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1. 在$△ ABC$中，$∠ A = 40°$，$∠ B = 70°$，则$∠ C$的度数是________，$△ ABC$是________三角形。
答案
1. 70°;等腰
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和相关知识，要求∠C的度数，可直接利用三角形内角和为180°，用180°减去已知的∠A和∠B的度数即可求出；接下来判断三角形类型，观察求出的∠C的度数，发现和∠B度数相等，根据等腰三角形的判定定理，有两个角相等的三角形是等腰三角形，即可得出三角形的类型。
【解析】
根据三角形内角和定理：三角形的内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 40° - 70° = 70°$
因为$∠ B = 70°$，$∠ C = 70°$，所以$∠ B = ∠ C$，
根据等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，可知$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
$70°$；等腰
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础考查题，主要围绕三角形基础性质和等腰三角形判定设置，只要熟练掌握相关基础定理，就能快速准确解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和相关知识，要求∠C的度数，可直接利用三角形内角和为180°，用180°减去已知的∠A和∠B的度数即可求出；接下来判断三角形类型，观察求出的∠C的度数，发现和∠B度数相等，根据等腰三角形的判定定理，有两个角相等的三角形是等腰三角形，即可得出三角形的类型。
【解析】
根据三角形内角和定理：三角形的内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 40° - 70° = 70°$
因为$∠ B = 70°$，$∠ C = 70°$，所以$∠ B = ∠ C$，
根据等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，可知$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
$70°$；等腰
【知识点】
三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础考查题，主要围绕三角形基础性质和等腰三角形判定设置，只要熟练掌握相关基础定理，就能快速准确解答。
【难度系数】
0.9
2. 小敏设计了一种衣架，使用时先收拢衣架杆，套进衣服后松开即可。如图①，衣架杆$OA=OB=15\ \mathrm{cm}$，当衣架收拢时，如图②，$∠ AOB=60°$，此时$A$，$B$两点之间的距离是
15
cm。答案
2. 15
解析
【分析】
首先根据已知条件OA=OB，可判定△AOB是等腰三角形，再结合已知∠AOB=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定定理，可得出△AOB是等边三角形，最后根据等边三角形三边相等的性质，即可求出A、B两点之间的距离。
【解析】
解：
∵ OA=OB=15 cm，
∴ △AOB是等腰三角形，
又
∵ ∠AOB=60°，
∴ △AOB是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AB=OA=15 cm。
【答案】
15
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的衣架场景考查等边三角形的相关知识，属于基础题，解题的关键是熟练掌握有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形这一判定定理。
【难度系数】
0.8
首先根据已知条件OA=OB，可判定△AOB是等腰三角形，再结合已知∠AOB=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这一判定定理，可得出△AOB是等边三角形，最后根据等边三角形三边相等的性质，即可求出A、B两点之间的距离。
【解析】
解：
∵ OA=OB=15 cm，
∴ △AOB是等腰三角形，
又
∵ ∠AOB=60°，
∴ △AOB是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AB=OA=15 cm。
【答案】
15
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的衣架场景考查等边三角形的相关知识，属于基础题，解题的关键是熟练掌握有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形这一判定定理。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是$∠ BAC$的平分线，$CE // AD$，交$BA$的延长线于点$E$。下列三角形中，是等腰三角形的是(
A.$△ ABD$
B.$△ ACD$
C.$△ ACE$
D.$△ ABC$
C
)。A.$△ ABD$
B.$△ ACD$
C.$△ ACE$
D.$△ ABC$
答案
3. C
解析
【分析】
要判断哪个是等腰三角形，需依据“等角对等边”的判定定理，找到存在两个内角相等的三角形。首先利用角平分线的性质得到一组相等的角，再结合平行线的同位角、内错角相等的性质，通过等量代换推导三角形的内角相等，即可得出结论。
【解析】
步骤1：根据角平分线的定义，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD。
步骤2：根据平行线的性质，
∵CE//AD，
∴∠BAD=∠E（两直线平行，同位角相等），∠CAD=∠ACE（两直线平行，内错角相等）。
步骤3：等量代换可得∠E=∠ACE。
步骤4：在△ACE中，∠E=∠ACE，由等角对等边可知AC=AE，因此△ACE是等腰三角形，其余选项的三角形均无法推导得到两个内角相等。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何类题型，解题关键是熟练掌握角与角的等量转换方法，通过角平分线和平行线的性质推导等角，进而判定等腰三角形，考察基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是等腰三角形，需依据“等角对等边”的判定定理，找到存在两个内角相等的三角形。首先利用角平分线的性质得到一组相等的角，再结合平行线的同位角、内错角相等的性质，通过等量代换推导三角形的内角相等，即可得出结论。
【解析】
步骤1：根据角平分线的定义，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD。
步骤2：根据平行线的性质，
∵CE//AD，
∴∠BAD=∠E（两直线平行，同位角相等），∠CAD=∠ACE（两直线平行，内错角相等）。
步骤3：等量代换可得∠E=∠ACE。
步骤4：在△ACE中，∠E=∠ACE，由等角对等边可知AC=AE，因此△ACE是等腰三角形，其余选项的三角形均无法推导得到两个内角相等。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何类题型，解题关键是熟练掌握角与角的等量转换方法，通过角平分线和平行线的性质推导等角，进而判定等腰三角形，考察基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=36°$，$BD$是$∠ ABC$的平分线。图中有
3
个等腰三角形。答案
4. 3
解析
【分析】
解题思路：首先根据已知的$AB=AC$，先确定第一个等腰三角形$△ ABC$，再利用三角形内角和算出$△ ABC$的两个底角度数；接着结合$BD$是角平分线的条件，算出被平分后的两个小角的度数；最后分别在$△ ABD$和$△ BCD$中，通过计算内角的度数，判断是否有两个内角相等，从而确定这两个三角形是否为等腰三角形，最终统计等腰三角形的总个数。
【解析】
1. 已知$AB=AC$，因此$△ ABC$是等腰三角形，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
2. 因为$BD$是$∠ ABC$的平分线，所以$∠ ABD=∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$。
3. 在$△ ABD$中，$∠ A=∠ ABD=36°$，根据“等角对等边”可得$AD=BD$，因此$△ ABD$是等腰三角形。
4. 在$△ BCD$中，$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=180°-36°-72°=72°$，即$∠ BDC=∠ C$，根据“等角对等边”可得$BD=BC$，因此$△ BCD$是等腰三角形。
综上，图中的等腰三角形有$△ ABC$、$△ ABD$、$△ BCD$，共3个。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础应用类题目，解题的关键是结合已知条件通过角度计算找到相等的内角，再根据等角对等边判断等腰三角形，计数时要注意避免遗漏。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先根据已知的$AB=AC$，先确定第一个等腰三角形$△ ABC$，再利用三角形内角和算出$△ ABC$的两个底角度数；接着结合$BD$是角平分线的条件，算出被平分后的两个小角的度数；最后分别在$△ ABD$和$△ BCD$中，通过计算内角的度数，判断是否有两个内角相等，从而确定这两个三角形是否为等腰三角形，最终统计等腰三角形的总个数。
【解析】
1. 已知$AB=AC$，因此$△ ABC$是等腰三角形，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
2. 因为$BD$是$∠ ABC$的平分线，所以$∠ ABD=∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$。
3. 在$△ ABD$中，$∠ A=∠ ABD=36°$，根据“等角对等边”可得$AD=BD$，因此$△ ABD$是等腰三角形。
4. 在$△ BCD$中，$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=180°-36°-72°=72°$，即$∠ BDC=∠ C$，根据“等角对等边”可得$BD=BC$，因此$△ BCD$是等腰三角形。
综上，图中的等腰三角形有$△ ABC$、$△ ABD$、$△ BCD$，共3个。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础应用类题目，解题的关键是结合已知条件通过角度计算找到相等的内角，再根据等角对等边判断等腰三角形，计数时要注意避免遗漏。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在$△ ABC$中，$D$是其内部一点。若$∠1=∠2$，$∠3=∠4$，则$△ ABD$与$△ ACD$全等吗？证明你的判断。
答案
5. 在$△ BCD$中，由$∠ 3 = ∠ 4$,得$BD = CD$。又因为$∠ 1 = ∠ 2$,所以$∠ ABC = ∠ ACB$,所以$AB = AC$,从而可证$△ ABD≌△ ACD$。
解析
【分析】
要判断△ABD与△ACD是否全等，需先推导两个三角形对应边、对应角的相等关系。首先从已知∠3=∠4出发，利用等腰三角形“等角对等边”的性质可得到BD=CD；再结合∠1=∠2，通过角的和差运算可推出∠ABC=∠ACB，再次用“等角对等边”得到AB=AC；此时已有两组对应边相等、一组对应夹角相等，即可用全等判定定理证明两个三角形全等。
【解析】
解：△ABD与△ACD全等，证明过程如下：
1. 在△BCD中，
∵∠3=∠4，根据“等角对等边”，可得BD=CD。
2.
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠ABC=∠ACB。
3. 在△ABC中，
∵∠ABC=∠ACB，根据“等角对等边”，可得AB=AC。
4. 在△ABD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC（已证）\\∠1=∠2（已知）\\BD=CD（已证）\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（SAS）
【答案】
△ABD与△ACD全等。证明：在△BCD中，由∠3=∠4，得BD=CD。又因为∠1=∠2，所以∠ABC=∠ACB，所以AB=AC，从而可证△ABD≌△ACD。
【知识点】
等腰三角形的判定，全等三角形的判定
【点评】
本题综合考查等腰三角形的判定和全等三角形的证明，解题的核心是通过角的和差关系将已知等角转化为证明全等所需的等边，属于常规几何证明题，只要理顺边角的推导逻辑即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要判断△ABD与△ACD是否全等，需先推导两个三角形对应边、对应角的相等关系。首先从已知∠3=∠4出发，利用等腰三角形“等角对等边”的性质可得到BD=CD；再结合∠1=∠2，通过角的和差运算可推出∠ABC=∠ACB，再次用“等角对等边”得到AB=AC；此时已有两组对应边相等、一组对应夹角相等，即可用全等判定定理证明两个三角形全等。
【解析】
解：△ABD与△ACD全等，证明过程如下：
1. 在△BCD中，
∵∠3=∠4，根据“等角对等边”，可得BD=CD。
2.
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠ABC=∠ACB。
3. 在△ABC中，
∵∠ABC=∠ACB，根据“等角对等边”，可得AB=AC。
4. 在△ABD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC（已证）\\∠1=∠2（已知）\\BD=CD（已证）\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（SAS）
【答案】
△ABD与△ACD全等。证明：在△BCD中，由∠3=∠4，得BD=CD。又因为∠1=∠2，所以∠ABC=∠ACB，所以AB=AC，从而可证△ABD≌△ACD。
【知识点】
等腰三角形的判定，全等三角形的判定
【点评】
本题综合考查等腰三角形的判定和全等三角形的证明，解题的核心是通过角的和差关系将已知等角转化为证明全等所需的等边，属于常规几何证明题，只要理顺边角的推导逻辑即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
