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1. 把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本;如果每人分4本,则还缺25本。若设这个班有x名学生,则依题意所列方程正确的是 ()
A.$3x - 20 = 4x - 25$
B.$3x + 20 = 4x + 25$
C.$3x - 20 = 4x + 25$
D.$3x + 20 = 4x - 25$
A.$3x - 20 = 4x - 25$
B.$3x + 20 = 4x + 25$
C.$3x - 20 = 4x + 25$
D.$3x + 20 = 4x - 25$
答案
D
解析
【分析】
解答本题首先要明确题中的不变量，即图书的总数量，两种分配方式下的总图书数相等，这是列方程的核心依据。我们可以分两步思考：第一步，用含学生人数x的式子分别表示两种分法对应的总图书数；第二步，根据总图书数相等联立两个表达式，即可得到正确方程。需要注意“剩余20本”是总数量比分出的多20，“缺25本”是总数量比需要的少25，不要搞反加减关系。
【解析】
解：本题的等量关系为：两种分配方式下的图书总数量相等。
① 每人分3本时，已分图书为$3x$本，加上剩余的20本，总图书数为：$3x + 20$
② 每人分4本时，给所有学生分满共需要$4x$本，还差25本，说明实际总图书数比$4x$少25，即总图书数为：$4x - 25$
因为总图书数相等，所以列方程为：$3x + 20 = 4x - 25$
因此选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
列一元一次方程，一元一次方程的应用，等量关系识别
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础典型题，解题的突破口是抓住题目中隐含的总量不变的等量关系，这类题型是方程实际应用的入门内容，需要熟练掌握列方程的逻辑。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要明确题中的不变量，即图书的总数量，两种分配方式下的总图书数相等，这是列方程的核心依据。我们可以分两步思考：第一步，用含学生人数x的式子分别表示两种分法对应的总图书数；第二步，根据总图书数相等联立两个表达式，即可得到正确方程。需要注意“剩余20本”是总数量比分出的多20，“缺25本”是总数量比需要的少25，不要搞反加减关系。
【解析】
解：本题的等量关系为：两种分配方式下的图书总数量相等。
① 每人分3本时，已分图书为$3x$本，加上剩余的20本，总图书数为：$3x + 20$
② 每人分4本时，给所有学生分满共需要$4x$本，还差25本，说明实际总图书数比$4x$少25，即总图书数为：$4x - 25$
因为总图书数相等，所以列方程为：$3x + 20 = 4x - 25$
因此选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
列一元一次方程，一元一次方程的应用，等量关系识别
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础典型题，解题的突破口是抓住题目中隐含的总量不变的等量关系，这类题型是方程实际应用的入门内容，需要熟练掌握列方程的逻辑。
【难度系数】
0.8
2.《孙子算经》记载:“今有木,不知长短。引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺。问:木长几何?”(尺、寸是长度单位,1尺=10寸)。意思是:现有一根长木,不知道其长短,用一根绳子去度量长木,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再度量长木,长木还剩余1尺。问:长木长多少?设长木长为x尺,则可列方程为 ()
A.$x+4.5=2x+1$
B.$x-4.5=2x-1$
C.$x+4.5=2(x-1)$
D.$x-4.5=2(x+1)$
A.$x+4.5=2x+1$
B.$x-4.5=2x-1$
C.$x+4.5=2(x-1)$
D.$x-4.5=2(x+1)$
答案
C
解析
【分析】
要解决这个列方程的问题，核心是抓住题目中的不变量：绳子的总长度。我们可以分两步分别用含x的式子表示出绳长，再根据绳长相等列出等式即可。首先先根据第一种量木的方式表示绳长，再根据对折量木的方式表示绳长，最后联立两个表达式就能得到方程。
【解析】
设长木长为x尺：
1. 根据“用绳子度量长木，绳子剩余4.5尺”，可得绳子的总长度 = 长木长度 + 剩余绳长，即绳长 = $x + 4.5$；
2. 根据“绳子对折后度量长木，长木剩余1尺”，可知对折后的绳子长度比长木短1尺，因此对折后绳长 = $x - 1$，那么绳子总长度是对折后长度的2倍，即绳长 = $2(x - 1)$；
3. 由于绳子总长度固定不变，因此两个表示绳长的式子相等，可得方程：$x + 4.5 = 2(x - 1)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系的确定
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查从实际问题中抽象出一元一次方程的能力，解题的关键是找准隐含的不变量（绳长），同时要注意对折后绳长与木长的数量关系，避免混淆多和少的对应逻辑。
【难度系数】
0.8
要解决这个列方程的问题，核心是抓住题目中的不变量：绳子的总长度。我们可以分两步分别用含x的式子表示出绳长，再根据绳长相等列出等式即可。首先先根据第一种量木的方式表示绳长，再根据对折量木的方式表示绳长，最后联立两个表达式就能得到方程。
【解析】
设长木长为x尺：
1. 根据“用绳子度量长木，绳子剩余4.5尺”，可得绳子的总长度 = 长木长度 + 剩余绳长，即绳长 = $x + 4.5$；
2. 根据“绳子对折后度量长木，长木剩余1尺”，可知对折后的绳子长度比长木短1尺，因此对折后绳长 = $x - 1$，那么绳子总长度是对折后长度的2倍，即绳长 = $2(x - 1)$；
3. 由于绳子总长度固定不变，因此两个表示绳长的式子相等，可得方程：$x + 4.5 = 2(x - 1)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系的确定
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查从实际问题中抽象出一元一次方程的能力，解题的关键是找准隐含的不变量（绳长），同时要注意对折后绳长与木长的数量关系，避免混淆多和少的对应逻辑。
【难度系数】
0.8
3. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托。折回索子却量竿，却比竿子短一托。”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺。设竿长为x尺，根据题意列一元一次方程，正确的是
（）
A.$\frac{1}{2}x +5 = x -5$
B.$\frac{1}{2}x -5 = x +5$
C.$\frac{1}{2}(x +5) = x -5$
D.$\frac{1}{2}(x -5) = x +5$
（）
A.$\frac{1}{2}x +5 = x -5$
B.$\frac{1}{2}x -5 = x +5$
C.$\frac{1}{2}(x +5) = x -5$
D.$\frac{1}{2}(x -5) = x +5$
答案
C
解析
【分析】
解决这类列一元一次方程的实际问题，核心是先梳理清楚各个量之间的等量关系。本题已经设竿长为x尺，我们先根据“绳索比竿长5尺”的条件表示出绳索的总长度，再结合“对折绳索量竿比竿短5尺”的条件建立等式，即可得到正确的方程。
【解析】
1. 已知竿长为x尺，根据“绳索比竿长5尺”，可得绳索的总长度为$(x+5)$尺。
2. 将绳索对半折后，对折后的绳索长度为原长的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}(x+5)$尺。
3. 根据“对折后量竿比竿短5尺”，可知对折后的绳索长度 = 竿长 - 5尺，代入对应量可得方程：$\frac{1}{2}(x+5) = x -5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用；列一元一次方程；等量关系梳理
【点评】
本题以古代数学问题为载体，考查从实际问题中提取等量关系列方程的能力，解题关键是准确表示出绳索原长和对折后的长度，理清各量的大小关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决这类列一元一次方程的实际问题，核心是先梳理清楚各个量之间的等量关系。本题已经设竿长为x尺，我们先根据“绳索比竿长5尺”的条件表示出绳索的总长度，再结合“对折绳索量竿比竿短5尺”的条件建立等式，即可得到正确的方程。
【解析】
1. 已知竿长为x尺，根据“绳索比竿长5尺”，可得绳索的总长度为$(x+5)$尺。
2. 将绳索对半折后，对折后的绳索长度为原长的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}(x+5)$尺。
3. 根据“对折后量竿比竿短5尺”，可知对折后的绳索长度 = 竿长 - 5尺，代入对应量可得方程：$\frac{1}{2}(x+5) = x -5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用；列一元一次方程；等量关系梳理
【点评】
本题以古代数学问题为载体，考查从实际问题中提取等量关系列方程的能力，解题关键是准确表示出绳索原长和对折后的长度，理清各量的大小关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗。今持粟三斛，得酒五斗。问：清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒。问：清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为 ()
A.$10x + 3(5 - x) = 30$
B.$3x + 10(5 - x) = 30$
C.$\frac{x}{10} + \frac{30 - x}{3} = 5$
D.$\frac{x}{3} + \frac{30 - x}{10} = 5$
A.$10x + 3(5 - x) = 30$
B.$3x + 10(5 - x) = 30$
C.$\frac{x}{10} + \frac{30 - x}{3} = 5$
D.$\frac{x}{3} + \frac{30 - x}{10} = 5$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先明确题中已给出的设元：清酒为x斗，第一步先表示出醑酒的数量，因为总共有5斗酒，所以醑酒为(5-x)斗；第二步找核心等量关系：买清酒消耗的谷子数+买醑酒消耗的谷子数=总谷子数30斗；第三步结合两种酒的单价，分别计算各自消耗的谷子数，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
已知设清酒有x斗，因为一共换了5斗酒，所以醑酒的数量为$(5-x)$斗。
根据题意，1斗清酒价值10斗谷子，所以x斗清酒需要消耗$10x$斗谷子；1斗醑酒价值3斗谷子，所以$(5-x)$斗醑酒需要消耗$3(5-x)$斗谷子。
又已知总共拿了30斗谷子换酒，因此可列方程：
$10x + 3(5 - x) = 30$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用；等量关系提取
【点评】
本题以我国古代数学名著为背景，结合传统文化考查方程建模能力，解题核心是找准总消耗谷子数等于两类酒分别消耗谷子数之和的等量关系，是典型的一元一次方程实际应用类基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题中已给出的设元：清酒为x斗，第一步先表示出醑酒的数量，因为总共有5斗酒，所以醑酒为(5-x)斗；第二步找核心等量关系：买清酒消耗的谷子数+买醑酒消耗的谷子数=总谷子数30斗；第三步结合两种酒的单价，分别计算各自消耗的谷子数，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
已知设清酒有x斗，因为一共换了5斗酒，所以醑酒的数量为$(5-x)$斗。
根据题意，1斗清酒价值10斗谷子，所以x斗清酒需要消耗$10x$斗谷子；1斗醑酒价值3斗谷子，所以$(5-x)$斗醑酒需要消耗$3(5-x)$斗谷子。
又已知总共拿了30斗谷子换酒，因此可列方程：
$10x + 3(5 - x) = 30$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用；等量关系提取
【点评】
本题以我国古代数学名著为背景，结合传统文化考查方程建模能力，解题核心是找准总消耗谷子数等于两类酒分别消耗谷子数之和的等量关系，是典型的一元一次方程实际应用类基础题。
【难度系数】
0.8
