15. 如图是一根可伸缩的渔竿,渔竿是用10节粗细不同的空心套管连接而成,闲置时渔竿可收缩,完全收缩后渔竿的长度即为第1节套管的长度(如图①所示)。使用时,可将渔竿的每一节套管都完全拉伸(如图②所示)。图③是这根渔竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图。已知第1节套管长50 cm,第2节套管长46 cm,依此类推,每一节套管都比前一节套管少4 cm。完全拉伸时,为了使相邻两节套管连接并固定,每相邻两节套管间均有相同长度的重叠,设其长度为x cm。

(1)请直接写出第5节套管的长度；
(2)当这根渔竿完全拉伸时,其长度为311 cm,求x的值。

解：
(1) 第5节套管的长度为34 cm。
(2) 第10节套管的长度为：$50 - 4×(10-1) = 14\ \mathrm{cm}$
10节套管的总长度为：$50+46+42+\dots+14 = 320\ \mathrm{cm}$
10节套管完全拉伸时，相邻两节套管的重叠部分共有9处，根据题意列方程：
$320 - 9x = 311$
移项得：$9x = 320 - 311$
合并同类项得：$9x = 9$
系数化为1得：$x = 1$
综上，$x$的值为1。

【分析】
(1) 已知每一节套管比前一节少4 cm，第1节长度为50 cm，可得第n节套管的长度为：$50 - 4×(n-1)$ cm，将n=5代入即可求出第5节套管的长度。
(2) 先根据上述规律求出第10节套管的长度，再计算10节套管不加重叠的总长度；10节套管连接时，相邻两节有1处重叠，因此共有9处重叠，每处重叠x cm，可得等量关系：10节套管总长度 - 9×重叠长度x = 完全拉伸后的总长度311 cm，列方程求解即可得到x的值。
【解析】
(1) 第n节套管的长度为$50 - 4×(n-1)$，当n=5时：
$50 - 4×(5-1) = 50 - 16 = 34\ \mathrm{cm}$
(2) 第一步：求第10节套管的长度，当n=10时：
$50 - 4×(10-1) = 50 - 36 = 14\ \mathrm{cm}$
第二步：计算10节套管无重叠的总长度，将10节长度相加：
$50 + 46 + 42 + \dots + 14 = (50+14)×10÷2 = 320\ \mathrm{cm}$
第三步：列方程求解，10节套管共有$10-1=9$处重叠，根据题意得：
$320 - 9x = 311$
移项得：$9x = 320 - 311$
合并同类项得：$9x = 9$
系数化为1得：$x = 1$
【答案】
(1) $\boxed{34\ \mathrm{cm}}$
(2) $\boxed{1}$
【知识点】
规律探究，一元一次方程的应用，有理数运算
【点评】
本题结合生活场景命题，既考查了探究数字规律的能力，也考查了列方程解决实际问题的能力，解题的核心是准确计算重叠部分的数量，找准等量关系建立方程。
【难度系数】
0.7