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7. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=60°$。$CD⊥ AB$，垂足为$D$，$E$是$BC$的中点，连结$ED$，则$∠ EDC$的度数是
60°
。答案
7. 60°
解析
【分析】
解题时先从已知的直角三角形内角条件出发，利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数；再结合CD⊥AB的条件，求出∠DCB的度数；最后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到ED=EC，推出△EDC是等腰三角形，根据等边对等角即可求出∠EDC的度数。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=60°$，
根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ B=90°-∠ A=90°-60°=30°$，
$\because CD⊥ AB$，$\therefore ∠ CDB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△CDB$中，$∠ DCB=90°-∠ B=90°-30°=60°$，
$\because E$是$BC$的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$ED=EC$，
$\therefore △EDC$是等腰三角形，$∠ EDC=∠ DCB=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考察直角三角形和等腰三角形的核心性质，解题的关键是准确识别出$\mathrm{Rt}△CDB$的斜边中线，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的直角三角形内角条件出发，利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数；再结合CD⊥AB的条件，求出∠DCB的度数；最后利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到ED=EC，推出△EDC是等腰三角形，根据等边对等角即可求出∠EDC的度数。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=60°$，
根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ B=90°-∠ A=90°-60°=30°$，
$\because CD⊥ AB$，$\therefore ∠ CDB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△CDB$中，$∠ DCB=90°-∠ B=90°-30°=60°$，
$\because E$是$BC$的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$ED=EC$，
$\therefore △EDC$是等腰三角形，$∠ EDC=∠ DCB=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考察直角三角形和等腰三角形的核心性质，解题的关键是准确识别出$\mathrm{Rt}△CDB$的斜边中线，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8. 已知:如图,∠AEB=∠ADB=90°,C为AB的中点,连结CD,CE,DE。求证:△CDE为等腰三角形。
答案
8. 由$∠ AEB=90°,AC=BC$,可得$CE=\dfrac{1}{2}AB$。同理,$CD=\dfrac{1}{2}AB$。所以$CE=CD$,即$△ CDE$为等腰三角形。
解析
【分析】
要证明△CDE为等腰三角形，核心是证明该三角形有两条边相等。观察已知条件，存在两个以AB为斜边的直角三角形Rt△AEB和Rt△ADB，且C是AB的中点，此时可联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，分别推导CE、CD和AB的数量关系，即可得到CE与CD的等量关系，完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠AEB=90°，C为AB的中点，
∴ CE是Rt△AEB斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质，得$CE=\dfrac{1}{2}AB$。
同理，
∵ ∠ADB=90°，C为AB的中点，
∴ CD是Rt△ADB斜边AB上的中线，得$CD=\dfrac{1}{2}AB$。
∴ CE=CD，
∴ △CDE为等腰三角形。
【答案】
△CDE为等腰三角形
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题的关键是识别到两个直角三角形共斜边，结合斜边中点的条件，直接运用直角三角形斜边中线的性质即可得到边的等量关系，这类题型是直角三角形性质的典型应用，需要熟练掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.8
要证明△CDE为等腰三角形，核心是证明该三角形有两条边相等。观察已知条件，存在两个以AB为斜边的直角三角形Rt△AEB和Rt△ADB，且C是AB的中点，此时可联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，分别推导CE、CD和AB的数量关系，即可得到CE与CD的等量关系，完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠AEB=90°，C为AB的中点，
∴ CE是Rt△AEB斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边中线的性质，得$CE=\dfrac{1}{2}AB$。
同理，
∵ ∠ADB=90°，C为AB的中点，
∴ CD是Rt△ADB斜边AB上的中线，得$CD=\dfrac{1}{2}AB$。
∴ CE=CD，
∴ △CDE为等腰三角形。
【答案】
△CDE为等腰三角形
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题的关键是识别到两个直角三角形共斜边，结合斜边中点的条件，直接运用直角三角形斜边中线的性质即可得到边的等量关系，这类题型是直角三角形性质的典型应用，需要熟练掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.8
9. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$∠ B - ∠ A = 10°$，$D$是$AB$上一点。将$△ ACD$沿$CD$翻折后得到$△ CED$，边$CE$交$AB$于点$F$。若$△ DEF$为直角三角形，求$∠ ACD$的度数。
答案
9. 由$∠ ACB=90°,∠ B-∠ A=10°$,得$∠ A=40°,∠ B=50°$。因为$∠ E=∠ A=40°$,所以若$△ DEF$为直角三角形,只能是$∠ EDF=90°$或$∠ DFE=90°$。
当$∠ DFE=90°$时,$∠ ACF=90°-∠ A=50°$,则$∠ ACD=\dfrac{1}{2}∠ ACF=25°$。
当$∠ FDE=90°$时,$∠ DFE=90°-∠ E=50°$,则$∠ ACF=∠ DFE-∠ A=10°$。
所以$∠ ACD=\dfrac{1}{2}∠ ACF=5°$。
综上所述,$∠ ACD$的度数是$25°$或$5°$。
当$∠ DFE=90°$时,$∠ ACF=90°-∠ A=50°$,则$∠ ACD=\dfrac{1}{2}∠ ACF=25°$。
当$∠ FDE=90°$时,$∠ DFE=90°-∠ E=50°$,则$∠ ACF=∠ DFE-∠ A=10°$。
所以$∠ ACD=\dfrac{1}{2}∠ ACF=5°$。
综上所述,$∠ ACD$的度数是$25°$或$5°$。
解析
【分析】
首先利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知∠B-∠A=10°，先求出△ABC中∠A和∠B的度数。再根据折叠的性质可得∠E=∠A，由于△DEF是直角三角形但未明确直角顶点，因此需分类讨论：仅存在∠DFE=90°和∠EDF=90°两种情况（∠E=40°不可能为直角，无需讨论）。每种情况结合三角形内角和或外角性质求出∠ACF的度数，再由折叠可知CD平分∠ACF，即可求出∠ACD的度数。
【解析】
解：在$△ABC$中，$∠ACB=90°$，因此$∠A+∠B=90°$，
又已知$∠B-∠A=10°$，联立两式解得：$∠A=40°$，$∠B=50°$。
由折叠的性质可得：$∠E=∠A=40°$，$∠ACD=∠ECD=\frac{1}{2}∠ACF$。
已知$△DEF$为直角三角形，分两种情况讨论：
1. 当$∠DFE=90°$时：
$∠AFC=∠DFE=90°$，在$△ACF$中，$∠ACF=90°-∠A=90°-40°=50°$，
因此$∠ACD=\frac{1}{2}∠ACF=\frac{1}{2}×50°=25°$。
2. 当$∠EDF=90°$时：
在$△DEF$中，$∠DFE=90°-∠E=90°-40°=50°$，
根据三角形外角的性质，$∠DFE=∠A+∠ACF$，
因此$∠ACF=∠DFE-∠A=50°-40°=10°$，
所以$∠ACD=\frac{1}{2}∠ACF=\frac{1}{2}×10°=5°$。
【答案】
$25°$或$5°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余，折叠的性质，三角形外角性质
【点评】
本题是常见的几何综合题，解题核心是掌握折叠前后对应角相等的性质，注意直角三角形未明确直角顶点时要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知∠B-∠A=10°，先求出△ABC中∠A和∠B的度数。再根据折叠的性质可得∠E=∠A，由于△DEF是直角三角形但未明确直角顶点，因此需分类讨论：仅存在∠DFE=90°和∠EDF=90°两种情况（∠E=40°不可能为直角，无需讨论）。每种情况结合三角形内角和或外角性质求出∠ACF的度数，再由折叠可知CD平分∠ACF，即可求出∠ACD的度数。
【解析】
解：在$△ABC$中，$∠ACB=90°$，因此$∠A+∠B=90°$，
又已知$∠B-∠A=10°$，联立两式解得：$∠A=40°$，$∠B=50°$。
由折叠的性质可得：$∠E=∠A=40°$，$∠ACD=∠ECD=\frac{1}{2}∠ACF$。
已知$△DEF$为直角三角形，分两种情况讨论：
1. 当$∠DFE=90°$时：
$∠AFC=∠DFE=90°$，在$△ACF$中，$∠ACF=90°-∠A=90°-40°=50°$，
因此$∠ACD=\frac{1}{2}∠ACF=\frac{1}{2}×50°=25°$。
2. 当$∠EDF=90°$时：
在$△DEF$中，$∠DFE=90°-∠E=90°-40°=50°$，
根据三角形外角的性质，$∠DFE=∠A+∠ACF$，
因此$∠ACF=∠DFE-∠A=50°-40°=10°$，
所以$∠ACD=\frac{1}{2}∠ACF=\frac{1}{2}×10°=5°$。
【答案】
$25°$或$5°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余，折叠的性质，三角形外角性质
【点评】
本题是常见的几何综合题，解题核心是掌握折叠前后对应角相等的性质，注意直角三角形未明确直角顶点时要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
