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11.数学运算奇妙无穷,如在学习有理数时,有运算$2+2=2×2$,即两个有理数之和等于这两个有理数之积。请你在有理数中再找一组数$a$和$b(a≠b)$,使其满足$a+b=ab$。你找的一组是。
答案
$3$和$\frac{3}{2}$（答案不唯一）
解析
【分析】
要找到满足$a+b=ab$（$a≠b$，$a$、$b$为有理数）的一组数，我们可以先将其中一个字母当作已知数，给它赋一个不为1的任意有理数值，再把数值代入等式，通过解一元一次方程求出另一个字母的值，最后验证两个数不相等即可。
【解析】
根据题意，$a$、$b$需满足$a+b=ab$且$a≠b$，我们任选一个不为1的有理数作为$a$，例如取$a=3$，将$a=3$代入等式得：
$3 + b = 3b$
移项得：$3b - b = 3$
合并同类项得：$2b = 3$
系数化为1得：$b = \frac{3}{2}$
验证：$3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，$3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，满足$a+b=ab$，且$3≠\frac{3}{2}$，符合要求。
（也可选取其他不为1的$a$值求对应$b$，答案不唯一）
【答案】
$3$和$\frac{3}{2}$（答案不唯一）
【知识点】
有理数的运算；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于开放性题目，解题思路灵活，通过固定一个未知数求解另一个未知数的方法能快速得到结果，既考查了有理数的运算法则，也检验了一元一次方程解法的掌握程度。
【难度系数】
0.8
要找到满足$a+b=ab$（$a≠b$，$a$、$b$为有理数）的一组数，我们可以先将其中一个字母当作已知数，给它赋一个不为1的任意有理数值，再把数值代入等式，通过解一元一次方程求出另一个字母的值，最后验证两个数不相等即可。
【解析】
根据题意，$a$、$b$需满足$a+b=ab$且$a≠b$，我们任选一个不为1的有理数作为$a$，例如取$a=3$，将$a=3$代入等式得：
$3 + b = 3b$
移项得：$3b - b = 3$
合并同类项得：$2b = 3$
系数化为1得：$b = \frac{3}{2}$
验证：$3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，$3×\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，满足$a+b=ab$，且$3≠\frac{3}{2}$，符合要求。
（也可选取其他不为1的$a$值求对应$b$，答案不唯一）
【答案】
$3$和$\frac{3}{2}$（答案不唯一）
【知识点】
有理数的运算；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于开放性题目，解题思路灵活，通过固定一个未知数求解另一个未知数的方法能快速得到结果，既考查了有理数的运算法则，也检验了一元一次方程解法的掌握程度。
【难度系数】
0.8
12. 一天小红和带着小狗的小明分别从相距1 000 m的两地同时出发，相向而行。小明每分钟走45 m，小红每分钟走55 m，小狗每分钟跑150 m，在小明和小红相向而行的过程中，小狗不停地在两人间来回跑，当两人相遇时，小狗一共跑了 m的路。
答案
$\boldsymbol{1500}$
解析
【分析】
这道题若直接分段计算小狗每次往返两人之间的路程，计算过程会非常复杂。我们可以抓住不变量简化问题：小狗从两人出发到相遇全程在跑动，因此小狗跑的总时间恰好等于小明和小红的相遇时间。解题思路为：第一步先根据两人的总路程和速度和计算出相遇时间，第二步用小狗的速度乘总时间即可得到小狗跑的总路程。
【解析】
1. 计算小明和小红的速度和：
$45 + 55 = 100 \, \mathrm{m/min}$
2. 根据相遇问题公式计算两人相遇时间：
相遇时间$t = \mathrm{总路程} ÷ \mathrm{速度和} = \frac{1000}{100} = 10 \, \mathrm{min}$
3. 小狗跑的总时间与两人相遇时间相等，根据路程公式计算小狗总路程：
$s = v_{\mathrm{狗}} × t = 150 × 10 = 1500 \, \mathrm{m}$
【答案】
$\boldsymbol{1500}$
【知识点】
相遇问题计算，路程公式应用
【点评】
本题容易被小狗来回跑动的描述误导，陷入分段计算的误区。解题核心是抓住小狗跑的总时间等于两人相遇时间这一关键，可将复杂问题转化为基础行程问题求解，能有效锻炼转化问题、抓核心条件的思维能力。
【难度系数】
0.7
这道题若直接分段计算小狗每次往返两人之间的路程，计算过程会非常复杂。我们可以抓住不变量简化问题：小狗从两人出发到相遇全程在跑动，因此小狗跑的总时间恰好等于小明和小红的相遇时间。解题思路为：第一步先根据两人的总路程和速度和计算出相遇时间，第二步用小狗的速度乘总时间即可得到小狗跑的总路程。
【解析】
1. 计算小明和小红的速度和：
$45 + 55 = 100 \, \mathrm{m/min}$
2. 根据相遇问题公式计算两人相遇时间：
相遇时间$t = \mathrm{总路程} ÷ \mathrm{速度和} = \frac{1000}{100} = 10 \, \mathrm{min}$
3. 小狗跑的总时间与两人相遇时间相等，根据路程公式计算小狗总路程：
$s = v_{\mathrm{狗}} × t = 150 × 10 = 1500 \, \mathrm{m}$
【答案】
$\boldsymbol{1500}$
【知识点】
相遇问题计算，路程公式应用
【点评】
本题容易被小狗来回跑动的描述误导，陷入分段计算的误区。解题核心是抓住小狗跑的总时间等于两人相遇时间这一关键，可将复杂问题转化为基础行程问题求解，能有效锻炼转化问题、抓核心条件的思维能力。
【难度系数】
0.7
13. 有关于x的一元一次方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{2}-3$①,$2(3x+4)-5(x+1)=3$②。
(1)若方程①的解比方程②的解小4,求a的值;
(2)小虎同学在解方程①时,若右边的“-3”未乘公分母6,可求得方程的解为$x=2$,试求方程①的正确的解。
(1)若方程①的解比方程②的解小4,求a的值;
(2)小虎同学在解方程①时,若右边的“-3”未乘公分母6,可求得方程的解为$x=2$,试求方程①的正确的解。
答案
解：
(1) 先解方程②：
$2(3x+4)-5(x+1)=3$
去括号，得 $6x+8-5x-5=3$
合并同类项，得 $x+3=3$
解得 $x=0$
由题意，方程①的解为 $0-4=-4$
将$x=-4$代入方程①$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{2}-3$，得：
$\frac{2×(-4)-1}{3}=\frac{-4+a}{2}-3$
化简得 $-3=\frac{a-4}{2}-3$
整理得 $a-4=0$
解得 $a=4$
(2) 小虎去分母时-3未乘公分母6，得到的错误方程为：
$2(2x-1)=3(x+a)-3$
把$x=2$代入上述方程，得：
$2×(2×2 -1)=3×(2+a)-3$
即 $6=6+3a-3$
解得 $a=1$
将$a=1$代入原方程①，得：
$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+1}{2}-3$
去分母，得 $2(2x-1)=3(x+1)-18$
去括号，得 $4x-2=3x+3-18$
移项、合并同类项，得 $x=-13$
综上，(1) $a$的值为$4$；(2) 方程①的正确解为$x=-13$。
(1) 先解方程②：
$2(3x+4)-5(x+1)=3$
去括号，得 $6x+8-5x-5=3$
合并同类项，得 $x+3=3$
解得 $x=0$
由题意，方程①的解为 $0-4=-4$
将$x=-4$代入方程①$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{2}-3$，得：
$\frac{2×(-4)-1}{3}=\frac{-4+a}{2}-3$
化简得 $-3=\frac{a-4}{2}-3$
整理得 $a-4=0$
解得 $a=4$
(2) 小虎去分母时-3未乘公分母6，得到的错误方程为：
$2(2x-1)=3(x+a)-3$
把$x=2$代入上述方程，得：
$2×(2×2 -1)=3×(2+a)-3$
即 $6=6+3a-3$
解得 $a=1$
将$a=1$代入原方程①，得：
$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+1}{2}-3$
去分母，得 $2(2x-1)=3(x+1)-18$
去括号，得 $4x-2=3x+3-18$
移项、合并同类项，得 $x=-13$
综上，(1) $a$的值为$4$；(2) 方程①的正确解为$x=-13$。
解析
【分析】
(1) 第一问解题思路：首先求解方程②得到它的解，再根据“方程①的解比方程②的解小4”的条件，算出方程①的解，最后把①的解代入方程①，即可得到关于a的一元一次方程，求解就能得到a的值。
(2) 第二问解题思路：首先根据小虎“右边的-3未乘公分母6”的错误操作，写出他去分母后得到的错误方程，已知x=2是这个错误方程的正确解，将x=2代入错误方程先求出a的值，再把a的值代回原方程①，按正确步骤解方程就能得到正确的解。
【解析】
(1) 先解方程②：
$2(3x+4)-5(x+1)=3$
去括号，得 $6x+8-5x-5=3$
合并同类项，得 $x+3=3$
解得 $x=0$
由题意，方程①的解为 $0-4=-4$
将$x=-4$代入方程①$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{2}-3$，得：
$\frac{2×(-4)-1}{3}=\frac{-4+a}{2}-3$
化简得 $-3=\frac{a-4}{2}-3$
整理得 $a-4=0$
解得 $a=4$
(2) 小虎去分母时-3未乘公分母6，得到的错误方程为：
$2(2x-1)=3(x+a)-3$
把$x=2$代入上述方程，得：
$2×(2×2 -1)=3×(2+a)-3$
即 $6=6+3a-3$
解得 $a=1$
将$a=1$代入原方程①，得：
$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+1}{2}-3$
去分母，得 $2(2x-1)=3(x+1)-18$
去括号，得 $4x-2=3x+3-18$
移项、合并同类项，得 $x=-13$
【答案】
(1) $a=4$；(2) $x=-13$
【知识点】
一元一次方程的解法、方程的解的定义
【点评】
本题是一元一次方程章节的典型题型，既考查了基础的解方程运算能力，也考查了错解问题的处理逻辑，解题核心是明确任意解都满足其对应的方程，代入求值即可快速解决问题。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问解题思路：首先求解方程②得到它的解，再根据“方程①的解比方程②的解小4”的条件，算出方程①的解，最后把①的解代入方程①，即可得到关于a的一元一次方程，求解就能得到a的值。
(2) 第二问解题思路：首先根据小虎“右边的-3未乘公分母6”的错误操作，写出他去分母后得到的错误方程，已知x=2是这个错误方程的正确解，将x=2代入错误方程先求出a的值，再把a的值代回原方程①，按正确步骤解方程就能得到正确的解。
【解析】
(1) 先解方程②：
$2(3x+4)-5(x+1)=3$
去括号，得 $6x+8-5x-5=3$
合并同类项，得 $x+3=3$
解得 $x=0$
由题意，方程①的解为 $0-4=-4$
将$x=-4$代入方程①$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{2}-3$，得：
$\frac{2×(-4)-1}{3}=\frac{-4+a}{2}-3$
化简得 $-3=\frac{a-4}{2}-3$
整理得 $a-4=0$
解得 $a=4$
(2) 小虎去分母时-3未乘公分母6，得到的错误方程为：
$2(2x-1)=3(x+a)-3$
把$x=2$代入上述方程，得：
$2×(2×2 -1)=3×(2+a)-3$
即 $6=6+3a-3$
解得 $a=1$
将$a=1$代入原方程①，得：
$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+1}{2}-3$
去分母，得 $2(2x-1)=3(x+1)-18$
去括号，得 $4x-2=3x+3-18$
移项、合并同类项，得 $x=-13$
【答案】
(1) $a=4$；(2) $x=-13$
【知识点】
一元一次方程的解法、方程的解的定义
【点评】
本题是一元一次方程章节的典型题型，既考查了基础的解方程运算能力，也考查了错解问题的处理逻辑，解题核心是明确任意解都满足其对应的方程，代入求值即可快速解决问题。
【难度系数】
0.7
14. 请你当个出题人，对方程$4x+2(35-x)=94$中的数字或字母赋予实际意义，联系生活实际编写一道数学问题。
答案
解：示例：文具店里大笔记本每本售价4元，小笔记本每本售价2元，小明一共买了35本这两种笔记本，结账时总共支付了94元，请问小明购买了多少本大笔记本？
（答案不唯一，符合方程各量的实际意义即可）
（答案不唯一，符合方程各量的实际意义即可）
解析
【分析】
要编写符合该方程的实际问题，首先需要拆解方程中每一部分的代数意义：
1. 先确定未知量x的含义：x是待求的某个量，系数4是该量对应的单位数值；
2. 35是两类相关事物的总数量，因此(35-x)就是第二类事物的数量，系数2是第二类事物对应的单位数值；
3. 等号右侧的94是两类事物对应的总数值。
接下来只需结合生活中常见的“总价=单价×数量”“总工作量=效率×时间”等数量关系，将每个数字和字母对应到实际场景中的量，保证逻辑通顺、符合生活常识即可。
【解析】
我们选择常见的消费场景来对应各量：
第一步：设定x的实际意义：设小明购买大笔记本的数量为x本；
第二步：对应系数4：大笔记本单价为4元/本，因此4x表示买大笔记本的总花费；
第三步：对应总数量35：两种笔记本一共买了35本，因此(35-x)表示购买小笔记本的数量；
第四步：对应系数2：小笔记本单价为2元/本，因此2(35-x)表示买小笔记本的总花费；
第五步：对应总数值94：买两种笔记本一共花了94元。
将以上信息整理成通顺的数学问题即可，符合要求的问题不唯一，只要各量的对应关系匹配方程即可。
【答案】
示例：文具店里大笔记本每本售价4元，小笔记本每本售价2元，小明一共买了35本这两种笔记本，结账时总共支付了94元，请问小明购买了多少本大笔记本？（答案不唯一，符合方程各量的实际意义即可）
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 代数式的实际意义
【点评】
本题为开放性试题，核心考查对一元一次方程各部分代数意义的理解，需要将抽象的数学表达式与生活实际场景结合，作答时只要保证各数量的对应关系符合方程逻辑，表述通顺合理即可。
【难度系数】
0.7
要编写符合该方程的实际问题，首先需要拆解方程中每一部分的代数意义：
1. 先确定未知量x的含义：x是待求的某个量，系数4是该量对应的单位数值；
2. 35是两类相关事物的总数量，因此(35-x)就是第二类事物的数量，系数2是第二类事物对应的单位数值；
3. 等号右侧的94是两类事物对应的总数值。
接下来只需结合生活中常见的“总价=单价×数量”“总工作量=效率×时间”等数量关系，将每个数字和字母对应到实际场景中的量，保证逻辑通顺、符合生活常识即可。
【解析】
我们选择常见的消费场景来对应各量：
第一步：设定x的实际意义：设小明购买大笔记本的数量为x本；
第二步：对应系数4：大笔记本单价为4元/本，因此4x表示买大笔记本的总花费；
第三步：对应总数量35：两种笔记本一共买了35本，因此(35-x)表示购买小笔记本的数量；
第四步：对应系数2：小笔记本单价为2元/本，因此2(35-x)表示买小笔记本的总花费；
第五步：对应总数值94：买两种笔记本一共花了94元。
将以上信息整理成通顺的数学问题即可，符合要求的问题不唯一，只要各量的对应关系匹配方程即可。
【答案】
示例：文具店里大笔记本每本售价4元，小笔记本每本售价2元，小明一共买了35本这两种笔记本，结账时总共支付了94元，请问小明购买了多少本大笔记本？（答案不唯一，符合方程各量的实际意义即可）
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 代数式的实际意义
【点评】
本题为开放性试题，核心考查对一元一次方程各部分代数意义的理解，需要将抽象的数学表达式与生活实际场景结合，作答时只要保证各数量的对应关系符合方程逻辑，表述通顺合理即可。
【难度系数】
0.7
