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7. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，$OC=CD=DE$，点D，E可在槽中滑动。若$∠ BDE=69°$，则$∠ CDE$的度数是（
A.$60°$
B.$69°$
C.$76°$
D.$88°$
D
）。A.$60°$
B.$69°$
C.$76°$
D.$88°$
答案
7. D
解析
【分析】
首先根据已知条件OC=CD=DE，可判定△OCD和△CDE都是等腰三角形，结合等腰三角形“等边对等角”的性质，通过设∠O为未知数，利用三角形外角等于不相邻两内角和的性质，推导∠BDE与未知数的数量关系，先求出∠O的度数，再结合平角的定义即可计算出∠CDE的度数。
【解析】
解：
∵ OC=CD=DE，
∴ △OCD、△CDE均为等腰三角形，
∴ ∠O=∠CDO，∠DCE=∠DEC。
设∠O=x，则∠CDO=x，
由三角形外角性质可得：∠DCE=∠O+∠CDO=2x，
∴ ∠DEC=∠DCE=2x，
同理可得∠BDE=∠O+∠DEC=x+2x=3x。
已知∠BDE=69°，
∴ 3x=69°，解得x=23°，即∠CDO=23°。
∵ O、D、B共线，∠ODB为平角，
∴ ∠CDO+∠CDE+∠BDE=180°，
∴ ∠CDE=180°-23°-69°=88°。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平角的定义
【点评】
本题以三等分角仪为背景，考查等腰三角形性质和三角形角度计算的相关知识，解题的关键是理清各角之间的数量关系，通过设未知数列式求解，能够很好地考查学生对几何基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件OC=CD=DE，可判定△OCD和△CDE都是等腰三角形，结合等腰三角形“等边对等角”的性质，通过设∠O为未知数，利用三角形外角等于不相邻两内角和的性质，推导∠BDE与未知数的数量关系，先求出∠O的度数，再结合平角的定义即可计算出∠CDE的度数。
【解析】
解：
∵ OC=CD=DE，
∴ △OCD、△CDE均为等腰三角形，
∴ ∠O=∠CDO，∠DCE=∠DEC。
设∠O=x，则∠CDO=x，
由三角形外角性质可得：∠DCE=∠O+∠CDO=2x，
∴ ∠DEC=∠DCE=2x，
同理可得∠BDE=∠O+∠DEC=x+2x=3x。
已知∠BDE=69°，
∴ 3x=69°，解得x=23°，即∠CDO=23°。
∵ O、D、B共线，∠ODB为平角，
∴ ∠CDO+∠CDE+∠BDE=180°，
∴ ∠CDE=180°-23°-69°=88°。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平角的定义
【点评】
本题以三等分角仪为背景，考查等腰三角形性质和三角形角度计算的相关知识，解题的关键是理清各角之间的数量关系，通过设未知数列式求解，能够很好地考查学生对几何基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
8. 小亮利用两张等边三角形纸片$△ ABC$ 和$△ DEF$ 拼成如图所示的图形，点D，E，F分别落在边AB，BC，AC上。经过探索，小亮发现$AD=BE=CF$。你同意小亮的看法吗？请说明理由。
答案
8. 提示:证明$△ADF≌△BED≌△CFE$,可得$AD=BE=CF$。
解析
【分析】
要判断$AD=BE=CF$是否成立，可通过证明包含这三条边的三角形全等来推导。首先利用等边三角形的性质：等边三角形三个内角均为$60°$，三条边相等。先推导角的等量关系：由$∠ EDF=60°$结合平角定义得$∠ ADF+∠ BDE=120°$，再由$△ ABC$中$∠ A=60°$，根据三角形内角和得$∠ ADF+∠ AFD=120°$，可推出$∠ BDE=∠ AFD$，结合$∠ A=∠ B=60°$、$DF=DE$，即可用AAS证明$△ ADF≌△ BED$，得到$AD=BE$，同理可证$BE=CF$，最终得到三条边相等。
【解析】
解：同意小亮的看法，理由如下：
$\because △ ABC$和$△ DEF$都是等边三角形，
$\therefore ∠ A=∠ B=∠ EDF=60°$，$DF=DE$，
$\therefore ∠ ADF + ∠ BDE = 180° - ∠ EDF = 180° - 60° = 120°$，
在$△ ADF$中，$∠ ADF + ∠ AFD = 180° - ∠ A = 180° - 60° = 120°$，
$\therefore ∠ BDE = ∠ AFD$，
在$△ ADF$和$△ BED$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ B \\∠ AFD=∠ BDE \\DF=ED\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ BED(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=BE$，
同理可证$△ BED≌△ CFE$，得$BE=CF$，
$\therefore AD=BE=CF$。
【答案】
同意小亮的看法，通过证明$△ ADF≌△ BED≌△ CFE$，可得$AD=BE=CF$。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题关键是利用等边三角形内角为$60°$的性质推导等角关系，进而证明三角形全等得到对应边相等，是全等三角形证明的典型题型。
【难度系数】
0.7
要判断$AD=BE=CF$是否成立，可通过证明包含这三条边的三角形全等来推导。首先利用等边三角形的性质：等边三角形三个内角均为$60°$，三条边相等。先推导角的等量关系：由$∠ EDF=60°$结合平角定义得$∠ ADF+∠ BDE=120°$，再由$△ ABC$中$∠ A=60°$，根据三角形内角和得$∠ ADF+∠ AFD=120°$，可推出$∠ BDE=∠ AFD$，结合$∠ A=∠ B=60°$、$DF=DE$，即可用AAS证明$△ ADF≌△ BED$，得到$AD=BE$，同理可证$BE=CF$，最终得到三条边相等。
【解析】
解：同意小亮的看法，理由如下：
$\because △ ABC$和$△ DEF$都是等边三角形，
$\therefore ∠ A=∠ B=∠ EDF=60°$，$DF=DE$，
$\therefore ∠ ADF + ∠ BDE = 180° - ∠ EDF = 180° - 60° = 120°$，
在$△ ADF$中，$∠ ADF + ∠ AFD = 180° - ∠ A = 180° - 60° = 120°$，
$\therefore ∠ BDE = ∠ AFD$，
在$△ ADF$和$△ BED$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ B \\∠ AFD=∠ BDE \\DF=ED\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ BED(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AD=BE$，
同理可证$△ BED≌△ CFE$，得$BE=CF$，
$\therefore AD=BE=CF$。
【答案】
同意小亮的看法，通过证明$△ ADF≌△ BED≌△ CFE$，可得$AD=BE=CF$。
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题关键是利用等边三角形内角为$60°$的性质推导等角关系，进而证明三角形全等得到对应边相等，是全等三角形证明的典型题型。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°。点D在线段BC上运动(不与点B,C重合),连结AD,作∠ADE=∠B,DE交线段AC于点E。若△ADE为等腰三角形,则∠BAD的度数是
(第9题)
30°或60°
。 (第9题)答案
9. $30°$或$60°$
解析
【分析】
首先根据等腰△ABC的顶角∠BAC=100°，可先计算出两个底角∠B、∠C的度数，结合∠ADE=∠B得到∠ADE的度数。由于题目仅说明△ADE为等腰三角形，未明确腰和底，因此需要分AD=AE、AD=DE、AE=DE三种情况分类讨论，结合三角形内角和、外角性质计算∠BAD的度数，再根据点D不与B、C重合的条件舍去不符合题意的解即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=100°
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-100°)÷2=40°
∴∠ADE=∠B=40°
设∠BAD=x，则∠DAE=∠BAC-∠BAD=100°-x
根据三角形外角性质，∠ADC=∠B+∠BAD=40°+x
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=40°+x-40°=x
同理∠AED=∠C+∠EDC=40°+x
分三种情况讨论△ADE为等腰三角形：
1. 当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°
即40°+x=40°，解得x=0°，此时点D与点B重合，不符合题意，舍去；
2. 当AD=DE时，∠DAE=∠DEA
即100°-x=40°+x，解得x=30°，符合题意；
3. 当AE=DE时，∠ADE=∠DAE
即40°=100°-x，解得x=60°，符合题意。
综上，∠BAD的度数为30°或60°。
【答案】
$30°$或$60°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在等腰三角形问题中的应用，解题时需注意对等腰三角形的腰和底进行全面分类，同时要结合动点的限制条件排除不符合的解，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.6
首先根据等腰△ABC的顶角∠BAC=100°，可先计算出两个底角∠B、∠C的度数，结合∠ADE=∠B得到∠ADE的度数。由于题目仅说明△ADE为等腰三角形，未明确腰和底，因此需要分AD=AE、AD=DE、AE=DE三种情况分类讨论，结合三角形内角和、外角性质计算∠BAD的度数，再根据点D不与B、C重合的条件舍去不符合题意的解即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=100°
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-100°)÷2=40°
∴∠ADE=∠B=40°
设∠BAD=x，则∠DAE=∠BAC-∠BAD=100°-x
根据三角形外角性质，∠ADC=∠B+∠BAD=40°+x
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=40°+x-40°=x
同理∠AED=∠C+∠EDC=40°+x
分三种情况讨论△ADE为等腰三角形：
1. 当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°
即40°+x=40°，解得x=0°，此时点D与点B重合，不符合题意，舍去；
2. 当AD=DE时，∠DAE=∠DEA
即100°-x=40°+x，解得x=30°，符合题意；
3. 当AE=DE时，∠ADE=∠DAE
即40°=100°-x，解得x=60°，符合题意。
综上，∠BAD的度数为30°或60°。
【答案】
$30°$或$60°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在等腰三角形问题中的应用，解题时需注意对等腰三角形的腰和底进行全面分类，同时要结合动点的限制条件排除不符合的解，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.6
