6.（多选题）在$△ ABC$中，$∠ A = 50°$。若$△ ABC$为等腰三角形，则$∠ B$的度数是（）。

A.$50°$
B.$65°$
C.$80°$
D.$100°$

6. ABC

【分析】
这是等腰三角形角度计算的多解问题，解题核心是结合等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理求解。由于题目未明确∠A是顶角还是底角，也未明确∠B的角类型，因此需要分三类情况讨论，排除不符合内角和规则的结果后，即可得到∠B的所有可能度数。
【解析】
已知△ABC为等腰三角形，∠A=50°，根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，分情况讨论：
1. 若∠A是等腰三角形的顶角，则∠B和∠C为相等的底角，此时$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-50°)÷2=65°$；
2. 若∠A是底角，且∠B也是底角，则$∠ B=∠ A=50°$；
3. 若∠A是底角，且∠B是顶角，则$∠ B=180°-2×∠ A=180°-2×50°=80°$。
综上，∠B的可能度数为50°、65°、80°。
【答案】
ABC
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.三角形内角和定理
3.分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题易错点是容易遗漏分类情况，做题时要注意：未明确说明身份的角，都要分顶角、底角两种情况讨论，计算后需验证结果是否符合三角形内角和要求，避免漏解。
【难度系数】
0.7

7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=120°$，$∠ A=20°$，$∠ B=40°$。你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，标出各等腰三角形内角的度数。你有几种分法？

7. 共有2种分法，如图。

【分析】
要把三角形分成两个等腰三角形，需过三角形的一个顶点作线段交对边，将原三角形的一个内角拆分为两个角，使拆分后得到的两个三角形都满足有两个内角相等。首先排除过A、B顶点分割的情况：∠A=20°、∠B=40°本身角度较小，拆分后无法让两个新三角形都满足等腰的条件，因此只需考虑过顶点C分割∠ACB=120°的情况：
1. 第一种思路：拆分出20°的角，和∠A相等，构造等腰△ACD，再验证剩余的△BCD是否为等腰；
2. 第二种思路：拆分出40°的角，和∠B相等，构造等腰△BCD，再验证剩余的△ACD是否为等腰。
两种拆分方式均满足要求，没有其余可行的拆分方案。
【解析】
共有2种分法，均为过点C作线段CD交AB于点D：
1. 第一种分法：作∠ACD=20°，交AB于D。
在△ACD中，∠A=∠ACD=20°，因此△ACD是等腰三角形，其余内角为∠ADC=180°-20°×2=140°；
此时∠BCD=120°-20°=100°，在△BCD中，∠CDB=180°-100°-40°=40°=∠B，因此△BCD也是等腰三角形。
2. 第二种分法：作∠BCD=40°，交AB于D。
在△BCD中，∠B=∠BCD=40°，因此△BCD是等腰三角形，其余内角为∠CDB=180°-40°×2=100°；
此时∠ACD=120°-40°=80°，在△ACD中，∠ADC=180°-20°-80°=80°=∠ACD，因此△ACD也是等腰三角形。
【答案】
共有2种分法，如图。
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形的判定
【点评】
本题考查等腰三角形判定的灵活运用，解题时需要结合内角和定理对所有可能的拆分方案逐一验证，避免漏解，能够锻炼分类讨论的思维能力。
【难度系数】
0.6

8. 如图，折叠一张三角形纸片ABC，使点A落在BC边上的点F，且折痕DE//BC。
（1）若BD＝5，求DF的长。
（2）若∠B＝60°，则△DBF是不是等边三角形？请说明理由。

8. （1）$DF=5$。
（2）$△ DBF$是等边三角形。理由如下:由$DE// BC$,得$∠ ADE = ∠ B$,$∠ DFB = ∠ EDF$。由折叠,得$∠ ADE = ∠ EDF$,所以$∠ B = ∠ DFB = 60°$,所以$△ DBF$是等边三角形。

【分析】
（1）求解DF的长度时，先结合已知条件梳理思路：折叠性质可得到折叠前后对应角相等，即∠ADE=∠EDF；再结合DE//BC的条件，利用平行线的性质得到同位角、内错角相等，通过角的等量代换推出∠B=∠DFB，再根据等角对等边得到DB=DF，代入BD的长度即可求出DF。
（2）判断△DBF是否为等边三角形时，已知∠B=60°，结合（1）中得到的∠B=∠DFB，可推出△DBF有两个内角为60°，即可判定其为等边三角形。
【解析】
（1）
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等），∠EDF=∠DFB（两直线平行，内错角相等），
由折叠的性质可得：∠ADE=∠EDF，
∴∠B=∠DFB，
∴DB=DF（等角对等边），
∵BD=5，
∴DF=5。
（2）△DBF是等边三角形，理由如下：
由$DE// BC$，得$∠ ADE = ∠ B$，$∠ DFB = ∠ EDF$，
由折叠的性质得$∠ ADE = ∠ EDF$，
∴$∠ B = ∠ DFB$，
∵$∠ B=60°$，
∴$∠ B = ∠ DFB = 60°$，
∴$△ DBF$是等边三角形。
【答案】
（1）$DF=5$；
（2）$△ DBF$是等边三角形，理由：由$DE// BC$，得$∠ ADE = ∠ B$，$∠ DFB = ∠ EDF$。由折叠，得$∠ ADE = ∠ EDF$，所以$∠ B = ∠ DFB = 60°$，所以$△ DBF$是等边三角形。
【知识点】
折叠的性质；平行线的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，将折叠变换、平行线性质与特殊三角形判定结合考查，解题核心是利用折叠的等角性质和平行线的角关系完成等量代换，推导角的相等关系，进而得到边的关系或三角形类型，是三角形章节的典型常考题型。
【难度系数】
0.7

9. 如图,在△ABC中,∠B=60°,∠C=90°。
（1）若在直线AB上找一点D,使△BCD为等腰三角形,则∠BDC的度数为。
（2）若在直线AB上找一点E,使△ACE为等腰三角形,则∠AEC的度数为。

9. （1）$30°$或$60°$ （2）$75°$或$120°$或$15°$或$30°$

【分析】
首先计算△ABC的内角度数：已知∠ACB=90°，∠B=60°，可先得出∠BAC=30°。本题是在直线AB上找点构造等腰三角形，由于等腰三角形的腰和底未明确，且点的位置可在线段AB上、AB延长线、BA延长线上，因此需要分类讨论所有可能的情况，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°计算对应角的度数即可。
【解析】
在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=180°-90°-60°=30°。
（1）要使△BCD为等腰三角形，分情况讨论：
① 当BC=BD，且点D在线段AB上时：
∵∠B=60°，BC=BD，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BDC=60°；
② 当BC=BD，且点D在AB的延长线上（点B左侧）时：
此时∠CBD=180°-∠ABC=120°，
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=(180°-120°)÷2=30°；
其余等腰情况计算得到的∠BDC与上述结果重复，
综上，∠BDC的度数为30°或60°。
（2）要使△ACE为等腰三角形，分情况讨论：
① 当AC=AE时：
若点E在AB的延长线上（点A右侧），此时∠CAE=30°，
∵AC=AE，
∴∠AEC=∠ACE=(180°-30°)÷2=75°；
若点E在BA的延长线上（点A左侧），此时∠CAE=180°-30°=150°，
∵AC=AE，
∴∠AEC=∠ACE=(180°-150°)÷2=15°；
② 当AC=CE时：
此时∠CAE=∠AEC=30°，即∠AEC=30°；
③ 当AE=CE时：
此时∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠AEC=180°-30°-30°=120°；
综上，∠AEC的度数为75°或120°或15°或30°。
【答案】
（1）$30°$或$60°$ （2）$75°$或$120°$或$15°$或$30°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“直线AB”的范围，仅考虑点在线段AB上的情况，解题时要对等腰三角形的腰、底以及点的位置进行全面分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6