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4. 如图7是一名同学设计的利用小树来测量某路灯高度的示意图.小树AB在路灯O的照射下形成投影BC,这名同学测得树高AB=4 m,树影BC=5 m,树与路灯的水平距离BP=6 m.求路灯OP的高度.
答案
解：
由题意可知，$AB ⊥ PC$，$OP ⊥ PC$，
$\therefore AB // OP$，
$\therefore △ CAB ∽ △ COP$，
$\therefore \frac{AB}{OP}=\frac{BC}{PC}$。
$\because PC = BP + BC = 6 + 5 = 11\ \mathrm{m}$，$AB=4\ \mathrm{m}$，$BC=5\ \mathrm{m}$，
将数值代入比例式得：$\frac{4}{OP}=\frac{5}{11}$，
解得 $OP=8.8\ \mathrm{m}$。
答：路灯$OP$的高度为$8.8\ \mathrm{m}$。
由题意可知，$AB ⊥ PC$，$OP ⊥ PC$，
$\therefore AB // OP$，
$\therefore △ CAB ∽ △ COP$，
$\therefore \frac{AB}{OP}=\frac{BC}{PC}$。
$\because PC = BP + BC = 6 + 5 = 11\ \mathrm{m}$，$AB=4\ \mathrm{m}$，$BC=5\ \mathrm{m}$，
将数值代入比例式得：$\frac{4}{OP}=\frac{5}{11}$，
解得 $OP=8.8\ \mathrm{m}$。
答：路灯$OP$的高度为$8.8\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
这是一道利用中心投影测量高度的实际应用题，解题思路如下：首先根据题意可知小树AB和路灯OP都垂直于水平地面PC，可推出AB与OP平行；由平行关系可证得△CAB和△COP相似，再结合相似三角形对应边成比例的性质，就能列出包含待求量OP的比例式；接下来先算出PC的总长度，再将已知的AB、BC、PC的数值代入比例式，即可求出路灯OP的高度。
【解析】
解：由题意可知，$AB ⊥ PC$，$OP ⊥ PC$，
$\therefore AB // OP$，
$\therefore △ CAB ∽ △ COP$，
$\therefore \frac{AB}{OP}=\frac{BC}{PC}$。
$\because PC = BP + BC = 6 + 5 = 11\ \mathrm{m}$，$AB=4\ \mathrm{m}$，$BC=5\ \mathrm{m}$，
将数值代入比例式得：$\frac{4}{OP}=\frac{5}{11}$，
解得 $OP=8.8\ \mathrm{m}$。
答：路灯$OP$的高度为$8.8\ \mathrm{m}$。
【答案】
$8.8\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形应用；中心投影；比例计算
【点评】
本题是中心投影与相似三角形结合的基础应用题，解题核心是将实际投影问题转化为相似三角形模型，通过相似的性质建立数量关系求解，考查了学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
这是一道利用中心投影测量高度的实际应用题，解题思路如下：首先根据题意可知小树AB和路灯OP都垂直于水平地面PC，可推出AB与OP平行；由平行关系可证得△CAB和△COP相似，再结合相似三角形对应边成比例的性质，就能列出包含待求量OP的比例式；接下来先算出PC的总长度，再将已知的AB、BC、PC的数值代入比例式，即可求出路灯OP的高度。
【解析】
解：由题意可知，$AB ⊥ PC$，$OP ⊥ PC$，
$\therefore AB // OP$，
$\therefore △ CAB ∽ △ COP$，
$\therefore \frac{AB}{OP}=\frac{BC}{PC}$。
$\because PC = BP + BC = 6 + 5 = 11\ \mathrm{m}$，$AB=4\ \mathrm{m}$，$BC=5\ \mathrm{m}$，
将数值代入比例式得：$\frac{4}{OP}=\frac{5}{11}$，
解得 $OP=8.8\ \mathrm{m}$。
答：路灯$OP$的高度为$8.8\ \mathrm{m}$。
【答案】
$8.8\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形应用；中心投影；比例计算
【点评】
本题是中心投影与相似三角形结合的基础应用题，解题核心是将实际投影问题转化为相似三角形模型，通过相似的性质建立数量关系求解，考查了学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 用小正方体搭成的几何体,从正面和上面看的形状图如图8,则组成这样的几何体需要正方体个数为 ()
A.最多需要8块,最少需要6块
B.最多需要9块,最少需要6块
C.最多需要8块,最少需要7块
D.最多需要9块,最少需要7块
A.最多需要8块,最少需要6块
B.最多需要9块,最少需要6块
C.最多需要8块,最少需要7块
D.最多需要9块,最少需要7块
答案
C
解析
【分析】
解决这类由主视图和俯视图判断小正方体个数的问题，思路如下：首先利用俯视图确定底层小正方体的数量，俯视图中每个小正方形对应的位置至少有1个小正方体，因此底层个数等于俯视图的小正方形总数；再结合主视图确定每一列的最大层数，分别推导最多、最少的情况：最多时，每一列符合高度要求的位置都取最大层数；最少时，每一列只要有1个位置达到该列的最大层数，其余同列位置取最小层数即可。
【解析】
1. 确定底层数量：观察俯视图，共有4个小正方形，说明几何体底层固定有4个小正方体。
2. 分析主视图的高度要求：主视图共3列，左列最高为3层，中间列最高为2层，右列最高为1层。
3. 分情况计算总个数：
右列最高1层，对应位置只能有1层，无需额外叠加。
左列在俯视图中仅对应1个位置，因此该位置必须为3层，比底层多2个小正方体。
中间列在俯视图中对应2个位置：
①最多情况：2个位置都取2层，共比底层多2个小正方体，总个数为$4+2+2=8$个；
②最少情况：仅1个位置取2层，共比底层多1个小正方体，总个数为$4+2+1=7$个。
综上，组成该几何体最多需要8块小正方体，最少需要7块小正方体。
【答案】
C
【知识点】
由三视图判断几何体，主视图，俯视图
【点评】
本题是三视图的典型应用题型，解题核心是掌握“俯视图定底层数量、主视图定各列最大高度”的规律，区分最多、最少情况的叠加规则，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解决这类由主视图和俯视图判断小正方体个数的问题，思路如下：首先利用俯视图确定底层小正方体的数量，俯视图中每个小正方形对应的位置至少有1个小正方体，因此底层个数等于俯视图的小正方形总数；再结合主视图确定每一列的最大层数，分别推导最多、最少的情况：最多时，每一列符合高度要求的位置都取最大层数；最少时，每一列只要有1个位置达到该列的最大层数，其余同列位置取最小层数即可。
【解析】
1. 确定底层数量：观察俯视图，共有4个小正方形，说明几何体底层固定有4个小正方体。
2. 分析主视图的高度要求：主视图共3列，左列最高为3层，中间列最高为2层，右列最高为1层。
3. 分情况计算总个数：
右列最高1层，对应位置只能有1层，无需额外叠加。
左列在俯视图中仅对应1个位置，因此该位置必须为3层，比底层多2个小正方体。
中间列在俯视图中对应2个位置：
①最多情况：2个位置都取2层，共比底层多2个小正方体，总个数为$4+2+2=8$个；
②最少情况：仅1个位置取2层，共比底层多1个小正方体，总个数为$4+2+1=7$个。
综上，组成该几何体最多需要8块小正方体，最少需要7块小正方体。
【答案】
C
【知识点】
由三视图判断几何体，主视图，俯视图
【点评】
本题是三视图的典型应用题型，解题核心是掌握“俯视图定底层数量、主视图定各列最大高度”的规律，区分最多、最少情况的叠加规则，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 如图9是某几何体的三视图，其俯视图由两个正方形组成，则该几何体的体积为。
答案
$\boldsymbol{162}$
解析
【分析】
解题时首先根据三视图还原几何体的形状：主视图和左视图的高度为6，说明几何体的高是6；俯视图为边长6的大正方形内套边长3的小正方形，说明该几何体是大正四棱柱（底面为正方形的长方体）中间挖去一个小正四棱柱的空心几何体。体积计算思路为整体体积减去空心部分体积，分别计算两个正四棱柱的体积后作差即可。
【解析】
解：由三视图可知，该几何体是高为6、底面为边长6的正方形的大正四棱柱，中间挖去一个高为6、底面为边长3的正方形的小正四棱柱。
根据正四棱柱体积公式$V=S_{\mathrm{底}}× h$（$S_{\mathrm{底}}$为底面积，$h$为高）：
大正四棱柱体积：$V_1=6×6×6=216$
小正四棱柱体积：$V_2=3×3×6=54$
则该几何体的体积：$V=V_1-V_2=216-54=162$
【答案】
$\boldsymbol{162}$
【知识点】
三视图的识别、棱柱体积计算
【点评】
本题考查三视图与几何体体积的结合应用，解题的关键是能够根据三视图准确还原几何体的结构特征，掌握空心几何体体积用“整体减部分”的计算方法。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据三视图还原几何体的形状：主视图和左视图的高度为6，说明几何体的高是6；俯视图为边长6的大正方形内套边长3的小正方形，说明该几何体是大正四棱柱（底面为正方形的长方体）中间挖去一个小正四棱柱的空心几何体。体积计算思路为整体体积减去空心部分体积，分别计算两个正四棱柱的体积后作差即可。
【解析】
解：由三视图可知，该几何体是高为6、底面为边长6的正方形的大正四棱柱，中间挖去一个高为6、底面为边长3的正方形的小正四棱柱。
根据正四棱柱体积公式$V=S_{\mathrm{底}}× h$（$S_{\mathrm{底}}$为底面积，$h$为高）：
大正四棱柱体积：$V_1=6×6×6=216$
小正四棱柱体积：$V_2=3×3×6=54$
则该几何体的体积：$V=V_1-V_2=216-54=162$
【答案】
$\boldsymbol{162}$
【知识点】
三视图的识别、棱柱体积计算
【点评】
本题考查三视图与几何体体积的结合应用，解题的关键是能够根据三视图准确还原几何体的结构特征，掌握空心几何体体积用“整体减部分”的计算方法。
【难度系数】
0.7
