1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=38°$，则$∠ A$的度数是（）。

A.$38°$
B.$42°$
C.$52°$
D.$62°$

1. C

【分析】
首先明确题目给出的是直角三角形，已知直角∠C=90°和锐角∠B的度数，要求∠A的度数。根据三角形内角和为180°，可推出直角三角形中两个锐角的和为90°（即两锐角互余），因此只需用90°减去已知锐角∠B的度数，即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴ $∠ A + ∠ B = 90°$（直角三角形的两个锐角互余），
又已知$∠ B=38°$，
∴ $∠ A = 90° - 38° = 52°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础考查题，主要检验对直角三角形基本性质的掌握情况，熟练掌握相关性质即可快速得出答案，计算难度低。
【难度系数】
0.9

2. 如图，CD是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边上的高线，$∠A=60°$，则$∠2$的度数是（）。

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$40°$

2. C

【分析】
解题时先梳理已知条件：首先△ABC是直角三角形，CD是斜边上的高，说明∠ACB=90°，∠CDB=∠CDA=90°。要求∠2的度数，已知∠A=60°，可观察角度关系：∠A和∠B是Rt△ABC的两个锐角，和为90°；∠2和∠B是Rt△CDB的两个锐角，和也为90°，由此可知∠2和∠A都是∠B的余角，根据同角的余角相等即可直接推出∠2=∠A，也可先计算∠1的度数，再用∠ACB减去∠1得到∠2的度数。
【解析】
∵ CD是Rt△ABC斜边上的高线，
∴ ∠ACB=90°，∠CDB=90°，
∴ 在Rt△ABC中，∠A + ∠B = 90°（直角三角形两锐角互余），
在Rt△CDB中，∠2 + ∠B = 90°（直角三角形两锐角互余），
∴ ∠2 = ∠A = 60°（同角的余角相等）。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题是直角三角形角度计算的基础题，核心考查直角三角形的锐角性质，利用同角的余角相等可快速推导角度关系，无需分步计算，熟练掌握该性质能简化同类角度计算问题的解题步骤。
【难度系数】
0.9

3. 如图，在等腰直角三角形ABC中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$于点D。若$CD=3$，则$∠ ACD=$，$∠ BCD=$，$AB=$。

3. 45°,45°,6

【分析】
首先回忆等腰直角三角形的基本性质：顶角为90°的等腰直角三角形两个底角均为45°，且等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线三线合一。解题第一步先利用等腰直角三角形的内角特征得到∠A、∠B的度数，再结合CD⊥AB，根据直角三角形两锐角互余计算∠ACD和∠BCD的度数；最后利用三线合一得到CD是AB的中线，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=(180°-90°)÷2=45°。
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
在Rt△ACD中，∠ACD=90°-∠A=90°-45°=45°，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°-∠B=90°-45°=45°。
又
∵等腰△ABC中，CD⊥AB，根据等腰三角形三线合一，CD是AB边上的中线，即D为AB中点，
在Rt△ABC中，斜边上的中线CD等于斜边AB的一半，即$CD=\frac{1}{2}AB$，
∵CD=3，
∴AB=2CD=2×3=6。
【答案】
45°,45°,6
【知识点】
等腰三角形三线合一，直角三角形两锐角互余，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是基础性质应用题，核心考查等腰三角形和直角三角形的常见性质，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活结合运用，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.9

4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，CD是斜边AB上的中线，则以下判断正确的是()。

A.$CD=2AB$
B.$CD=\dfrac{1}{2}AC$
C.$CD=\dfrac{1}{2}BC$
D.$CD=AD=BD$

4. D

【分析】
本题考查直角三角形斜边中线的相关性质，解题思路如下：首先回忆直角三角形的核心性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；再结合三角形中线的定义，中线会将对边分为长度相等的两段，由此推导CD与AD、BD的数量关系，最后逐一比对四个选项得出正确答案。
【解析】
已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，AB为斜边，CD是斜边AB上的中线。
1. 根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得 $CD=\frac{1}{2}AB$；
2. 根据三角形中线的定义：三角形的中线平分对边，可得 $AD=BD=\frac{1}{2}AB$；
3. 联立以上结论可得：$CD=AD=BD$。
逐一判断选项：
A选项$CD=2AB$，与$CD=\frac{1}{2}AB$矛盾，错误；
B选项$CD=\frac{1}{2}AC$、C选项$CD=\frac{1}{2}BC$均无普遍成立的依据，仅在特殊直角三角形中可能成立，故B、C错误；
D选项符合推导结论，正确。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；三角形中线定义
【点评】
本题属于直角三角形性质的基础考查题，核心是对直角三角形斜边中线性质的记忆和理解，掌握该性质即可快速解题，是直角三角形模块的常见基础题型。
【难度系数】
0.9

5. 如图，Rt△ACB的斜边AB长为2，∠B=30°，CD是AB的中线。求AC，CD的长。

5. AC=1,CD=1。

【分析】
解题时先梳理已知条件：题目给出的是直角三角形Rt△ACB，斜边AB长为2，∠B=30°，CD是斜边AB的中线。首先求AC的长度，可联想到直角三角形中30°角的特殊性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，∠B的对边恰好是AC，直接用该性质即可算出AC。再求CD的长度，回忆直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，代入AB的长度就能求出CD。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，
∠B的对边为AC，根据直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴ $AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$。
又
∵ CD是Rt△ACB斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴ $CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
AC=1，CD=1
【知识点】
30°直角三角形性质；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础类几何题，核心考查直角三角形的两个常用性质，只要熟记性质、找准对应线段就能快速解题，是巩固直角三角形基础知识点的典型题目。
【难度系数】
0.9

6. (多选题)在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，点$P$在边$BC$上(不与点$B$，点$C$重合)。
下列说法正确的是()。

A.若$∠ PAC=∠ C$，则$PA=PC$
B.若$∠ BAP=∠ C$，则$AP⊥ BC$
C.若$AP⊥ BC$，则$∠ PAC=∠ B$
D.若$PB=PC$，则$∠ BAP=∠ C$

6. ABC

【分析】
本题以直角三角形为背景，考查等腰三角形判定、直角三角形的边角相关性质。解题时先利用∠BAC=90°得到∠B+∠C=90°的基础结论，再逐一结合每个选项给出的条件，推导对应结论是否成立即可。
【解析】
已知△ABC中，∠BAC=90°，因此∠B+∠C=90°。
选项A：若∠PAC=∠C，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，可得PA=PC，故A正确；
选项B：若∠BAP=∠C，结合∠B+∠C=90°，可得∠B+∠BAP=90°，在△ABP中，∠APB=180°-(∠B+∠BAP)=90°，即AP⊥BC，故B正确；
选项C：若AP⊥BC，则∠APC=90°，因此∠PAC+∠C=90°，又因为∠BAC=90°即∠B+∠C=90°，根据“同角的余角相等”，可得∠PAC=∠B，故C正确；
选项D：若PB=PC，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得PA=PB=PC，因此∠B=∠BAP，只有当△ABC为等腰直角三角形时∠B=∠C，普通直角三角形中∠B≠∠C，因此∠BAP不一定等于∠C，故D错误。
综上，正确选项为ABC。
【答案】
ABC
【知识点】
直角三角形的性质，等角对等边，同角的余角相等
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题，需要结合已知条件逐步推导角与角、边与边的关系，解题时注意区分通用性质和特殊情况的结论，避免混淆概念。
【难度系数】
0.7