = $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4$。
在Rt△OAE中，OE=4，AE=4，由勾股定理得：
$OA^2 = AE^2 + OE^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$，
∴ $OA = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$，即⊙O的半径为$4\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是垂径定理的基础应用题，通过构造直角三角形结合勾股定理求解圆的半径，属于圆章节的基础题型，考查学生对垂径定理和勾股定理的基本应用能力。
【难度系数】
0.6
2. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,弦$CD⊥ AB$于点$E$,则下列结论不一定正确的是（
A.$BE=OE$
B.$AC=AD$
C.$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}$
D.$∠ CAB=∠ DAB$
A
）A.$BE=OE$
B.$AC=AD$
C.$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}$
D.$∠ CAB=∠ DAB$
答案
2. A
解析
【分析】
本题考查圆的垂径定理及相关性质，解题思路是结合垂径定理、全等三角形的性质逐一分析每个选项，判断结论是否一定成立。首先明确AB是直径且CD⊥AB，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧，再结合三角形全等、弧与角的关系判断各选项。
【解析】
逐一分析选项：
1. 选项B：因为AB是⊙O的直径，CD⊥AB，所以CE=DE（垂径定理）。又AE=AE，∠AEC=∠AED=90°，根据SAS可证△AEC≌△AED，因此AC=AD，结论正确。
2. 选项C：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，AB⊥CD，所以$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}$，结论正确。
3. 选项D：由△AEC≌△AED可得∠CAB=∠DAB，结论正确。
4. 选项A：BE和OE的长度没有必然相等的关系，题目仅说明CD⊥AB，未限定E为OB中点，因此BE=OE不一定成立。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理、全等三角形判定、圆的弧与角
【点评】
本题结合垂径定理和全等三角形知识，考查对圆的基本性质的理解，需要准确区分定理的适用条件，逐一验证选项即可得出结论，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题考查圆的垂径定理及相关性质，解题思路是结合垂径定理、全等三角形的性质逐一分析每个选项，判断结论是否一定成立。首先明确AB是直径且CD⊥AB，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧，再结合三角形全等、弧与角的关系判断各选项。
【解析】
逐一分析选项：
1. 选项B：因为AB是⊙O的直径，CD⊥AB，所以CE=DE（垂径定理）。又AE=AE，∠AEC=∠AED=90°，根据SAS可证△AEC≌△AED，因此AC=AD，结论正确。
2. 选项C：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，AB⊥CD，所以$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}$，结论正确。
3. 选项D：由△AEC≌△AED可得∠CAB=∠DAB，结论正确。
4. 选项A：BE和OE的长度没有必然相等的关系，题目仅说明CD⊥AB，未限定E为OB中点，因此BE=OE不一定成立。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理、全等三角形判定、圆的弧与角
【点评】
本题结合垂径定理和全等三角形知识，考查对圆的基本性质的理解，需要准确区分定理的适用条件，逐一验证选项即可得出结论，难度适中。
【难度系数】
0.5
3. (2025·内江) 如图，$AB$是$\odot O$的弦，半径$OC⊥ AB$于点$D$，且$AB=8,OC=5$，则$DC$的长为
2
。答案
3. 2 解析:$\because OC⊥ AB,\therefore AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$. 在$\mathrm{Rt}△ OAD$中,$OA=OC=5,AD=4,\therefore OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3,\therefore DC=OC-OD=5-3=2$.
解析
【分析】要计算DC的长度，首先利用垂径定理：垂直于弦的半径平分弦，由OC⊥AB可求出弦AB的一半AD的长度；接着连接半径OA，在直角三角形OAD中，已知OA（半径）和AD的长度，用勾股定理算出OD的长度；最后根据OC是半径，DC=OC-OD，即可得到DC的长。
【解析】解：
∵ OC⊥AB，根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，
∴ $AD = BD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4$。
连接OA，
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ $OA = OC = 5$。
在$\mathrm{Rt}△OAD$中，由勾股定理得：
$OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$。
∴ $DC = OC - OD = 5 - 3 = 2$。
【答案】2
【知识点】垂径定理、勾股定理
【点评】本题结合垂径定理与勾股定理求解线段长度，是圆章节的基础计算题，解题核心是利用垂径定理得到弦的一半，构造直角三角形用勾股定理计算，属于需熟练掌握的基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】解：
∵ OC⊥AB，根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，
∴ $AD = BD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4$。
连接OA，
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ $OA = OC = 5$。
在$\mathrm{Rt}△OAD$中，由勾股定理得：
$OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$。
∴ $DC = OC - OD = 5 - 3 = 2$。
【答案】2
【知识点】垂径定理、勾股定理
【点评】本题结合垂径定理与勾股定理求解线段长度，是圆章节的基础计算题，解题核心是利用垂径定理得到弦的一半，构造直角三角形用勾股定理计算，属于需熟练掌握的基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
4. 如图 ,AB 为$\odot O$的弦 ,半径$OD⊥ AB$于点C. 若$AB=8$,$CD=2$,则$\odot O$的半径为
5
.答案
4. 5 解析:连接 $OA$. $\because AB=8,OD⊥ AB,\therefore AC=BC=\frac{1}{2}AB=4$. 设 $\odot O$ 的半径为 $r$, 则 $OC=r-CD=r-2$. 在$\mathrm{Rt}△ OAC$中,$OA^2=OC^2+AC^2$,即$r^2=(r-2)^2+4^2$,解得 $r=5$,$\therefore \odot O$ 的半径为 5.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用垂径定理，由OD垂直AB得到AB被OD平分，从而求出弦AB的一半长度；接着连接半径OA，构造直角三角形OAC，设圆的半径为r，用r表示直角三角形的两条直角边，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出半径。
【解析】
连接OA，
∵ OD⊥AB，AB=8，
∴ 根据垂径定理，AC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×8 = 4。
设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，
∵ CD=2，
∴ OC = OD - CD = r - 2。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA² = OC² + AC²，
即 $r^2 = (r - 2)^2 + 4^2$，
展开右边得：$r^2 = r^2 - 4r + 4 + 16$，
化简得：$0 = -4r + 20$，
解得：$r = 5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是垂径定理与勾股定理结合的基础应用题，核心是利用垂径定理得到弦的一半长度，再通过构造直角三角形设未知数列方程求解，属于圆的常规基础题型，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先利用垂径定理，由OD垂直AB得到AB被OD平分，从而求出弦AB的一半长度；接着连接半径OA，构造直角三角形OAC，设圆的半径为r，用r表示直角三角形的两条直角边，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出半径。
【解析】
连接OA，
∵ OD⊥AB，AB=8，
∴ 根据垂径定理，AC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×8 = 4。
设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，
∵ CD=2，
∴ OC = OD - CD = r - 2。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA² = OC² + AC²，
即 $r^2 = (r - 2)^2 + 4^2$，
展开右边得：$r^2 = r^2 - 4r + 4 + 16$，
化简得：$0 = -4r + 20$，
解得：$r = 5$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是垂径定理与勾股定理结合的基础应用题，核心是利用垂径定理得到弦的一半长度，再通过构造直角三角形设未知数列方程求解，属于圆的常规基础题型，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
5.【新情境】圆在中式建筑中有着广泛的应用. 如图,某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为 2.8 m,地面入口的宽度为 1 m,门枕的高度为 0.3 m,求该圆弧形门洞所在圆的半径.
答案
5. 设该圆弧形门洞的半径为 $r$ m,如图,连接 $AB$,过圆心 $O$ 作 $OC⊥ AB$ 于点 $C$,延长 $CO$ 交 $\odot O$ 于点 $D$,连接 $OA$,则 $CD=2.8-0.3=2.5(\mathrm{m})$,$AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×1=0.5(\mathrm{m})$,$\therefore OC=(2.5-r)\mathrm{m}$. 在$\mathrm{Rt}△ AOC$中,$OA^2=OC^2+AC^2$,即 $0.5^2+(2.5-r)^2=r^2$,解得 $r=1.3$,即该圆弧形门洞的半径为 1.3 m.
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合垂径定理和勾股定理，通过构造直角三角形建立方程求解。首先设圆的半径为$r$，再根据图形给出的高度、宽度信息，确定直角三角形各边的长度，最后利用勾股定理列方程计算半径。
【解析】
设该圆弧形门洞所在圆的半径为$r\ \mathrm{m}$。
如图，连接$AB$，过圆心$O$作$OC ⊥ AB$于点$C$，延长$CO$交$\odot O$于点$D$，连接$OA$。
1. 计算相关线段长度：
顶端到地面高度为$2.8\ \mathrm{m}$，门枕高度为$0.3\ \mathrm{m}$，因此$CD = 2.8 - 0.3 = 2.5\ \mathrm{m}$；
地面入口宽度$AB = 1\ \mathrm{m}$，由垂径定理得$AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 1 = 0.5\ \mathrm{m}$；
圆心到弦$AB$的距离$OC = CD - OD = 2.5 - r$（$OD=r$为圆的半径）。
2. 利用勾股定理列方程：
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，根据勾股定理$OA^2 = OC^2 + AC^2$，代入$OA=r$得：
$ r^2 = (2.5 - r)^2 + 0.5^2 $
3. 解方程：
展开并整理方程：$r^2 = 6.25 - 5r + r^2 + 0.25$，消去$r^2$后解得$r = 1.3$。
【答案】
1.3 m
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的半径计算
【点评】
本题结合中式建筑的实际情境，考查圆的性质的应用，核心是通过垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解，体现了几何知识在实际问题中的运用，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需结合垂径定理和勾股定理，通过构造直角三角形建立方程求解。首先设圆的半径为$r$，再根据图形给出的高度、宽度信息，确定直角三角形各边的长度，最后利用勾股定理列方程计算半径。
【解析】
设该圆弧形门洞所在圆的半径为$r\ \mathrm{m}$。
如图，连接$AB$，过圆心$O$作$OC ⊥ AB$于点$C$，延长$CO$交$\odot O$于点$D$，连接$OA$。
1. 计算相关线段长度：
顶端到地面高度为$2.8\ \mathrm{m}$，门枕高度为$0.3\ \mathrm{m}$，因此$CD = 2.8 - 0.3 = 2.5\ \mathrm{m}$；
地面入口宽度$AB = 1\ \mathrm{m}$，由垂径定理得$AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 1 = 0.5\ \mathrm{m}$；
圆心到弦$AB$的距离$OC = CD - OD = 2.5 - r$（$OD=r$为圆的半径）。
2. 利用勾股定理列方程：
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，根据勾股定理$OA^2 = OC^2 + AC^2$，代入$OA=r$得：
$ r^2 = (2.5 - r)^2 + 0.5^2 $
3. 解方程：
展开并整理方程：$r^2 = 6.25 - 5r + r^2 + 0.25$，消去$r^2$后解得$r = 1.3$。
【答案】
1.3 m
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的半径计算
【点评】
本题结合中式建筑的实际情境，考查圆的性质的应用，核心是通过垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解，体现了几何知识在实际问题中的运用，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.6
6. 如图,在以点 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 交小圆于 C、D 两点.
(1)求证:$AC=BD.$
(2)连接 OA、OC,若$OA=6,OC=4,∠ OCD=60°$,求 AC 的长.
(1)求证:$AC=BD.$
(2)连接 OA、OC,若$OA=6,OC=4,∠ OCD=60°$,求 AC 的长.
答案
6. (1)证明:如图,过点 $O$ 作 $OH⊥ CD$ 于点 $H$. $\because OH⊥ CD$,$\therefore CH=DH,AH=BH$,$\therefore AH-CH=BH-DH$,即 $AC=BD$.
(2)如图,连接 $OD$. $\because OC=OD,∠ OCD=60°$,$\therefore △ OCD$ 是等边三角形,$\therefore CD=OC=4$,$\therefore CH=2$,$\therefore OH=\sqrt{OC^2-CH^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$,$\therefore AH=\sqrt{OA^2-OH^2}=\sqrt{6^2-(2\sqrt{3})^2}=2\sqrt{6}$,$\therefore AC=AH-CH=2\sqrt{6}-2$.
解析
【分析】
(1) 要证明AC=BD，需利用垂径定理：过圆心作弦的垂线可平分弦。因此过点O作OH⊥AB于H，根据垂径定理，OH平分AB和CD，即AH=BH、CH=DH，通过线段的差即可推导AC=BD；
(2) 求AC的长时，已知OC=OD且∠OCD=60°，可判定△OCD为等边三角形得到CD长度；再利用垂径定理得CH=CD/2，结合勾股定理算出OH；最后在Rt△OAH中用勾股定理算出AH，通过AH-CH得到AC。
【解析】
(1) 证明：如图，过点O作OH⊥CD于点H.
∵ OH⊥CD，AB是大圆的弦，CD是小圆的弦，
∴ 根据垂径定理，CH=DH，AH=BH，
∴ AH - CH = BH - DH，即 AC=BD.
(2) 解：如图，连接OD.
∵ OC=OD，∠OCD=60°，
∴ △OCD是等边三角形，
∴ CD=OC=4，
∵ OH⊥CD，
∴ CH=CD/2=2，
在Rt△OHC中，由勾股定理得：
OH=√(OC² - CH²)=√(4² - 2²)=2√3，
在Rt△OAH中，由勾股定理得：
AH=√(OA² - OH²)=√(6² - (2√3)²)=√(36 - 12)=2√6，
∴ AC=AH - CH=2√6 - 2.
【答案】
(1) 证明：如图，过点O作OH⊥CD于点H.
∵OH⊥CD，
∴CH=DH，AH=BH，
∴AH-CH=BH-DH，即AC=BD；(2) AC=2√6 -2.
【知识点】
垂径定理、等边三角形性质、勾股定理
【点评】
本题是圆中基础题型，核心考查垂径定理的应用，结合等边三角形判定与勾股定理求解线段长度，辅助线（过圆心作弦的垂线）的构造是解题关键，难度适中。
【难度系数】
0.5
(1) 要证明AC=BD，需利用垂径定理：过圆心作弦的垂线可平分弦。因此过点O作OH⊥AB于H，根据垂径定理，OH平分AB和CD，即AH=BH、CH=DH，通过线段的差即可推导AC=BD；
(2) 求AC的长时，已知OC=OD且∠OCD=60°，可判定△OCD为等边三角形得到CD长度；再利用垂径定理得CH=CD/2，结合勾股定理算出OH；最后在Rt△OAH中用勾股定理算出AH，通过AH-CH得到AC。
【解析】
(1) 证明：如图，过点O作OH⊥CD于点H.
∵ OH⊥CD，AB是大圆的弦，CD是小圆的弦，
∴ 根据垂径定理，CH=DH，AH=BH，
∴ AH - CH = BH - DH，即 AC=BD.
(2) 解：如图，连接OD.
∵ OC=OD，∠OCD=60°，
∴ △OCD是等边三角形，
∴ CD=OC=4，
∵ OH⊥CD，
∴ CH=CD/2=2，
在Rt△OHC中，由勾股定理得：
OH=√(OC² - CH²)=√(4² - 2²)=2√3，
在Rt△OAH中，由勾股定理得：
AH=√(OA² - OH²)=√(6² - (2√3)²)=√(36 - 12)=2√6，
∴ AC=AH - CH=2√6 - 2.
【答案】
(1) 证明：如图，过点O作OH⊥CD于点H.
∵OH⊥CD，
∴CH=DH，AH=BH，
∴AH-CH=BH-DH，即AC=BD；(2) AC=2√6 -2.
【知识点】
垂径定理、等边三角形性质、勾股定理
【点评】
本题是圆中基础题型，核心考查垂径定理的应用，结合等边三角形判定与勾股定理求解线段长度，辅助线（过圆心作弦的垂线）的构造是解题关键，难度适中。
【难度系数】
0.5
