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7. 有理数$a,b$在数轴上的表示如图所示，有以下结论：①$a+b＜0$；②$a-b＜0$；③$a＜|b|$；④$-a＞-b$；⑤$|a-b|=a-b$。其中正确的有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
B
解析
【分析】
解题第一步先从数轴提取信息：可以看出b在原点左侧是负数，a在原点右侧是正数，且b到原点的距离更远，即$|b|＞|a|$。接下来逐个验证5个结论：涉及加减法的用有理数加减运算法则判断，涉及绝对值的用绝对值的性质判断，涉及不等关系的结合不等式性质判断，最后统计正确结论的数量即可。
【解析】
由数轴可得：$b＜0＜a$，且$|b|＞|a|$，逐一分析结论：
1. 分析①：异号两数相加，和的符号与绝对值更大的数一致，$|b|＞|a|$且b为负，因此$a+b＜0$，①正确；
2. 分析②：$a-b=a+(-b)$，b为负则$-b$为正，正数加正数结果为正，即$a-b＞0$，因此②错误；
3. 分析③：a为正，因此$|a|=a$，结合$|b|＞|a|$可得$a＜|b|$，③正确；
4. 分析④：因为$a＞b$，不等式两边同时乘$-1$时不等号方向改变，可得$-a＜-b$，因此④错误；
5. 分析⑤：前面已推出$a-b＞0$，正数的绝对值是它本身，因此$|a-b|=a-b$，⑤正确。
综上，正确的结论为①③⑤，共3个。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用；有理数加减法；绝对值的性质
【点评】
本题是有理数章节的基础常考题，核心考查从数轴提取信息的能力，以及结合有理数运算规则、绝对值性质判断结论的能力，解题时要注意去绝对值、不等式变号的易错点。
【难度系数】
0.7
解题第一步先从数轴提取信息：可以看出b在原点左侧是负数，a在原点右侧是正数，且b到原点的距离更远，即$|b|＞|a|$。接下来逐个验证5个结论：涉及加减法的用有理数加减运算法则判断，涉及绝对值的用绝对值的性质判断，涉及不等关系的结合不等式性质判断，最后统计正确结论的数量即可。
【解析】
由数轴可得：$b＜0＜a$，且$|b|＞|a|$，逐一分析结论：
1. 分析①：异号两数相加，和的符号与绝对值更大的数一致，$|b|＞|a|$且b为负，因此$a+b＜0$，①正确；
2. 分析②：$a-b=a+(-b)$，b为负则$-b$为正，正数加正数结果为正，即$a-b＞0$，因此②错误；
3. 分析③：a为正，因此$|a|=a$，结合$|b|＞|a|$可得$a＜|b|$，③正确；
4. 分析④：因为$a＞b$，不等式两边同时乘$-1$时不等号方向改变，可得$-a＜-b$，因此④错误；
5. 分析⑤：前面已推出$a-b＞0$，正数的绝对值是它本身，因此$|a-b|=a-b$，⑤正确。
综上，正确的结论为①③⑤，共3个。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用；有理数加减法；绝对值的性质
【点评】
本题是有理数章节的基础常考题，核心考查从数轴提取信息的能力，以及结合有理数运算规则、绝对值性质判断结论的能力，解题时要注意去绝对值、不等式变号的易错点。
【难度系数】
0.7
8. 小明家购置了一辆续航为 350 km(能行驶的最大路程)的新能源纯电汽车,他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表(单位:km,以 40 km 为标准,超过部分记为“+”,不足部分记为“-”)。已知该汽车第三天行驶了 45 km,第六天行驶了 34 km。
(1)“■”处的数为 ,“●”处的数为 。
(2)已知小明家这款汽车在行驶结束时,若剩余电量不足续航的 15%,行车电脑就会发出充电提示。请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时,行车电脑会不会发出充电提示。
(1)“■”处的数为 ,“●”处的数为 。
(2)已知小明家这款汽车在行驶结束时,若剩余电量不足续航的 15%,行车电脑就会发出充电提示。请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时,行车电脑会不会发出充电提示。
答案
解：
(1) 由题意得，“■”处的数为 $45 - 40 = +5$，“●”处的数为 $34 - 40 = -6$。
故答案依次为：$\boldsymbol{+5}$；$\boldsymbol{-6}$。
(2) 计算7天行驶路程与标准量的总偏差：
$-6 + 2 + 5 - 3 + 8 - 6 + 7 = 7 \ (\mathrm{km})$
7天总共行驶的路程为：
$40 × 7 + 7 = 287 \ (\mathrm{km})$
续航的15%对应的路程为：
$350 × 15\% = 52.5 \ (\mathrm{km})$
第七天行驶结束后剩余可行驶路程为：
$350 - 287 = 63 \ (\mathrm{km})$
因为 $63 ＞ 52.5$，即剩余电量不小于续航的15%，
所以该汽车第七天行驶结束时，行车电脑不会发出充电提示。
(1) 由题意得，“■”处的数为 $45 - 40 = +5$，“●”处的数为 $34 - 40 = -6$。
故答案依次为：$\boldsymbol{+5}$；$\boldsymbol{-6}$。
(2) 计算7天行驶路程与标准量的总偏差：
$-6 + 2 + 5 - 3 + 8 - 6 + 7 = 7 \ (\mathrm{km})$
7天总共行驶的路程为：
$40 × 7 + 7 = 287 \ (\mathrm{km})$
续航的15%对应的路程为：
$350 × 15\% = 52.5 \ (\mathrm{km})$
第七天行驶结束后剩余可行驶路程为：
$350 - 287 = 63 \ (\mathrm{km})$
因为 $63 ＞ 52.5$，即剩余电量不小于续航的15%，
所以该汽车第七天行驶结束时，行车电脑不会发出充电提示。
解析
【分析】
解决第一问时，首先明确题中以40km为标准，超过部分记为正、不足部分记为负的规则，因此未知记录值=对应天数实际行驶路程-标准路程40km，代入数值计算即可。解决第二问时，先计算7天行驶路程和标准量的总偏差，结合7天的标准总路程求出7天实际总行驶路程；再计算续航15%对应的路程，用总续航减去总行驶路程得到剩余可行驶路程，将剩余路程和续航15%的路程对比，判断是否会发出提示。
【解析】
(1) 根据正负数的记录规则：
“■”为第三天的记录值：$45 - 40 = +5$
“●”为第六天的记录值：$34 - 40 = -6$
(2) ① 计算7天路程与标准量的总偏差：
$-6 + 2 + 5 - 3 + 8 - 6 + 7 = 7\ \mathrm{km}$
② 计算7天总行驶路程：
$40 × 7 + 7 = 287\ \mathrm{km}$
③ 计算续航15%对应的路程：
$350 × 15\% = 52.5\ \mathrm{km}$
④ 计算第七天结束后剩余可行驶路程：
$350 - 287 = 63\ \mathrm{km}$
⑤ 比较得$63 ＞ 52.5$，说明剩余可行驶路程大于续航的15%，因此不会发出充电提示。
【答案】
(1) $+5$；$-6$
(2) 该汽车第七天行驶结束时，行车电脑不会发出充电提示。
【知识点】
正负数的实际意义；有理数加减混合运算；百分数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际出题，考查正负数的应用和有理数的基础计算，解题的核心是理解正负数的基准意义，准确计算总行驶路程后做比较，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
解决第一问时，首先明确题中以40km为标准，超过部分记为正、不足部分记为负的规则，因此未知记录值=对应天数实际行驶路程-标准路程40km，代入数值计算即可。解决第二问时，先计算7天行驶路程和标准量的总偏差，结合7天的标准总路程求出7天实际总行驶路程；再计算续航15%对应的路程，用总续航减去总行驶路程得到剩余可行驶路程，将剩余路程和续航15%的路程对比，判断是否会发出提示。
【解析】
(1) 根据正负数的记录规则：
“■”为第三天的记录值：$45 - 40 = +5$
“●”为第六天的记录值：$34 - 40 = -6$
(2) ① 计算7天路程与标准量的总偏差：
$-6 + 2 + 5 - 3 + 8 - 6 + 7 = 7\ \mathrm{km}$
② 计算7天总行驶路程：
$40 × 7 + 7 = 287\ \mathrm{km}$
③ 计算续航15%对应的路程：
$350 × 15\% = 52.5\ \mathrm{km}$
④ 计算第七天结束后剩余可行驶路程：
$350 - 287 = 63\ \mathrm{km}$
⑤ 比较得$63 ＞ 52.5$，说明剩余可行驶路程大于续航的15%，因此不会发出充电提示。
【答案】
(1) $+5$；$-6$
(2) 该汽车第七天行驶结束时，行车电脑不会发出充电提示。
【知识点】
正负数的实际意义；有理数加减混合运算；百分数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际出题，考查正负数的应用和有理数的基础计算，解题的核心是理解正负数的基准意义，准确计算总行驶路程后做比较，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
9. 数轴是体现数形结合思想的一个有力工具,利用数轴常常可使一些复杂的问题变得容易解决。已知在数轴上,点A,B分别表示有理数a,b。
(1)利用有理数的减法,分别计算以上表格中点A,B之间的距离,并填在对应的空格内;
(2)请用数学式子表示出点A,B之间的距离d与数a,b之间的关系;
(3)请利用数轴和(2)中的结论解决下列问题:求所有到表示数4和-6的距离之和为10的整数的和。
(1)利用有理数的减法,分别计算以上表格中点A,B之间的距离,并填在对应的空格内;
(2)请用数学式子表示出点A,B之间的距离d与数a,b之间的关系;
(3)请利用数轴和(2)中的结论解决下列问题:求所有到表示数4和-6的距离之和为10的整数的和。
答案
解：
(1) 当a=4，b=2时，A、B两点距离为$4-2=2$；
当a=-4，b=0时，A、B两点距离为$0-(-4)=4$；
当a=-4，b=4时，A、B两点距离为$4-(-4)=8$；
当a=-4，b=-2时，A、B两点距离为$(-2)-(-4)=2$；
表格空格依次填入：2，4，8，2。
(2) 点A、B之间的距离$d$与数$a,b$的关系为：
$d=|a-b|$
(3) 数轴上表示4和-6的两点之间的距离为$|4-(-6)|=10$，
因此满足到表示数4和-6的距离之和为10的所有整数，是介于-6和4之间（包含-6和4）的全部整数，即$-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4$。
它们的和为：
$(-6)+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4=-11$
答：所有到表示数4和-6的距离之和为10的整数的和为-11。
(1) 当a=4，b=2时，A、B两点距离为$4-2=2$；
当a=-4，b=0时，A、B两点距离为$0-(-4)=4$；
当a=-4，b=4时，A、B两点距离为$4-(-4)=8$；
当a=-4，b=-2时，A、B两点距离为$(-2)-(-4)=2$；
表格空格依次填入：2，4，8，2。
(2) 点A、B之间的距离$d$与数$a,b$的关系为：
$d=|a-b|$
(3) 数轴上表示4和-6的两点之间的距离为$|4-(-6)|=10$，
因此满足到表示数4和-6的距离之和为10的所有整数，是介于-6和4之间（包含-6和4）的全部整数，即$-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4$。
它们的和为：
$(-6)+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4=-11$
答：所有到表示数4和-6的距离之和为10的整数的和为-11。
解析
【分析】
(1) 数轴上两点的距离为非负数，计算时可直接用较大的有理数减去较小的有理数，依次对表格中4组a、b的值作差即可得到对应距离。
(2) 为了不用区分a、b的大小关系，可借助绝对值表示非负的特性，总结得到两点距离与a、b的通用关系。
(3) 先计算4和-6两点本身的距离，发现该距离刚好等于10，因此满足距离和为10的点必然在这两个点之间（包含两个端点），找出范围内的所有整数后，利用互为相反数的和为0的规律简化求和即可。
【解析】
(1) 分别计算四组A、B两点的距离：
①当$a=4,b=2$时，距离为$4-2=2$；
②当$a=-4,b=0$时，距离为$0-(-4)=4$；
③当$a=-4,b=4$时，距离为$4-(-4)=8$；
④当$a=-4,b=-2$时，距离为$(-2)-(-4)=2$。
因此表格空格依次填入2、4、8、2。
(2) 结合距离的非负性，可得A、B两点距离$d$与$a,b$的关系为：$d=|a-b|$。
(3) 首先计算4和-6两点的距离：$|4-(-6)|=10$，因此所有到这两个点距离之和为10的整数，是介于-6和4之间（包含-6和4）的全部整数，即$-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4$。
对这些整数求和：
$\begin{split}&(-6)+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4\\=&(-6)+(-5)+[(-4)+4]+[(-3)+3]+[(-2)+2]+[(-1)+1]+0\\=&-6-5\\=&-11\end{split}$
【答案】
(1) 表格依次填：2，4，8，2；
(2) $d=|a-b|$；
(3) $-11$
【知识点】
数轴两点距离，绝对值的意义，有理数加减运算
【点评】
本题结合数轴考查从特殊到一般的规律探究能力，将数形结合思想融入有理数运算和绝对值性质的考查中，既巩固了基础运算能力，也锻炼了规律归纳和知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 数轴上两点的距离为非负数，计算时可直接用较大的有理数减去较小的有理数，依次对表格中4组a、b的值作差即可得到对应距离。
(2) 为了不用区分a、b的大小关系，可借助绝对值表示非负的特性，总结得到两点距离与a、b的通用关系。
(3) 先计算4和-6两点本身的距离，发现该距离刚好等于10，因此满足距离和为10的点必然在这两个点之间（包含两个端点），找出范围内的所有整数后，利用互为相反数的和为0的规律简化求和即可。
【解析】
(1) 分别计算四组A、B两点的距离：
①当$a=4,b=2$时，距离为$4-2=2$；
②当$a=-4,b=0$时，距离为$0-(-4)=4$；
③当$a=-4,b=4$时，距离为$4-(-4)=8$；
④当$a=-4,b=-2$时，距离为$(-2)-(-4)=2$。
因此表格空格依次填入2、4、8、2。
(2) 结合距离的非负性，可得A、B两点距离$d$与$a,b$的关系为：$d=|a-b|$。
(3) 首先计算4和-6两点的距离：$|4-(-6)|=10$，因此所有到这两个点距离之和为10的整数，是介于-6和4之间（包含-6和4）的全部整数，即$-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4$。
对这些整数求和：
$\begin{split}&(-6)+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3+4\\=&(-6)+(-5)+[(-4)+4]+[(-3)+3]+[(-2)+2]+[(-1)+1]+0\\=&-6-5\\=&-11\end{split}$
【答案】
(1) 表格依次填：2，4，8，2；
(2) $d=|a-b|$；
(3) $-11$
【知识点】
数轴两点距离，绝对值的意义，有理数加减运算
【点评】
本题结合数轴考查从特殊到一般的规律探究能力，将数形结合思想融入有理数运算和绝对值性质的考查中，既巩固了基础运算能力，也锻炼了规律归纳和知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
