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22. (12分) 新趋势·材料阅读 整体思想是一种重要的数学思想.例如,若当$x=1$时,代数式$ax^3+bx-1$的值是2021,则当$x=-1$时,代数式$ax^3+bx+1$的值是多少?
解:因为当$x=1$时,代数式$ax^3+bx-1$的值是2021,所以$a+b-1=2021$,即$a+b=2022$.
当$x=-1$时,$ax^3+bx+1=a· (-1)^3+b· (-1)+1=-(a+b)+1=-2022+1=-2021$.
请认真阅读上面例题的解答过程,然后解答下列问题.
(1)若当$x=2$时,代数式$ax^5+bx^3+cx+1$的值是5,则当$x=-2$时,代数式$ax^5+bx^3+cx+1$的值是
(2)已知$m^2-n^2=4$,$mn-n^2=1$,求$m^2-2mn+n^2$的值.
(3)P,Q两地相距60 km,甲、乙两人同时从P,Q两地骑自行车出发,相向而行.甲每小时骑行$p$ km,乙每小时骑行$q$ km,2 h后相遇.甲、乙两人出发后,经过多长时间相距20 km?
(4)如图,半径分别是3 cm和2 cm的两个圆有一部分重合在一起(空白部分),两个阴影部分的面积分别为$A\ \mathrm{cm}^2$,$B\ \mathrm{cm}^2$($A＞B$),则$A-B$的值是
解:因为当$x=1$时,代数式$ax^3+bx-1$的值是2021,所以$a+b-1=2021$,即$a+b=2022$.
当$x=-1$时,$ax^3+bx+1=a· (-1)^3+b· (-1)+1=-(a+b)+1=-2022+1=-2021$.
请认真阅读上面例题的解答过程,然后解答下列问题.
(1)若当$x=2$时,代数式$ax^5+bx^3+cx+1$的值是5,则当$x=-2$时,代数式$ax^5+bx^3+cx+1$的值是
$-3$
.(2)已知$m^2-n^2=4$,$mn-n^2=1$,求$m^2-2mn+n^2$的值.
(3)P,Q两地相距60 km,甲、乙两人同时从P,Q两地骑自行车出发,相向而行.甲每小时骑行$p$ km,乙每小时骑行$q$ km,2 h后相遇.甲、乙两人出发后,经过多长时间相距20 km?
(4)如图,半径分别是3 cm和2 cm的两个圆有一部分重合在一起(空白部分),两个阴影部分的面积分别为$A\ \mathrm{cm}^2$,$B\ \mathrm{cm}^2$($A＞B$),则$A-B$的值是
$5π$
.(结果保留π)答案
22. 解：(1)$-3$
(2)因为$m^2-n^2=4$,$mn-n^2=1$,
所以$m^2-2mn+n^2=(m^2-n^2)-2(mn-n^2)=4-2×1=2$.
(3)由题意得$(p+q)×2=60$,即$p+q=30$.
设甲、乙两人出发后,经过$t$ h相距20 km.
①当相遇前相距20 km时,
由题意得$(p+q)t=60-20$,
即$30t=40$.
解得$t=\frac{4}{3}$.
②当相遇后相距20 km时,
由题意得$(p+q)t=60+20$,
即$30t=80$.
解得$t=\frac{8}{3}$.
答:甲、乙两人出发后,经过$\frac{4}{3}$ h或$\frac{8}{3}$ h相距20 km.
(4)$5π$
(2)因为$m^2-n^2=4$,$mn-n^2=1$,
所以$m^2-2mn+n^2=(m^2-n^2)-2(mn-n^2)=4-2×1=2$.
(3)由题意得$(p+q)×2=60$,即$p+q=30$.
设甲、乙两人出发后,经过$t$ h相距20 km.
①当相遇前相距20 km时,
由题意得$(p+q)t=60-20$,
即$30t=40$.
解得$t=\frac{4}{3}$.
②当相遇后相距20 km时,
由题意得$(p+q)t=60+20$,
即$30t=80$.
解得$t=\frac{8}{3}$.
答:甲、乙两人出发后,经过$\frac{4}{3}$ h或$\frac{8}{3}$ h相距20 km.
(4)$5π$
解析
【分析】
本题核心考查整体代入的数学思想，各小问解题思路如下：
(1) 先将x=2代入代数式，求出$ax^5+bx^3+cx$的整体值，再利用x取互为相反数的数时，奇数次幂的结果也互为相反数的性质，将整体值代入x=-2时的代数式计算即可。
(2) 观察待求式和已知式的结构，将待求式$m^2-2mn+n^2$变形为$(m^2-n^2)-2(mn-n^2)$，直接代入两个已知的整体值计算，无需单独求m、n的数值。
(3) 先根据相遇条件求出p+q的整体值，再分两种情况讨论：①相遇前两人相距20km，两人走的总路程为总路程减20km；②相遇后两人相距20km，两人走的总路程为总路程加20km，分别列方程代入p+q的整体值求解。
(4) 两个圆的空白部分是公共重叠区域，可得A=大圆面积-空白面积，B=小圆面积-空白面积，两式相减后空白面积抵消，直接计算两圆面积差即可得到A-B的值。
【解析】
(1) 当x=2时，$a·2^5 + b·2^3 + c·2 +1=5$，即$32a+8b+2c=4$。
当x=-2时，
$\begin{aligned}ax^5+bx^3+cx+1&=a·(-2)^5 + b·(-2)^3 + c·(-2) +1\\&=-(32a+8b+2c)+1\\&=-4+1=-3\end{aligned}$
(2) 已知$m^2-n^2=4$，$mn-n^2=1$，
将待求式变形可得：
$m^2-2mn+n^2=(m^2-n^2)-2(mn-n^2)$
代入数值计算：$4-2×1=2$。
(3) 由两人2h相遇可得：$2(p+q)=60$，即$p+q=30$。
设经过$t$ h两人相距20 km，分两种情况：
① 相遇前相距20 km：两人行驶总路程为$60-20=40$km，
列方程得：$(p+q)t=40$，代入$p+q=30$，
即$30t=40$，解得$t=\frac{4}{3}$。
② 相遇后相距20 km：两人行驶总路程为$60+20=80$km，
列方程得：$(p+q)t=80$，代入$p+q=30$，
即$30t=80$，解得$t=\frac{8}{3}$。
综上，经过$\frac{4}{3}$h或$\frac{8}{3}$h两人相距20 km。
(4) 大圆面积为$π×3^2=9π \ \mathrm{cm}^2$，小圆面积为$π×2^2=4π \ \mathrm{cm}^2$，设重叠空白部分面积为$S\ \mathrm{cm}^2$。
则$A=9π - S$，$B=4π - S$，
所以$A-B=(9π - S)-(4π - S)=5π$。
【答案】
(1)$-3$；(2)$2$；(3)$\frac{4}{3}\ \mathrm{h}$或$\frac{8}{3}\ \mathrm{h}$；(4)$5π$
【知识点】
整体代入求值，行程相遇问题，圆的面积计算
【点评】
本题围绕整体思想设计多类题型，避免了求解单个未知量的繁琐运算，能有效锻炼转化思维能力，解题时需注意行程问题要分相遇前后两种情况讨论，几何题要善于发现公共部分的抵消作用，避免漏解或思维僵化。
【难度系数】
0.7
本题核心考查整体代入的数学思想，各小问解题思路如下：
(1) 先将x=2代入代数式，求出$ax^5+bx^3+cx$的整体值，再利用x取互为相反数的数时，奇数次幂的结果也互为相反数的性质，将整体值代入x=-2时的代数式计算即可。
(2) 观察待求式和已知式的结构，将待求式$m^2-2mn+n^2$变形为$(m^2-n^2)-2(mn-n^2)$，直接代入两个已知的整体值计算，无需单独求m、n的数值。
(3) 先根据相遇条件求出p+q的整体值，再分两种情况讨论：①相遇前两人相距20km，两人走的总路程为总路程减20km；②相遇后两人相距20km，两人走的总路程为总路程加20km，分别列方程代入p+q的整体值求解。
(4) 两个圆的空白部分是公共重叠区域，可得A=大圆面积-空白面积，B=小圆面积-空白面积，两式相减后空白面积抵消，直接计算两圆面积差即可得到A-B的值。
【解析】
(1) 当x=2时，$a·2^5 + b·2^3 + c·2 +1=5$，即$32a+8b+2c=4$。
当x=-2时，
$\begin{aligned}ax^5+bx^3+cx+1&=a·(-2)^5 + b·(-2)^3 + c·(-2) +1\\&=-(32a+8b+2c)+1\\&=-4+1=-3\end{aligned}$
(2) 已知$m^2-n^2=4$，$mn-n^2=1$，
将待求式变形可得：
$m^2-2mn+n^2=(m^2-n^2)-2(mn-n^2)$
代入数值计算：$4-2×1=2$。
(3) 由两人2h相遇可得：$2(p+q)=60$，即$p+q=30$。
设经过$t$ h两人相距20 km，分两种情况：
① 相遇前相距20 km：两人行驶总路程为$60-20=40$km，
列方程得：$(p+q)t=40$，代入$p+q=30$，
即$30t=40$，解得$t=\frac{4}{3}$。
② 相遇后相距20 km：两人行驶总路程为$60+20=80$km，
列方程得：$(p+q)t=80$，代入$p+q=30$，
即$30t=80$，解得$t=\frac{8}{3}$。
综上，经过$\frac{4}{3}$h或$\frac{8}{3}$h两人相距20 km。
(4) 大圆面积为$π×3^2=9π \ \mathrm{cm}^2$，小圆面积为$π×2^2=4π \ \mathrm{cm}^2$，设重叠空白部分面积为$S\ \mathrm{cm}^2$。
则$A=9π - S$，$B=4π - S$，
所以$A-B=(9π - S)-(4π - S)=5π$。
【答案】
(1)$-3$；(2)$2$；(3)$\frac{4}{3}\ \mathrm{h}$或$\frac{8}{3}\ \mathrm{h}$；(4)$5π$
【知识点】
整体代入求值，行程相遇问题，圆的面积计算
【点评】
本题围绕整体思想设计多类题型，避免了求解单个未知量的繁琐运算，能有效锻炼转化思维能力，解题时需注意行程问题要分相遇前后两种情况讨论，几何题要善于发现公共部分的抵消作用，避免漏解或思维僵化。
【难度系数】
0.7
23. (12分) 新考法·操作实践【动手实践】
在数学研究中,观察、猜想、实验验证、得出结论是我们常用的几何探究方式.
一副三角尺按如图1所示的方式摆放,其中∠ABC=45°,∠EBD=60°.
【基础探究】
(1)图1中的∠CBD的度数为
(2)如图2,保持三角尺ABC不动,将三角尺BDE绕点B旋转.当∠CBD=90°时,求∠ABE的度数.
【拓展延伸】
(3)如图3,保持三角尺ABC不动,将三角尺BDE绕点B旋转,使得∠ABD=2∠ABE或∠ABE=2∠ABD.请直接写出所有满足题意的∠ABE的度数.(∠ABE＜180°)
在数学研究中,观察、猜想、实验验证、得出结论是我们常用的几何探究方式.
一副三角尺按如图1所示的方式摆放,其中∠ABC=45°,∠EBD=60°.
【基础探究】
(1)图1中的∠CBD的度数为
105
°.(2)如图2,保持三角尺ABC不动,将三角尺BDE绕点B旋转.当∠CBD=90°时,求∠ABE的度数.
【拓展延伸】
(3)如图3,保持三角尺ABC不动,将三角尺BDE绕点B旋转,使得∠ABD=2∠ABE或∠ABE=2∠ABD.请直接写出所有满足题意的∠ABE的度数.(∠ABE＜180°)
答案
23. 解：(1)105
(2)如图1.
因为$∠EBD=60°,∠ABC=45°,∠CBD=90°$,
所以$∠ABE=∠EBD+∠ABC-∠CBD=60°+45°-90°=15°$.
如图2.
因为$∠EBD=60°,∠ABC=45°,∠CBD=90°$,
所以$∠ABE=360°-(∠ABC+∠CBD+∠EBD)=360°-(45°+90°+60°)=165°$.
综上所述,$∠ABE$的度数为$15°$或$165°$.
(3)$∠ABE$的度数为$20°$或$40°$或$60°$或$120°$.
解析
【分析】
(1) 观察图1的角的位置，已知C、B、E三点共线构成平角180°，结合给出的∠ABC=45°、∠EBD=60°，通过角的和差关系即可计算出∠CBD的度数。
(2) 三角尺BDE绕点B旋转时存在两种位置情况：一种是两个三角尺部分重叠在∠CBD内部，另一种是两个三角尺都在∠CBD外侧，分别结合已知角度，利用角的和差、周角为360°计算即可，注意分类讨论避免漏解。
(3) 需先分两类倍数关系：∠ABD=2∠ABE、∠ABE=2∠ABD，再结合旋转时BE、BD相对于AB的位置不同进一步分类，根据∠EBD=60°的固定角度列等量关系求解，最后筛选出∠ABE＜180°的结果即可。
【解析】
(1) 由图1可知C、B、E三点共线，∠CBE=180°，已知∠ABC=45°，∠EBD=60°，则∠ABD=∠CBE - ∠ABC - ∠EBD=180°-45°-60°=75°，因此∠CBD=∠ABC + ∠ABD=45°+75°=105°。
(2) 分两种情况讨论：
① 如图，此时两个三角尺部分重叠，∠ABE=∠EBD + ∠ABC - ∠CBD，代入已知角度得：∠ABE=60°+45°-90°=15°；
② 如图，此时两个三角尺均在∠CBD外侧，结合周角为360°，可得∠ABE=360°-(∠ABC + ∠CBD + ∠EBD)=360°-(45°+90°+60°)=165°；
综上，∠ABE的度数为15°或165°。
(3) 分两类情况讨论，所有情况均满足∠EBD=60°：
第一类：当∠ABD=2∠ABE时，设∠ABE=x，则∠ABD=2x：
若BE在AB左侧，可得x+2x=60°，解得x=20°，即∠ABE=20°；
若BE在AB右侧，可得2x - x=60°，解得x=60°，即∠ABE=60°；
第二类：当∠ABE=2∠ABD时，设∠ABD=x，则∠ABE=2x：
若BE、BD均在AB右侧，可得2x - x=60°，解得x=60°，即∠ABE=120°；
若BE在AB左侧、BD在AB右侧，可得x+2x=60°，解得x=20°，即∠ABE=40°；
所有结果均满足∠ABE＜180°，因此符合条件的∠ABE为20°、40°、60°、120°。
【答案】
(1) 105
(2) 如图时∠ABE=15°，如图时∠ABE=165°，综上所述∠ABE的度数为15°或165°。
(3) ∠ABE的度数为20°或40°或60°或120°。
【知识点】
角的和差计算，旋转的性质，分类讨论思想
【点评】
本题以常见的三角尺旋转为命题背景，考查角的相关计算，解题时要注意旋转过程中图形位置的多样性，做到分类讨论不重不漏，能有效锻炼几何直观和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 观察图1的角的位置，已知C、B、E三点共线构成平角180°，结合给出的∠ABC=45°、∠EBD=60°，通过角的和差关系即可计算出∠CBD的度数。
(2) 三角尺BDE绕点B旋转时存在两种位置情况：一种是两个三角尺部分重叠在∠CBD内部，另一种是两个三角尺都在∠CBD外侧，分别结合已知角度，利用角的和差、周角为360°计算即可，注意分类讨论避免漏解。
(3) 需先分两类倍数关系：∠ABD=2∠ABE、∠ABE=2∠ABD，再结合旋转时BE、BD相对于AB的位置不同进一步分类，根据∠EBD=60°的固定角度列等量关系求解，最后筛选出∠ABE＜180°的结果即可。
【解析】
(1) 由图1可知C、B、E三点共线，∠CBE=180°，已知∠ABC=45°，∠EBD=60°，则∠ABD=∠CBE - ∠ABC - ∠EBD=180°-45°-60°=75°，因此∠CBD=∠ABC + ∠ABD=45°+75°=105°。
(2) 分两种情况讨论：
① 如图
，此时两个三角尺部分重叠，∠ABE=∠EBD + ∠ABC - ∠CBD，代入已知角度得：∠ABE=60°+45°-90°=15°；② 如图
，此时两个三角尺均在∠CBD外侧，结合周角为360°，可得∠ABE=360°-(∠ABC + ∠CBD + ∠EBD)=360°-(45°+90°+60°)=165°；综上，∠ABE的度数为15°或165°。
(3) 分两类情况讨论，所有情况均满足∠EBD=60°：
第一类：当∠ABD=2∠ABE时，设∠ABE=x，则∠ABD=2x：
若BE在AB左侧，可得x+2x=60°，解得x=20°，即∠ABE=20°；
若BE在AB右侧，可得2x - x=60°，解得x=60°，即∠ABE=60°；
第二类：当∠ABE=2∠ABD时，设∠ABD=x，则∠ABE=2x：
若BE、BD均在AB右侧，可得2x - x=60°，解得x=60°，即∠ABE=120°；
若BE在AB左侧、BD在AB右侧，可得x+2x=60°，解得x=20°，即∠ABE=40°；
所有结果均满足∠ABE＜180°，因此符合条件的∠ABE为20°、40°、60°、120°。
【答案】
(1) 105
(2) 如图
时∠ABE=15°，如图时∠ABE=165°，综上所述∠ABE的度数为15°或165°。(3) ∠ABE的度数为20°或40°或60°或120°。
【知识点】
角的和差计算，旋转的性质，分类讨论思想
【点评】
本题以常见的三角尺旋转为命题背景，考查角的相关计算，解题时要注意旋转过程中图形位置的多样性，做到分类讨论不重不漏，能有效锻炼几何直观和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
