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18.(8分) 新趋势·定义新运算 对有理数$a,b$，定义一种新运算“⊙”，规定$a⊙b=|a+b|+|a−b|$。
(1)计算$1⊙(-2)$的值；
(2)当表示有理数$a,b$的点在数轴上的位置如图所示时，化简$a⊙b$；
(3)若$(a⊙a)⊙a=8+a$，求$a$的值。
(1)计算$1⊙(-2)$的值；
(2)当表示有理数$a,b$的点在数轴上的位置如图所示时，化简$a⊙b$；
(3)若$(a⊙a)⊙a=8+a$，求$a$的值。
答案
18. 解：(1)$1⊙(-2)=|1+(-2)|+|1-(-2)|=1+3=4$.
(2)观察题图可得,$a+b＜0,a-b＞0$,
所以$a⊙b=|a+b|+|a-b|=-a-b+a-b=-2b$.
(3)当$a≥0$时,$(a⊙a)⊙a=(|a+a|+|a-a|)⊙a=2a⊙a=|2a+a|+|2a-a|=4a$,
即$4a=8+a$,
可得$a=\frac{8}{3}$;
当$a＜0$时,$(a⊙a)⊙a=(|a+a|+|a-a|)⊙a=(-2a)⊙a=|-2a+a|+|-2a-a|=-4a$,
即$-4a=8+a$,
可得$a=-\frac{8}{5}$.
综上所述,$a$的值为$\frac{8}{3}$或$-\frac{8}{5}$.
(2)观察题图可得,$a+b＜0,a-b＞0$,
所以$a⊙b=|a+b|+|a-b|=-a-b+a-b=-2b$.
(3)当$a≥0$时,$(a⊙a)⊙a=(|a+a|+|a-a|)⊙a=2a⊙a=|2a+a|+|2a-a|=4a$,
即$4a=8+a$,
可得$a=\frac{8}{3}$;
当$a＜0$时,$(a⊙a)⊙a=(|a+a|+|a-a|)⊙a=(-2a)⊙a=|-2a+a|+|-2a-a|=-4a$,
即$-4a=8+a$,
可得$a=-\frac{8}{5}$.
综上所述,$a$的值为$\frac{8}{3}$或$-\frac{8}{5}$.
解析
【分析】
(1) 第一问直接根据新运算“⊙”的定义，将a=1、b=-2代入公式$a⊙b=|a+b|+|a−b|$，再按照绝对值的运算规则计算即可。
(2) 第二问先根据数轴上a、b的位置，判断a、b的正负和绝对值大小，得到$a+b＜0$、$a-b＞0$，再代入新运算公式，根据绝对值的性质去绝对值符号，合并同类项化简即可。
(3) 第三问先计算括号内的$a⊙a$，再将结果和a进行新运算；由于绝对值的化简和a的正负相关，因此分$a≥0$和$a＜0$两种情况讨论，分别列一元一次方程求解，最后检验解是否符合对应取值范围即可。
【解析】
(1) 根据新运算定义代入计算：
$1⊙(-2)=|1+(-2)|+|1-(-2)|=|-1|+|3|=1+3=4$
(2) 由数轴可得：$a＞0$，$b＜0$，且$|b|＞|a|$，因此$a+b＜0$，$a-b=a+(-b)＞0$。
代入新运算公式化简：
$a⊙b=|a+b|+|a-b|=-(a+b)+(a-b)=-a-b+a-b=-2b$
(3) 先计算括号内的$a⊙a$：
$a⊙a=|a+a|+|a-a|=|2a|+0=|2a|$
因此$(a⊙a)⊙a=|2a|⊙a=||2a|+a|+||2a|-a|$，分两种情况讨论：
① 当$a≥0$时，$|2a|=2a$，代入得：
$|2a+a|+|2a-a|=|3a|+|a|=3a+a=4a$
由题意列方程：$4a=8+a$，移项得$3a=8$，解得$a=\frac{8}{3}$，满足$a≥0$，符合要求。
② 当$a＜0$时，$|2a|=-2a$，代入得：
$|-2a+a|+|-2a-a|=|-a|+|-3a|=-a-3a=-4a$
由题意列方程：$-4a=8+a$，移项得$-5a=8$，解得$a=-\frac{8}{5}$，满足$a＜0$，符合要求。
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{-2b}$；(3) $\boxed{\frac{8}{3}}$或$\boxed{-\frac{8}{5}}$
【知识点】
定义新运算，绝对值的性质，解一元一次方程
【点评】
本题结合新运算定义，综合考查了绝对值化简、数轴的应用以及分类讨论的数学思想，解题核心是正确理解新运算规则，去绝对值前先判断代数式的正负，分情况讨论时不要漏解，最终要验证解是否符合对应取值范围。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问直接根据新运算“⊙”的定义，将a=1、b=-2代入公式$a⊙b=|a+b|+|a−b|$，再按照绝对值的运算规则计算即可。
(2) 第二问先根据数轴上a、b的位置，判断a、b的正负和绝对值大小，得到$a+b＜0$、$a-b＞0$，再代入新运算公式，根据绝对值的性质去绝对值符号，合并同类项化简即可。
(3) 第三问先计算括号内的$a⊙a$，再将结果和a进行新运算；由于绝对值的化简和a的正负相关，因此分$a≥0$和$a＜0$两种情况讨论，分别列一元一次方程求解，最后检验解是否符合对应取值范围即可。
【解析】
(1) 根据新运算定义代入计算：
$1⊙(-2)=|1+(-2)|+|1-(-2)|=|-1|+|3|=1+3=4$
(2) 由数轴可得：$a＞0$，$b＜0$，且$|b|＞|a|$，因此$a+b＜0$，$a-b=a+(-b)＞0$。
代入新运算公式化简：
$a⊙b=|a+b|+|a-b|=-(a+b)+(a-b)=-a-b+a-b=-2b$
(3) 先计算括号内的$a⊙a$：
$a⊙a=|a+a|+|a-a|=|2a|+0=|2a|$
因此$(a⊙a)⊙a=|2a|⊙a=||2a|+a|+||2a|-a|$，分两种情况讨论：
① 当$a≥0$时，$|2a|=2a$，代入得：
$|2a+a|+|2a-a|=|3a|+|a|=3a+a=4a$
由题意列方程：$4a=8+a$，移项得$3a=8$，解得$a=\frac{8}{3}$，满足$a≥0$，符合要求。
② 当$a＜0$时，$|2a|=-2a$，代入得：
$|-2a+a|+|-2a-a|=|-a|+|-3a|=-a-3a=-4a$
由题意列方程：$-4a=8+a$，移项得$-5a=8$，解得$a=-\frac{8}{5}$，满足$a＜0$，符合要求。
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{-2b}$；(3) $\boxed{\frac{8}{3}}$或$\boxed{-\frac{8}{5}}$
【知识点】
定义新运算，绝对值的性质，解一元一次方程
【点评】
本题结合新运算定义，综合考查了绝对值化简、数轴的应用以及分类讨论的数学思想，解题核心是正确理解新运算规则，去绝对值前先判断代数式的正负，分情况讨论时不要漏解，最终要验证解是否符合对应取值范围。
【难度系数】
0.7
19.(9分)某外卖平台上A店一款饮品的单价为8.8元,打包费为2.2元/单,配送费为8元/单,每人每天可领取一张12元无门槛优惠券在当天所购买的订单中使用,同时如果实付金额满99元(不含配送费),那么可免配送费.一个班级某天举办活动,小红和小亮两位同学准备通过该外卖平台在A店购买若干杯该款饮品.
(1)若小亮一次性购买9杯该款饮品,求小亮需要支付的费用.
(2)若小红购买该款饮品需要支付59.8元,求小红购买该款饮品的杯数.
(3)按照(1)(2)问的购买需求,如果小红和小亮准备将两人的需求合并为一个订单购买,请解答下列问题.
①求此方案下小红和小亮共需支付的费用;
②请用最合理的方式计算此方案中两人各自需要支付的费用,并写出计算过程.(结果保留小数点后两位)
(1)若小亮一次性购买9杯该款饮品,求小亮需要支付的费用.
(2)若小红购买该款饮品需要支付59.8元,求小红购买该款饮品的杯数.
(3)按照(1)(2)问的购买需求,如果小红和小亮准备将两人的需求合并为一个订单购买,请解答下列问题.
①求此方案下小红和小亮共需支付的费用;
②请用最合理的方式计算此方案中两人各自需要支付的费用,并写出计算过程.(结果保留小数点后两位)
答案
19. 解：(1)$8.8×9+2.2-12=69.4$(元).
因为$69.4＜99$,
所以不能免配送费.
$69.4+8=77.4$(元).
答:小亮需要支付的费用为77.4元.
(2)由题意得小红的订单需要支付配送费.
设小红购买$x$杯该款饮品.
由题意得$8.8x+2.2+8-12=59.8$.
解得$x=7$.
答:小红购买7杯该款饮品.
(3)①小红和小亮共需购买$9+7=16$(杯)饮品.
$16×8.8+2.2-12=131$(元).
因为$131＞99$,
所以可免配送费,花费为131元.
答:此方案下小红和小亮共需支付的费用为131元.
②小亮购买9杯,小红购买7杯,则两人购买饮品的费用比应为9:7.
$131×\frac{9}{9+7}≈73.69$(元),$131×\frac{7}{9+7}≈57.31$(元).
答:小亮需要支付约73. 69元,小红需要支付约57. 31元.
因为$69.4＜99$,
所以不能免配送费.
$69.4+8=77.4$(元).
答:小亮需要支付的费用为77.4元.
(2)由题意得小红的订单需要支付配送费.
设小红购买$x$杯该款饮品.
由题意得$8.8x+2.2+8-12=59.8$.
解得$x=7$.
答:小红购买7杯该款饮品.
(3)①小红和小亮共需购买$9+7=16$(杯)饮品.
$16×8.8+2.2-12=131$(元).
因为$131＞99$,
所以可免配送费,花费为131元.
答:此方案下小红和小亮共需支付的费用为131元.
②小亮购买9杯,小红购买7杯,则两人购买饮品的费用比应为9:7.
$131×\frac{9}{9+7}≈73.69$(元),$131×\frac{7}{9+7}≈57.31$(元).
答:小亮需要支付约73. 69元,小红需要支付约57. 31元.
解析
【分析】
（1）先计算9杯饮品的总价加打包费，减去12元无门槛优惠券，得到不含配送费的实付金额，判断该金额是否满99元，不满则加8元配送费，即可得到小亮的总支付费用。
（2）先判断小红的订单是否满足免配送费条件：若免配送费，抵扣优惠后最低支付金额远高于59.8元，因此需支付配送费。设购买杯数为x，根据“饮品总价+打包费+配送费-优惠券=支付总费用”列一元一次方程求解即可。
（3）①先计算两人总购买杯数，再按规则计算总费用：总饮品价+打包费-优惠券，判断金额是否满99元，满则免配送费，得到总支付费用。②因饮品单价相同，按两人购买杯数的比例分摊总费用最合理，用总费用乘各自占总杯数的占比即可得到每人需付的费用。
【解析】
(1) 计算9杯饮品抵扣优惠后不含配送费的金额：
$8.8×9 + 2.2 - 12 = 69.4$（元）
∵$69.4 ＜ 99$，不满足免配送费条件，需加8元配送费
∴总支付费用：$69.4 + 8 = 77.4$（元）
(2) 若订单免配送费，抵扣12元优惠券后最低支付金额为$99-12=87$元，远高于59.8元，因此小红的订单需支付配送费。
设小红购买了$x$杯饮品，根据题意列方程：
$8.8x + 2.2 + 8 - 12 = 59.8$
解得：$x=7$
(3) ①两人总购买杯数：$9 + 7 = 16$（杯）
计算不含配送费的金额：$16×8.8 + 2.2 - 12 = 131$（元）
∵$131 ＞ 99$，满足免配送费条件，因此总支付费用为131元。
②按两人购买杯数的比例分摊总费用最合理，杯数比为$9:7$，总份数为$9+7=16$。
小亮需支付：$131×\frac{9}{16} ≈ 73.69$（元）
小红需支付：$131×\frac{7}{16} ≈ 57.31$（元）
【答案】
(1) 小亮需要支付的费用为77.4元；
(2) 小红购买该款饮品的杯数为7杯；
(3) ①共需支付的费用为131元；②小亮需要支付约73.69元，小红需要支付约57.31元。
【知识点】
一元一次方程应用，有理数混合运算，费用分摊计算
【点评】
本题结合外卖消费的生活场景命题，解题的关键是准确理解优惠规则、免配送费的判断条件，再结合数量关系列式或列方程求解，费用分摊需结合实际选择公平合理的分摊方式，考察了学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
（1）先计算9杯饮品的总价加打包费，减去12元无门槛优惠券，得到不含配送费的实付金额，判断该金额是否满99元，不满则加8元配送费，即可得到小亮的总支付费用。
（2）先判断小红的订单是否满足免配送费条件：若免配送费，抵扣优惠后最低支付金额远高于59.8元，因此需支付配送费。设购买杯数为x，根据“饮品总价+打包费+配送费-优惠券=支付总费用”列一元一次方程求解即可。
（3）①先计算两人总购买杯数，再按规则计算总费用：总饮品价+打包费-优惠券，判断金额是否满99元，满则免配送费，得到总支付费用。②因饮品单价相同，按两人购买杯数的比例分摊总费用最合理，用总费用乘各自占总杯数的占比即可得到每人需付的费用。
【解析】
(1) 计算9杯饮品抵扣优惠后不含配送费的金额：
$8.8×9 + 2.2 - 12 = 69.4$（元）
∵$69.4 ＜ 99$，不满足免配送费条件，需加8元配送费
∴总支付费用：$69.4 + 8 = 77.4$（元）
(2) 若订单免配送费，抵扣12元优惠券后最低支付金额为$99-12=87$元，远高于59.8元，因此小红的订单需支付配送费。
设小红购买了$x$杯饮品，根据题意列方程：
$8.8x + 2.2 + 8 - 12 = 59.8$
解得：$x=7$
(3) ①两人总购买杯数：$9 + 7 = 16$（杯）
计算不含配送费的金额：$16×8.8 + 2.2 - 12 = 131$（元）
∵$131 ＞ 99$，满足免配送费条件，因此总支付费用为131元。
②按两人购买杯数的比例分摊总费用最合理，杯数比为$9:7$，总份数为$9+7=16$。
小亮需支付：$131×\frac{9}{16} ≈ 73.69$（元）
小红需支付：$131×\frac{7}{16} ≈ 57.31$（元）
【答案】
(1) 小亮需要支付的费用为77.4元；
(2) 小红购买该款饮品的杯数为7杯；
(3) ①共需支付的费用为131元；②小亮需要支付约73.69元，小红需要支付约57.31元。
【知识点】
一元一次方程应用，有理数混合运算，费用分摊计算
【点评】
本题结合外卖消费的生活场景命题，解题的关键是准确理解优惠规则、免配送费的判断条件，再结合数量关系列式或列方程求解，费用分摊需结合实际选择公平合理的分摊方式，考察了学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
