7. 如图,在$\odot O$中,弦$AB=5$,点$C$在$AB$上移动,连接$OC$,过点$C$作$CD ⊥ OC$交$\odot O$于点$D$,则$CD$长的最大值为（）

A.$5$
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$3$
D.$2$

7. B 解析:如图,连接 $OD$. $\because CD⊥ OC$,$\therefore ∠ DCO=90°$,$\therefore CD=\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{r^2-OC^2}$. 当 $OC⊥ AB$ 时,$OC$ 的值最小,此时 $CD$ 长的最大值,且 $D$、$B$ 两点重合,$\therefore CD=CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$,即 $CD$ 长的最大值为 $\frac{5}{2}$.

【分析】要找到CD的最大值，首先连接OD构造直角三角形OCD，利用勾股定理将CD转化为与半径OD和线段OC相关的表达式；由于OD是定值，因此CD的大小由OC决定，需先确定OC的最小值；根据点到直线的距离中垂线段最短，当OC垂直AB时OC最小，此时点C为AB中点，结合圆的对称性可知此时D与B重合，进而求出CD的最大值。
【解析】连接OD，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO=90°，在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD=√(OD² - OC²)。
∵OD是⊙O的半径，为定值，
∴当OC最小时，CD最大。点C在AB上移动，根据“垂线段最短”，当OC⊥AB时，OC取得最小值，此时点C为AB的中点，故CB=1/2 AB=1/2×5=5/2。此时由圆的对称性可知，点D与点B重合，因此CD=CB=5/2，即CD长的最大值为5/2。
【答案】B
【知识点】勾股定理，垂线段最短，圆的性质
【点评】本题结合直角三角形勾股定理与圆的性质，考查圆中线段最值的求解，核心是利用垂线段最短找到OC的最小值，再结合圆的对称性得到CD的最大值，是圆相关的典型中档题。
【难度系数】0.5

8. 如图 ,$AB$、$AC$ 都是$\odot O$ 的弦 ,$BC$ 是直径 ,$OM⊥ AB$,$ON⊥ AC$, 垂足分别为 $M$、$N$. 若 $MN=$3 , 则 $BC=$ .

8. 6 解析:$\because OM⊥ AB,ON⊥ AC$,$\therefore AM=BM=\frac{1}{2}AB$,$AN=CN=\frac{1}{2}AC$,$\therefore MN$ 为 $△ ABC$ 的中位线,$\therefore BC=2MN=2×3=6$.

【分析】
要解决本题，首先根据垂直于弦的直径的性质（垂径定理）确定AB、AC的中点，再结合三角形中位线的定义与性质，即可求出BC的长度。
【解析】
∵ OM⊥AB，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
∴ AM=BM=$\frac{1}{2}$AB；
同理，ON⊥AC，可得AN=CN=$\frac{1}{2}$AC；
由此可知，MN是△ABC的中位线（连接三角形两边中点的线段为中位线），根据三角形中位线的性质：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴ BC=2MN；
已知MN=3，代入得BC=2×3=6。
【答案】
6
【知识点】
垂径定理、三角形中位线
【点评】
本题综合考查垂径定理和三角形中位线的性质，核心是通过垂径定理找到AB、AC的中点，进而判定MN为中位线，属于基础几何应用题型，难度适中，注重基础定理的灵活运用。
【难度系数】
0.6

9. 如图,在直径为 650 mm 的圆柱形油罐内装进一些油后,其油面宽为 600 mm,则油的最大深度为mm.

9. 200 或 450 解析:分两种情况考虑:当油面超过圆心位置时,如图1,过点 $O$ 作 $OC⊥ AB$ 于点 $C$,连接 $OA$,则 $AC=BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×600=300(\mathrm{mm})$,在 $\mathrm{Rt}△ AOC$ 中,$OA=\frac{1}{2}×650=325(\mathrm{mm})$,$\therefore OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{325^2-300^2}=125(\mathrm{mm})$,此时油的最大深度为 $325+125=450(\mathrm{mm})$;当油面没有超过圆心位置时,如图2,同理可得 $OC=125\ \mathrm{mm}$,此时油的最大深度为 $325-125=200(\mathrm{mm})$. 综上所述,油的最大深度为 200 mm 或 450 mm.

【分析】
本题需分两种情况讨论油面与圆心的位置关系，利用垂径定理和勾股定理计算圆心到油面（弦AB）的距离，再结合半径求出油的最大深度。首先确定圆的半径，作弦AB的垂线，由垂径定理得弦的一半长度，再通过勾股定理算出圆心到弦的距离，最后根据油面在圆心上方或下方两种情况，分别计算油的最大深度。
【解析】
已知圆柱形油罐直径为650mm，则圆的半径OA = 650÷2 = 325mm。过圆心O作OC⊥AB于点C，根据垂径定理，AC = BC = $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×600 = 300$mm。在Rt△AOC中，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{325^2 - 300^2} = \sqrt{15625} = 125$mm。
分两种情况：
1. 当油面在圆心下方时（如图2），油的最大深度为半径减去OC，即$325 - 125 = 200$mm；
2. 当油面在圆心上方时（如图1），油的最大深度为半径加上OC，即$325 + 125 = 450$mm。
综上，油的最大深度为200mm或450mm。
【答案】
200 或 450
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题考查垂径定理与勾股定理的综合应用，解题关键是分类讨论油面与圆心的位置关系，避免漏解，体现了数学解题的严谨性。
【难度系数】
0.5

10. 如图,$\odot O$的直径$AB$与弦$CD$交于点$E$,$∠ DEB=30°$,$AE=2$,$EB=6$,则$CD$的长为.

10. $2\sqrt{15}$ 解析:如图,连接 $OD$,过点 $O$ 作 $OF⊥ CD$,交 $CD$ 于点 $F$,则 $CF=DF=\frac{1}{2}CD$. $\because AE=2,EB=6$,$\therefore AB=AE+EB=8$,$\therefore OA=OB=OD=4$,$\therefore OE=OA-AE=2$. 在 $\mathrm{Rt}△ OFE$ 中,$∠ DEB=30°$,$\therefore OF=\frac{1}{2}OE=1$. 在 $\mathrm{Rt}△ OFD$ 中,$DF=\sqrt{OD^2-OF^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$,$\therefore CD=2DF=2\sqrt{15}$.

【分析】要计算弦CD的长度，需利用垂径定理将CD转化为弦长一半相关的线段，结合直角三角形性质和勾股定理求解。首先作辅助线：连接OD，过O作OF⊥CD于F，根据垂径定理得CD=2DF；再计算圆的半径和OE的长度，利用∠DEB=30°在Rt△OFE中求出OF，最后在Rt△OFD中用勾股定理算出DF，进而得到CD。
【解析】
1. 计算圆的直径与半径：
∵ AE=2，EB=6，
∴ AB=AE+EB=8，
∴ ⊙O的半径OA=OB=OD=AB/2=4。
2. 计算OE的长度：
OE=OA - AE=4 - 2=2。
3. 在Rt△OFE中，∠DEB=30°，根据含30°角的直角三角形性质，得OF=(1/2)OE=(1/2)×2=1。
4. 在Rt△OFD中，由勾股定理得：
DF=√(OD² - OF²)=√(4² - 1²)=√15。
5. 根据垂径定理，OF⊥CD，故CF=DF，因此CD=2DF=2√15。
【答案】2√15
【知识点】垂径定理、勾股定理、含30°角的直角三角形性质
【点评】本题是圆中弦长计算的常规题型，需通过作弦的垂线构造直角三角形，结合圆的半径、垂径定理及直角三角形性质求解，关键在于辅助线的构造和线段长度的转化。
【难度系数】0.6

11. 如图,在平面直角坐标系 $xOy$ 中,一个圆与两坐标轴分别交于 $A、B、C、D$ 四点.已知点$A(6,0)、B(-2,0)、C(0,3)$,则点 $D$ 的坐标为.

11. $(0,-4)$ 解析:如图,$\because A(6,0),B(-2,0),C(0,3)$,$\therefore OA=6,OB=2,OC=3$,$\therefore AB=OA+OB=8$. 设圆心为 $P$,过点 $P$ 分别作 $PE⊥ AB$ 于点 $E$,$PF⊥ CD$ 于点 $F$,则 $EA=EB=\frac{1}{2}AB=4$,$FC=FD=\frac{1}{2}CD$,$\therefore OE=EB-OB=4-2=2$,$\therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(2,0)$. 设点 $P$ 的坐标为 $(2,m)$,则点 $F$ 的坐标为 $(0,m)$,$\therefore FC=3-m$,$PF=2$. 连接 $PC$、$PA$. 在 $\mathrm{Rt}△ PFC$ 中,$PC^2=FC^2+PF^2$,即 $PC^2=(3-m)^2+2^2$;在 $\mathrm{Rt}△ PEA$ 中,$PA^2=PE^2+EA^2$,即 $PA^2=m^2+4^2$. $\because PA=PC$,$\therefore (3-m)^2+2^2=m^2+4^2$,解得 $m=-\frac{1}{2}$,$\therefore$ 点 $F$ 的坐标为 $(0,-\frac{1}{2})$,$\therefore FC=FD=3-(-\frac{1}{2})=\frac{7}{2}$,$\therefore OD=OF+FD=\frac{1}{2}+\frac{7}{2}=4$,$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $(0,-4)$.

【分析】要确定点D的坐标，需利用圆的性质：圆心到圆上各点距离相等（半径相等），结合垂径定理和勾股定理求解。首先，AB在x轴上，其垂直平分线是圆心所在直线，由此确定圆心的横坐标；再设圆心坐标，通过PA=PC（均为半径）列方程求出圆心纵坐标，进而计算CD的长度，最终得到点D的坐标。
【解析】
1. 由点$A(6,0)$、$B(-2,0)$，得AB的中点坐标为$(\frac{6+(-2)}{2},0)=(2,0)$，根据垂径定理，圆心在AB的垂直平分线上，故圆心的横坐标为2。
2. 设圆心为$P(2,m)$，过$P$作$PE⊥ AB$于$E$，$PF⊥ CD$于$F$，则$E(2,0)$，$F(0,m)$。
3. 计算线段长度：$EA=\frac{AB}{2}=\frac{6-(-2)}{2}=4$，$PE=|m|$，$PF=2$，$FC=|3-m|$。
4. 因为$PA$、$PC$都是圆的半径，所以$PA=PC$。在$\mathrm{Rt}△ PEA$中，$PA^2=PE^2+EA^2=m^2+4^2$；在$\mathrm{Rt}△ PFC$中，$PC^2=PF^2+FC^2=2^2+(3-m)^2$。
5. 列方程：$m^2+16=4+(3-m)^2$，展开得$m^2+16=13-6m+m^2$，化简解得$m=-\frac{1}{2}$。
6. 由此得$F(0,-\frac{1}{2})$，$FC=3-(-\frac{1}{2})=\frac{7}{2}$，根据垂径定理$FD=FC=\frac{7}{2}$，则$OD=OF+FD=\frac{1}{2}+\frac{7}{2}=4$，因D在y轴负半轴，故$D(0,-4)$。
【答案】$(0,-4)$
【知识点】垂径定理、勾股定理、圆的性质
【点评】本题结合坐标与几何图形，利用垂径定理和勾股定理求圆与坐标轴的交点，关键是确定圆心位置，属于圆的基础应用题型，需掌握坐标与线段长度的转换。
【难度系数】0.5

12. 如图,$P$是$\odot O$内的一个定点.
(1)过点$P$作弦$AB$,使$P$是$AB$的中点.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若$\odot O$的半径为$13$,$OP = 5$.
①求过点$P$的弦的长度$m$的取值范围；
②过点$P$的弦中,长度为整数的弦有条.

12. (1)如图,弦 $AB$ 即为所求.

(2)①过点 $P$ 的所有弦中,直径最长,为 26. 与 $OP$ 垂直的弦最短,如图,连接 $OA$. $\because OP⊥ AB$,$\therefore AP=BP=\sqrt{OA^2-OP^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$,$\therefore AB=2AP=24$. $\therefore$ 过点 $P$ 的弦的长度 $m$ 的取值范围为 $24≤ m≤26$.
②4 解析:过点 $P$ 的弦最长为 26,最短为 24,长度为 25 的弦有两条,$\therefore$ 过点 $P$ 的弦中,长度为整数的弦共有 4 条.

【分析】
要解决本题，需明确：过圆内一点的弦中，直径是最长的弦；垂直于该点与圆心连线的弦是最短的弦。解题时，先利用垂径定理和勾股定理计算最短弦长，再结合直径长度确定弦长范围；最后根据范围找出整数长度的弦的条数。
【解析】
(2)① 过点P的所有弦中，最长的弦是⊙O的直径，已知⊙O半径为13，故直径长为2×13=26，即最长弦长为26。
最短的弦是与OP垂直的弦，设该弦为AB，连接OA。因为OP⊥AB，根据垂径定理，AP=BP=½AB。在Rt△OPA中，OA=13，OP=5，由勾股定理得：AP=√(OA² - OP²)=√(13² -5²)=√144=12，所以AB=2×12=24。
因此，过点P的弦的长度m的取值范围是24≤m≤26。
② 过点P的弦中，长度为整数的弦有：长度24的1条，长度25的2条，长度26的1条，共1+2+1=4条。
【答案】
(1) 如图，弦AB即为所求。
(2) ① 24≤m≤26；② 4
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的弦的性质
【点评】
本题考查圆内过定点的弦的最值问题，核心是利用垂径定理和勾股定理计算最短弦长，需理解最长弦为直径、最短弦垂直于圆心与定点连线的性质，属于基础几何题。
【难度系数】
0.6

13. 如图,有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度 AB 为 12 m,拱高 CD 为 4 m.
(1)求拱桥的半径.
(2)有一艘宽为 7.8 m 的货船,船舱顶部为长方形,且高出水面 3 m,问:此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥? 请说明理由.

13. (1)如图,设拱桥的圆心为 $O$,连接 $OB$. $\because OC⊥ AB$,$\therefore D$ 为 $AB$ 的中点. $\because AB=12\ \mathrm{m}$,$\therefore BD=\frac{1}{2}AB=6\ \mathrm{m}$. 设 $OB=OC=r\ \mathrm{m}$,$\because CD=4\ \mathrm{m}$,则 $OD=(r-4)\mathrm{m}$. 在 $\mathrm{Rt}△ ODB$ 中,$OB^2=OD^2+BD^2$,即 $r^2=(r-4)^2+6^2$,解得 $r=6.5$. $\therefore$ 拱桥的半径为 6.5 m.
(2)如图,设 $MN$ 为货船船舱的顶部,连接 $ON$. $\because CD=4\ \mathrm{m}$,船舱顶部为长方形并高出水面 3 m,$\therefore CE=4-3=1(\mathrm{m})$,$\therefore OE=r-CE=6.5-1=5.5(\mathrm{m})$. 在 $\mathrm{Rt}△ OEN$ 中,$EN=\sqrt{ON^2-OE^2}=\sqrt{6.5^2-5.5^2}=2\sqrt{3}(\mathrm{m})\approx3.5(\mathrm{m})$. $\therefore MN=2EN\approx7.0\ \mathrm{m}＜7.8\ \mathrm{m}$. $\therefore$ 此货船不能顺利通过这座拱桥.

【分析】
这道题是圆的实际应用问题，需结合垂径定理和勾股定理求解。第(1)问求拱桥半径，关键是利用垂径定理得到弦的一半长度，再设半径为未知数，在直角三角形中用勾股定理列方程求解；第(2)问判断货船能否通过，需先确定货船顶部对应的弦长，同样用勾股定理计算该弦长，与船宽比较即可得出结论。
【解析】
(1) 设拱桥的圆心为 $ O $，连接 $ OB $。
因为 $ OC ⊥ AB $，根据垂径定理，$ D $ 为 $ AB $ 的中点。
已知 $ AB = 12\ \mathrm{m} $，所以 $ BD = \frac{1}{2}AB = 6\ \mathrm{m} $。
设拱桥半径 $ OB = OC = r\ \mathrm{m} $，由 $ CD = 4\ \mathrm{m} $，得 $ OD = OC - CD = (r - 4)\ \mathrm{m} $。
在 $ \mathrm{Rt}△ODB $ 中，根据勾股定理：$ OB^2 = OD^2 + BD^2 $，代入得：
$ r^2 = (r - 4)^2 + 6^2 $
展开化简：$ r^2 = r^2 - 8r + 52 $，解得 $ r = 6.5 $。
故拱桥的半径为 $ 6.5\ \mathrm{m} $。
(2) 设 $ MN $ 为货船船舱的顶部，连接 $ ON $。
已知 $ CD = 4\ \mathrm{m} $，船舱顶部高出水面 $ 3\ \mathrm{m} $，所以 $ CE = CD - 3 = 1\ \mathrm{m} $，则 $ OE = OC - CE = 6.5 - 1 = 5.5\ \mathrm{m} $。
在 $ \mathrm{Rt}△OEN $ 中，根据勾股定理：
$ EN = \sqrt{ON^2 - OE^2} = \sqrt{6.5^2 - 5.5^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\ \mathrm{m} \approx 3.5\ \mathrm{m} $，
所以 $ MN = 2EN \approx 7.0\ \mathrm{m} $。
因为 $ 7.0\ \mathrm{m} ＜ 7.8\ \mathrm{m} $，所以此货船不能顺利通过此圆弧形拱桥。
【答案】
13. (1) 拱桥的半径为 $ 6.5\ \mathrm{m} $；(2) 此货船不能顺利通过此圆弧形拱桥。

【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的应用
【点评】
本题将圆的知识与实际场景结合，考查垂径定理和勾股定理的应用，需要学生能将实际问题转化为几何模型，建立方程求解，是中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.6