1.下列选项中，是正比例函数的图象，且y随x的增大而减小的是()

1.C

【分析】
要解决这道题，我们分两步筛选正确选项：首先回忆正比例函数的图象特征，排除不符合的选项；再结合“y随x的增大而减小”的增减性要求，确定最终答案。第一步，正比例函数的图象是过坐标原点的直线，据此先排除不过原点的图象；第二步，正比例函数中k＜0时，y随x的增大而减小，此时图象经过第二、四象限，据此筛选剩余选项即可。
【解析】
1. 根据正比例函数的图象特征初步筛选：
正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），它的图象是经过原点$(0,0)$的直线。观察选项，B、D的直线不经过原点，因此排除B、D。
2. 结合增减性二次筛选：
若y随x的增大而减小，说明正比例函数的系数$k＜0$，此时图象经过第二、四象限：
选项A的直线经过第一、三象限，对应$k＞0$，y随x的增大而增大，不符合要求；
选项C的直线经过第二、四象限，对应$k＜0$，y随x的增大而减小，符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的图象；正比例函数的增减性
【点评】
本题考查正比例函数的基础性质，解题核心是牢记正比例函数图象过原点的特征，以及k的符号和函数增减性、图象所在象限的对应关系，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8

2.若正比例函数 $ y = mx $ 的图象经过第二、四象限，则点$ (m, m - 1) $在()

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

2.C

【分析】
解题时可分两步思考：第一步，回忆正比例函数的图象性质：正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）中，当$k＜0$时，图象经过第二、四象限，据此可先求出$m$的取值范围；第二步，结合$m$的取值范围，判断点$(m, m-1)$的横、纵坐标的正负，再根据各象限内点的坐标符号特征，即可确定该点所在的象限。
【解析】
解：
∵正比例函数$y = mx$的图象经过第二、四象限
∴根据正比例函数的图象性质可得：$m ＜ 0$
接下来判断点$(m, m-1)$的坐标符号：
横坐标为$m$，已知$m ＜ 0$；
纵坐标为$m-1$，因为$m ＜ 0$，所以$m - 1 ＜ 0 - 1 = -1 ＜ 0$
该点的横、纵坐标均为负数，根据象限内点的坐标特征：横、纵坐标均为负的点在第三象限，因此点$(m, m-1)$在第三象限。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的图象与性质；各象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，是正比例函数性质与平面直角坐标系象限特征的结合应用，解题关键是先根据函数图象经过的象限确定参数$m$的符号，再判断点的坐标符号即可。
【难度系数】
0.8

3.若点$ A(m,y_1) $和点$ B(m+2,y_2) $在同一正比例函数图象上，且$ y_2 - y_1 = 4 $，则该正比例函数的表达式为()

A.$ y = x $
B.$ y = 2x $
C.$ y = -2x $
D.$ y = \frac{1}{2}x $

3.B

【分析】
首先回忆正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k≠0$，$k$为常数），已知两点都在该正比例函数图象上，说明两点坐标均满足函数解析式。我们可以先将两点坐标分别代入解析式，表示出$y_1$和$y_2$，再结合已知条件$y_2 - y_1=4$，建立关于$k$的方程，求解出$k$的值即可得到正比例函数的表达式。
【解析】
设该正比例函数的表达式为$y = kx$（$k ≠ 0$）。
∵点$A(m,y_1)$和点$B(m+2,y_2)$在该正比例函数图象上，
∴将两点分别代入解析式得：
$y_1 = km$，
$y_2 = k(m+2)$。
已知$y_2 - y_1 = 4$，将上述表达式代入得：
$k(m+2) - km = 4$，
展开左边计算：$km + 2k - km = 2k$，
即$2k = 4$，解得$k=2$。
∴该正比例函数的表达式为$y=2x$。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的定义；函数图象上点的坐标特征；待定系数法求解析式
【点评】
本题是正比例函数的基础应用题，核心考查待定系数法求函数解析式的方法，解题关键是理解函数图象上的点的坐标满足函数解析式，通过代入建立方程求解未知系数即可，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8

4.如图,在同一平面直角坐标系中,正比例函数$y=k_1x,y=k_2x,y=k_3x,y=k_4x$的图象分别为直线$l_1,l_2,l_3,l_4$。下列关系正确的是()

A.$k_1＜k_2＜k_3＜k_4$
B.$k_2＜k_1＜k_4＜k_3$
C.$k_1＜k_2＜k_4＜k_3$
D.$k_2＜k_1＜k_3＜k_4$

4.B

【分析】
要解决这道题，我们可以结合正比例函数$y=kx$的图象性质分三步思考：第一步先根据直线经过的象限判断$k$的正负，经过一、三象限的$k＞0$，经过二、四象限的$k＜0$，先把四个$k$分成负数和正数两组，负数一定小于正数；第二步比较负数组的$k$值大小：$k$为负时，直线越陡，$|k|$越大，对应的$k$值越小；第三步比较正数组的$k$值大小：$k$为正时，直线越陡，$k$值越大，最后整合四者的大小关系即可选出正确选项。
【解析】
解：①根据正比例函数图象的象限特征判断$k$的正负：
直线$l_1$、$l_2$经过第二、四象限，因此$k_1＜0$，$k_2＜0$；
直线$l_3$、$l_4$经过第一、三象限，因此$k_3＞0$，$k_4＞0$；
由此可得$k_1、k_2$均小于$k_3、k_4$。
②比较负系数的大小：
正比例函数中，$|k|$越大，直线的倾斜程度越大（越陡）。观察图象可知$l_2$比$l_1$更陡，因此$|k_2|＞|k_1|$，根据负数比较大小的规则“绝对值大的反而小”，可得$k_2＜k_1$。
③比较正系数的大小：
当$k＞0$时，直线越陡，$k$值越大。观察图象可知$l_3$比$l_4$更陡，因此$k_3＞k_4$。
综上，四个系数的大小关系为：$k_2＜k_1＜k_4＜k_3$，对应选项B。
【答案】
B

【知识点】
正比例函数的图象性质，k值与倾斜度的关系
【点评】
本题是正比例函数图象性质的基础应用考题，解题的核心是掌握$k$的正负和大小分别对应图象的哪些特征，熟练掌握该规律就能快速判断$k$的大小关系。
【难度系数】
0.8

5.甲、乙两种笔记本的总价y(单位:元)与数量x(单位:本)之间的函数关系
的图象如图所示。
(1)分别写出甲种笔记本和乙种笔记本的总价y与数量x之间的关系式。
(2)买5本甲种笔记本需要多少钱?
3.2元可以买几本乙种笔记本?
(3)哪种笔记本更便宜?

解:(1)$y_甲=0.4x$，$y_乙=0.2x$。
(2)当 $x=5$ 时，$y_甲=0.4×5=2$。
当 $y_乙=3.2$ 时，$3.2=0.2x$，解得 $x=16$。
答:买 5 本甲种笔记本需要 2 元，3.2 元可以买 16 本乙种笔记本。
(3)乙种笔记本更便宜。

【分析】
首先观察图象可知，甲、乙两种笔记本的总价与数量的函数关系均为过原点的正比例函数，解题思路如下：
1. 求解函数关系式：使用待定系数法，设正比例函数解析式为$y=kx$，分别从图象中提取甲经过点$(8,3.2)$、乙经过点$(12,2.4)$，代入解析式求出比例系数$k$，即可得到两个函数的关系式。
2. 解决实际计算问题：求买5本甲的费用，就是将$x=5$代入甲的解析式求$y$的值；求3.2元买乙的数量，就是将$y=3.2$代入乙的解析式求$x$的值。
3. 比较哪种笔记本便宜：比较两个函数的比例系数$k$（即单价），$k$越小单价越低，笔记本越便宜。
【解析】
(1) 由图象可知，甲、乙的总价$y$与数量$x$均为正比例函数关系，设$y_甲=k_1x$，$y_乙=k_2x$：
将甲经过的点$(8,3.2)$代入$y_甲=k_1x$，得$3.2=8k_1$，解得$k_1=0.4$，因此$y_甲=0.4x$。
将乙经过的点$(12,2.4)$代入$y_乙=k_2x$，得$2.4=12k_2$，解得$k_2=0.2$，因此$y_乙=0.2x$。
(2) ① 买5本甲种笔记本，即$x=5$，代入$y_甲=0.4x$得：
$y_甲=0.4×5=2$元。
② 3.2元买乙种笔记本，即$y_乙=3.2$，代入$y_乙=0.2x$得：
$3.2=0.2x$，解得$x=16$本。
(3) 甲种笔记本单价为0.4元/本，乙种笔记本单价为0.2元/本，因为$0.2＜0.4$，所以乙种笔记本更便宜。
【答案】
解:(1)$y_甲=0.4x$，$y_乙=0.2x$。
(2)当 $x=5$ 时，$y_甲=0.4×5=2$。
当 $y_乙=3.2$ 时，$3.2=0.2x$，解得 $x=16$。
答:买 5 本甲种笔记本需要 2 元，3.2 元可以买 16 本乙种笔记本。
(3)乙种笔记本更便宜。

【知识点】
1. 待定系数法求正比例函数解析式
2. 正比例函数实际应用
3. 函数图象信息提取
【点评】
本题结合生活消费场景，考查从函数图象中提取有效信息、运用待定系数法求解正比例函数解析式，以及利用函数解析式解决实际计算问题的能力，是一次函数应用的基础典型题。
【难度系数】
0.8

6. 提升题 已知$y$与$x+1$成正比例，且当$x=1$时，$y=-6$。
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式。
(2)若点$(a,12)$在此函数图象上，求$a$的值。

解:(1)设 $y=k(x+1)$。把 $x=1,y=-6$ 代入，得$-6=k(1+1)$，解得 $k=-3$。
故 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $y=-3x-3$。
(2)把点 $(a,12)$ 代入，得 $12=-3a-3$，解得 $a=-5$。

【分析】
(1) 首先根据正比例的定义，若两个量成正比例关系，可表示为“因变量=比例系数×自变量”的形式，本题中y与x+1成正比例，因此先设出含比例系数k的关系式$ y=k(x+1) $（k≠0），再将已知的x、y的对应值代入式子求出k，最后整理得到y与x的函数表达式即可。
(2) 函数图象上的点的横纵坐标一定满足函数的解析式，因此将点$(a,12)$的横、纵坐标代入第一问求出的函数表达式，解关于a的一元一次方程就能得到a的值。
【解析】
(1) 因为y与$x+1$成正比例，所以设函数表达式为$ y = k(x+1) $（$ k≠0 $）。
将$ x=1 $，$ y=-6 $代入上式，得：
$ -6 = k(1+1) $
解得$ k=-3 $。
将$ k=-3 $代入$ y = k(x+1) $，展开得$ y = -3(x+1) = -3x -3 $。
(2) 已知点$ (a,12) $在此函数图象上，将$ x=a $，$ y=12 $代入$ y=-3x-3 $，得：
$ 12 = -3a -3 $
移项计算得$ 3a = -15 $，解得$ a=-5 $。
【答案】
(1) $ y=-3x-3 $
(2) $ a=-5 $
【知识点】
正比例的定义，待定系数法求解析式，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的常规基础题，重点考查对正比例关系的理解、待定系数法的运用，以及函数图象上的点与函数解析式的对应关系，熟练掌握基础概念和方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8