20.(10分)定义:如果两个一元一次方程的解之和为4,我们就称这两个方程互为“毓德方程”.例如,方程$2x-1=4$与$2x-3=0$互为毓德方程.
(1)方程$4x-2(x+5)=2$与$-2x-(x+3)=3$是不是互为毓德方程?
(2)若关于$x$的方程$\frac{x}{2}+m-1=0$与$3x-2=x+4$互为毓德方程,求$m$的值.
(3)若关于$x$的方程$\frac{1}{2025}x-1=0$与$\frac{1}{2025}x+1=3x+k$互为毓德方程,则关于$m$的方程$\frac{1}{2025}(5m+4)+1=15m+k+12$的解为.

20. 解：(1)解方程$4x-2(x+5)=2$,得$x=6$.
解方程$-2x-(x+3)=3$,得$x=-2$.
因为$6+(-2)=4$,
所以方程$4x-2(x+5)=2$与$-2x-(x+3)=3$互为毓德方程.
(2)解方程$\frac{x}{2}+m-1=0$,得$x=-2m+2$.
解方程$3x-2=x+4$,得$x=3$.
因为关于$x$的方程$\frac{x}{2}+m-1=0$与$3x-2=x+4$互为毓德方程,
所以$-2m+2+3=4$,
所以$m=\frac{1}{2}$.
(3)$m=-405$

【分析】
首先明确“毓德方程”的定义：两个一元一次方程的解之和为4，则两方程互为毓德方程，解题围绕该定义展开：
(1) 分别求解两个一元一次方程，计算解的和，判断是否等于4即可；
(2) 先求出不含参数的方程的解，根据解之和为4求出含m方程的解，代入列方程即可求m的值；
(3) 先求出第一个方程的解，根据定义得到第二个方程的解，再将待求的关于m的方程变形为与第二个方程结构相同的形式，用整体代换思想即可快速求解，无需计算k的值。
【解析】
(1) 解方程$4x-2(x+5)=2$：
去括号得$4x-2x-10=2$，
移项、合并同类项得$2x=12$，
系数化为1得$x=6$。
解方程$-2x-(x+3)=3$：
去括号得$-2x-x-3=3$，
移项、合并同类项得$-3x=6$，
系数化为1得$x=-2$。
因为$6+(-2)=4$，符合毓德方程的定义，所以两个方程互为毓德方程。
(2) 解方程$3x-2=x+4$：
移项得$3x-x=4+2$，
合并同类项得$2x=6$，
系数化为1得$x=3$。
解方程$\frac{x}{2}+m-1=0$：
移项得$\frac{x}{2}=1-m$，
系数化为1得$x=2(1-m)=-2m+2$。
因为两个方程互为毓德方程，所以解之和为4，即：
$-2m+2+3=4$，
移项得$-2m=4-5=-1$，
系数化为1得$m=\frac{1}{2}$。
(3) 解方程$\frac{1}{2025}x-1=0$：
移项得$\frac{1}{2025}x=1$，
系数化为1得$x=2025$。
因为两个方程互为毓德方程，所以方程$\frac{1}{2025}x+1=3x+k$的解为$4-2025=-2021$。
将关于$m$的方程$\frac{1}{2025}(5m+4)+1=15m+k+12$变形：
右边$15m+k+12=3×(5m+4)+k$，
所以原方程可化为$\frac{1}{2025}(5m+4)+1=3(5m+4)+k$，
该式与方程$\frac{1}{2025}x+1=3x+k$结构完全一致，因此$5m+4=-2021$，
解得$5m=-2025$，$m=-405$。
【答案】
(1) 是互为毓德方程；(2) $m=\frac{1}{2}$；(3) $m=-405$
【知识点】
一元一次方程解法、新定义应用、整体思想
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确理解新定义的运算规则，结合一元一次方程的解法逐步推导，第三问通过观察方程结构使用整体代换的技巧，可有效简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.6

21.(10分)如图,已知线段AB,延长AB至点C,使$BC=\frac{1}{3}AB$,D是线段AC的中点.
(1)若DC=2,求BD的长；
(2)试探究BD与BC之间的数量关系,并说明理由.

21. 解：(1)因为$BC=\frac{1}{3}AB$,
所以$AB=3BC$,
所以$AC=AB+BC=3BC+BC=4BC$.
因为D是线段AC的中点,$DC=2$,
所以$AD=DC=2$,
所以$AC=AD+DC=2+2=4$,
即$4BC=4$,
所以$BC=1$,
所以$BD=DC-BC=2-1=1$.
(2)$BD=BC$. 理由如下:
由(1)可知,$AC=4BC$,
因为D是线段AC的中点,
所以$AD=DC=\frac{1}{2}AC$.
因为$BD+BC=DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4BC=2BC$,
所以$BD=BC$.

【分析】
（1）求解第一问时，先根据已知的BC与AB的比例关系，将AC的长度用BC表示，得到AC=4BC；再利用线段中点的性质，由DC=2推出AC的总长度，进而求出BC的长度；最后根据线段的和差关系，用DC减去BC即可得到BD的长度。
（2）探究第二问的数量关系时，沿用第一问得到的AC=4BC的结论，结合线段中点的性质得到DC=2BC，再根据DC=BD+BC，代入化简即可得到BD和BC的数量关系。
【解析】
(1) 因为$BC=\frac{1}{3}AB$，
所以$AB=3BC$，
所以$AC=AB+BC=3BC+BC=4BC$。
因为D是线段AC的中点，$DC=2$，
所以$AD=DC=2$，
所以$AC=AD+DC=2+2=4$，
即$4BC=4$，解得$BC=1$，
所以$BD=DC-BC=2-1=1$。
(2) $BD=BC$，理由如下：
由(1)可知$AC=4BC$，
因为D是线段AC的中点，
所以$DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4BC=2BC$。
又因为$DC=BD+BC$，
所以$BD+BC=2BC$，即$BD=BC$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BD=1}$
(2) $\boldsymbol{BD=BC}$
【知识点】
线段和差计算，线段中点的性质，线段比例应用
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题核心是梳理清楚各线段之间的数量关系，结合线段比例和中点性质，将未知线段转化为已知线段的和差形式求解，掌握转化思路即可快速解题。
【难度系数】
0.7