登录
1. 若$a^2 - 2a = -1013$，则$-2a^2 + 4a + 1$的值为（
A.$-2026$
B.$2026$
C.$-2027$
D.$2027$
D
）A.$-2026$
B.$2026$
C.$-2027$
D.$2027$
答案
1. D
解析
【分析】
本题不需要直接求解a的值，观察已知等式和待求代数式的结构可以发现，待求式中的-2a²+4a是已知式左边a²-2a的-2倍，因此可以采用整体代入法求解：首先将待求代数式变形为含有(a²-2a)的形式，再将已知的a²-2a的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
已知$a^2 - 2a = -1013$，
对待求式变形可得：
$-2a^2 + 4a + 1 = -2(a^2 - 2a) + 1$
将$a^2 - 2a = -1013$代入上式：
原式$=-2×(-1013) + 1 = 2026 + 1 = 2027$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值，整体代入思想，提取公因式
【点评】
本题是代数式求值类的常考基础题，解题核心是发现待求式与已知式之间的倍数关系，通过对代数式合理变形，运用整体代入法简化运算，无需计算未知数的值即可快速求出结果，重点考查学生的观察能力和整体运算意识。
【难度系数】
0.8
本题不需要直接求解a的值，观察已知等式和待求代数式的结构可以发现，待求式中的-2a²+4a是已知式左边a²-2a的-2倍，因此可以采用整体代入法求解：首先将待求代数式变形为含有(a²-2a)的形式，再将已知的a²-2a的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
已知$a^2 - 2a = -1013$，
对待求式变形可得：
$-2a^2 + 4a + 1 = -2(a^2 - 2a) + 1$
将$a^2 - 2a = -1013$代入上式：
原式$=-2×(-1013) + 1 = 2026 + 1 = 2027$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值，整体代入思想，提取公因式
【点评】
本题是代数式求值类的常考基础题，解题核心是发现待求式与已知式之间的倍数关系，通过对代数式合理变形，运用整体代入法简化运算，无需计算未知数的值即可快速求出结果，重点考查学生的观察能力和整体运算意识。
【难度系数】
0.8
2. 已知当$x=2$时，$5ax^{2n}+3bx^3 + c = 15$，那么当$x=-2$时，$5ax^{2n}-3bx^3 + c$等于（
A.14
B.15
C.16
D.无法确定
B
）A.14
B.15
C.16
D.无法确定
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先利用乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，分别判断x=2和x=-2时，$x^{2n}$、$x^3$的取值关系，再将x的两个取值分别代入对应代数式，通过整体代入的思想即可求出结果，无需计算a、b、c的具体数值。
【解析】
第一步：将x=2代入式子$5ax^{2n}+3bx^3 + c = 15$，可得：
$5a×2^{2n} + 3b×2^3 + c = 15$，即$5a·2^{2n} + 24b + c = 15$。
第二步：将x=-2代入式子$5ax^{2n}-3bx^3 + c$，结合乘方的性质计算：
∵2n为偶数，
∴$(-2)^{2n}=2^{2n}$；3为奇数，
∴$(-2)^3=-8$。
代入得：
$\begin{aligned}&5a×(-2)^{2n} -3b×(-2)^3 + c\\=&5a·2^{2n} -3b×(-8) + c\\=&5a·2^{2n} +24b + c\end{aligned}$
第三步：对比第一步得到的等式，可知$5a·2^{2n} +24b + c=15$，因此x=-2时原式的值为15。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值，乘方的符号规律，整体代入思想
【点评】
本题核心考查整体代入的求值方法，无需解出未知参数的具体值，熟练掌握奇次幂、偶次幂的符号性质是解题的关键，能有效锻炼学生的整体代换思维。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用乘方的符号规律：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，分别判断x=2和x=-2时，$x^{2n}$、$x^3$的取值关系，再将x的两个取值分别代入对应代数式，通过整体代入的思想即可求出结果，无需计算a、b、c的具体数值。
【解析】
第一步：将x=2代入式子$5ax^{2n}+3bx^3 + c = 15$，可得：
$5a×2^{2n} + 3b×2^3 + c = 15$，即$5a·2^{2n} + 24b + c = 15$。
第二步：将x=-2代入式子$5ax^{2n}-3bx^3 + c$，结合乘方的性质计算：
∵2n为偶数，
∴$(-2)^{2n}=2^{2n}$；3为奇数，
∴$(-2)^3=-8$。
代入得：
$\begin{aligned}&5a×(-2)^{2n} -3b×(-2)^3 + c\\=&5a·2^{2n} -3b×(-8) + c\\=&5a·2^{2n} +24b + c\end{aligned}$
第三步：对比第一步得到的等式，可知$5a·2^{2n} +24b + c=15$，因此x=-2时原式的值为15。
【答案】
B
【知识点】
代数式求值，乘方的符号规律，整体代入思想
【点评】
本题核心考查整体代入的求值方法，无需解出未知参数的具体值，熟练掌握奇次幂、偶次幂的符号性质是解题的关键，能有效锻炼学生的整体代换思维。
【难度系数】
0.8
3. 若$mn=m+3$，则$2mn+3m-5mn-10=$
-19
答案
3. -19
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件和所求代数式的特点，先对所求代数式进行合并同类项化简，再将已知的$mn=m+3$整体代入化简后的式子，计算时未知数$m$会相互抵消，即可求出最终的常数值。
【解析】
先对所求代数式合并同类项：
$2mn+3m-5mn-10$
$=(2mn-5mn)+3m-10$
$=-3mn+3m-10$
已知$mn=m+3$，将其代入上式：
$-3(m+3)+3m-10$
$=-3m-9+3m-10$
$=(-3m+3m)+(-9-10)$
$=0-19$
$=-19$
【答案】
$-19$
【知识点】
整式的加减运算；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题考查整式化简求值的基础题型，解题核心是先化简代数式再整体代入已知条件，无需单独求解$m$、$n$的数值即可得到结果，熟练掌握合并同类项和整体代入法是解题关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件和所求代数式的特点，先对所求代数式进行合并同类项化简，再将已知的$mn=m+3$整体代入化简后的式子，计算时未知数$m$会相互抵消，即可求出最终的常数值。
【解析】
先对所求代数式合并同类项：
$2mn+3m-5mn-10$
$=(2mn-5mn)+3m-10$
$=-3mn+3m-10$
已知$mn=m+3$，将其代入上式：
$-3(m+3)+3m-10$
$=-3m-9+3m-10$
$=(-3m+3m)+(-9-10)$
$=0-19$
$=-19$
【答案】
$-19$
【知识点】
整式的加减运算；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题考查整式化简求值的基础题型，解题核心是先化简代数式再整体代入已知条件，无需单独求解$m$、$n$的数值即可得到结果，熟练掌握合并同类项和整体代入法是解题关键。
【难度系数】
0.8
4. 把$(a+b)$看作一个整体，对下列式子进行化简：
$4(a+b)+2(a+b)-(a+b)=(4+2-1)·(a+b)=5(a+b)$.
整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用广泛.
(1)把$(x-y)^2$看作一个整体，求$2(x-y)^2 -5(x-y)^2 +(x-y)^2$的结果.
(2)①已知$a^2 +a=1$，则$2a^2 +2a +2026 =$
②已知$a+b=-3$，求$5(a+b)+7a+7b +11$的值.
(3)已知$a^2 -2ab=-5$，$ab+2b^2=-3$，求代数式$3a^2 -\frac{9}{2}ab +3b^2$的值.
$4(a+b)+2(a+b)-(a+b)=(4+2-1)·(a+b)=5(a+b)$.
整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用广泛.
(1)把$(x-y)^2$看作一个整体，求$2(x-y)^2 -5(x-y)^2 +(x-y)^2$的结果.
(2)①已知$a^2 +a=1$，则$2a^2 +2a +2026 =$
2 028
；②已知$a+b=-3$，求$5(a+b)+7a+7b +11$的值.
(3)已知$a^2 -2ab=-5$，$ab+2b^2=-3$，求代数式$3a^2 -\frac{9}{2}ab +3b^2$的值.
答案
4. 解：(1)原式=(2-5+1)(x-y)²=-2(x-y)².
(2)①2 028
②因为$a+b=-3$，
所以$5(a+b)+7a+7b+11$
$=5(a+b)+7(a+b)+11$
$=(5+7)(a+b)+11$
$=12×(-3)+11$
$=-25$.
(3)因为$a^2 -2ab=-5$，$ab+2b^2=-3$，
所以$3a^2 -\frac{9}{2}ab +3b^2$
$=\frac{1}{2}(6a^2 -9ab +6b^2)$
$=\frac{1}{2}[6(a^2 -2ab)+3(ab+2b^2)]$
$=\frac{1}{2}×[6×(-5)+3×(-3)]$
$=\frac{1}{2}×(-39)$
$=-\frac{39}{2}$.
(2)①2 028
②因为$a+b=-3$，
所以$5(a+b)+7a+7b+11$
$=5(a+b)+7(a+b)+11$
$=(5+7)(a+b)+11$
$=12×(-3)+11$
$=-25$.
(3)因为$a^2 -2ab=-5$，$ab+2b^2=-3$，
所以$3a^2 -\frac{9}{2}ab +3b^2$
$=\frac{1}{2}(6a^2 -9ab +6b^2)$
$=\frac{1}{2}[6(a^2 -2ab)+3(ab+2b^2)]$
$=\frac{1}{2}×[6×(-5)+3×(-3)]$
$=\frac{1}{2}×(-39)$
$=-\frac{39}{2}$.
解析
【分析】
本题核心考查整体思想在代数式运算中的应用，解题思路如下：
(1)将$(x-y)^2$当作一个同类项的整体，按照合并同类项规则，仅合并系数，整体部分保持不变即可求解；
(2)①先把$2a^2+2a$提取公因式转化为$2(a^2+a)$，再将$a^2+a=1$整体代入计算；②先把$7a+7b$变形为$7(a+b)$，再将$a+b=-3$作为整体代入求值；
(3)先将待求代数式变形，拆分出已知的$a^2-2ab$和$ab+2b^2$两个整体的倍数形式，再代入已知数值计算即可。
【解析】
(1)把$(x-y)^2$看作整体合并同类项：
原式$=(2-5+1)(x-y)^2=-2(x-y)^2$
(2)①已知$a^2+a=1$，对原式变形：
$2a^2+2a+2026=2(a^2+a)+2026$，代入得$2×1+2026=2028$
②已知$a+b=-3$，先对待求式变形：
$5(a+b)+7a+7b+11=5(a+b)+7(a+b)+11$
$=(5+7)(a+b)+11$
$=12×(-3)+11=-36+11=-25$
(3)已知$a^2-2ab=-5$，$ab+2b^2=-3$，先将待求式变形：
$3a^2-\frac{9}{2}ab+3b^2=\frac{1}{2}(6a^2-9ab+6b^2)$
$=\frac{1}{2}[6(a^2-2ab)+3(ab+2b^2)]$
代入已知数值：
原式$=\frac{1}{2}×[6×(-5)+3×(-3)]=\frac{1}{2}×(-30-9)=\frac{1}{2}×(-39)=-\frac{39}{2}$
【答案】
(1)$-2(x-y)^2$；(2)①$\boxed{2028}$；②$\boxed{-25}$；(3)$\boxed{-\dfrac{39}{2}}$
【知识点】
整体思想，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题重点考察整体思想在代数式化简求值中的应用，解题核心是准确识别或构造出题目中的整体量，通过提公因式、拆分变形等方式将待求式转化为含已知整体的形式，再代入计算即可，是对代数式运算能力和思想方法应用能力的基础考察。
【难度系数】
0.7
本题核心考查整体思想在代数式运算中的应用，解题思路如下：
(1)将$(x-y)^2$当作一个同类项的整体，按照合并同类项规则，仅合并系数，整体部分保持不变即可求解；
(2)①先把$2a^2+2a$提取公因式转化为$2(a^2+a)$，再将$a^2+a=1$整体代入计算；②先把$7a+7b$变形为$7(a+b)$，再将$a+b=-3$作为整体代入求值；
(3)先将待求代数式变形，拆分出已知的$a^2-2ab$和$ab+2b^2$两个整体的倍数形式，再代入已知数值计算即可。
【解析】
(1)把$(x-y)^2$看作整体合并同类项：
原式$=(2-5+1)(x-y)^2=-2(x-y)^2$
(2)①已知$a^2+a=1$，对原式变形：
$2a^2+2a+2026=2(a^2+a)+2026$，代入得$2×1+2026=2028$
②已知$a+b=-3$，先对待求式变形：
$5(a+b)+7a+7b+11=5(a+b)+7(a+b)+11$
$=(5+7)(a+b)+11$
$=12×(-3)+11=-36+11=-25$
(3)已知$a^2-2ab=-5$，$ab+2b^2=-3$，先将待求式变形：
$3a^2-\frac{9}{2}ab+3b^2=\frac{1}{2}(6a^2-9ab+6b^2)$
$=\frac{1}{2}[6(a^2-2ab)+3(ab+2b^2)]$
代入已知数值：
原式$=\frac{1}{2}×[6×(-5)+3×(-3)]=\frac{1}{2}×(-30-9)=\frac{1}{2}×(-39)=-\frac{39}{2}$
【答案】
(1)$-2(x-y)^2$；(2)①$\boxed{2028}$；②$\boxed{-25}$；(3)$\boxed{-\dfrac{39}{2}}$
【知识点】
整体思想，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题重点考察整体思想在代数式化简求值中的应用，解题核心是准确识别或构造出题目中的整体量，通过提公因式、拆分变形等方式将待求式转化为含已知整体的形式，再代入计算即可，是对代数式运算能力和思想方法应用能力的基础考察。
【难度系数】
0.7
5. 如图，下列各正方形中的四个数具有相同的规律，根据规律可知，x的值为（
A.145
B.153
C.179
D.189
C
）A.145
B.153
C.179
D.189
答案
5. C
解析
【分析】
解决本题先分步观察各位置数字的规律：首先看同一位置的数的变化规律，分别推导左上角、左下角、右上角的数和序号的关系，求出a、b的值；再找同一正方形内四个数的运算规律，最后代入计算x的值。
1. 观察左上角的数：第1个正方形是1，第2个是2，第3个是3，可知第n个正方形的左上角数a等于序号n；
2. 观察左下角的数：第1个是2，第2个是3，第3个是4，可知左下角数b比左上角数大1，即b=a+1；
3. 观察右上角的数：第1个是5，第2个是7，第3个是9，每次增加2，可得右上角数=2a+3，结合已知的右上角数19即可求出a；
4. 观察右下角的数：对比前三个正方形的四个数，推导右下角数和另外三个数的运算关系，代入数值计算即可。
【解析】
第一步：求a的值
根据右上角数的规律：$2a+3=19$
解得：$a=(19-3)÷2=8$
第二步：求b的值
根据左下角数和左上角数的关系：$b=a+1=8+1=9$
第三步：推导右下角数的运算规律
观察前三个正方形：
第1个：$2×5 +1=11$
第2个：$3×7 +2=23$
第3个：$4×9 +3=39$
可得规律：$\mathrm{右下角数}=\mathrm{右上角数}×\mathrm{左下角数}+\mathrm{左上角数}$
第四步：计算x的值
$x=19×9 +8=171+8=179$
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，重点考查观察归纳能力，解题核心是先找同位置数字的变化规律，再找不同位置数字的运算关系，熟练掌握后能快速求解同类题型。
【难度系数】
0.65
解决本题先分步观察各位置数字的规律：首先看同一位置的数的变化规律，分别推导左上角、左下角、右上角的数和序号的关系，求出a、b的值；再找同一正方形内四个数的运算规律，最后代入计算x的值。
1. 观察左上角的数：第1个正方形是1，第2个是2，第3个是3，可知第n个正方形的左上角数a等于序号n；
2. 观察左下角的数：第1个是2，第2个是3，第3个是4，可知左下角数b比左上角数大1，即b=a+1；
3. 观察右上角的数：第1个是5，第2个是7，第3个是9，每次增加2，可得右上角数=2a+3，结合已知的右上角数19即可求出a；
4. 观察右下角的数：对比前三个正方形的四个数，推导右下角数和另外三个数的运算关系，代入数值计算即可。
【解析】
第一步：求a的值
根据右上角数的规律：$2a+3=19$
解得：$a=(19-3)÷2=8$
第二步：求b的值
根据左下角数和左上角数的关系：$b=a+1=8+1=9$
第三步：推导右下角数的运算规律
观察前三个正方形：
第1个：$2×5 +1=11$
第2个：$3×7 +2=23$
第3个：$4×9 +3=39$
可得规律：$\mathrm{右下角数}=\mathrm{右上角数}×\mathrm{左下角数}+\mathrm{左上角数}$
第四步：计算x的值
$x=19×9 +8=171+8=179$
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，重点考查观察归纳能力，解题核心是先找同位置数字的变化规律，再找不同位置数字的运算关系，熟练掌握后能快速求解同类题型。
【难度系数】
0.65
6. 善于思考的小聪对“十位数字相同、个位数字之和为10的两个两位数相乘”进行了深入的探究，得到了下列速算方法：
十位数字相同、个位数字之和为10的两个两位数相乘，将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（若数位不足两位，则用零补齐），比如47×43，它们乘积的前两位是4与(4+1)的积，即20，它们乘积的后两位是7与3的积，即21，所以47×43=2021. 又如21×29，2×(2+1)=6，不足两位，就将6写在百位，1×9=9，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以21×29=609.
(1)请用上述材料中的方法计算：74×76 =
(2)请你写出一个具有类似结构特征的两个两位数的乘法：
(3)设其中一个因数的十位数字为a，个位数字为b(1≤a≤9，1≤b≤9，a，b都是正整数)，则这两个因数分别表示为
十位数字相同、个位数字之和为10的两个两位数相乘，将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（若数位不足两位，则用零补齐），比如47×43，它们乘积的前两位是4与(4+1)的积，即20，它们乘积的后两位是7与3的积，即21，所以47×43=2021. 又如21×29，2×(2+1)=6，不足两位，就将6写在百位，1×9=9，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以21×29=609.
(1)请用上述材料中的方法计算：74×76 =
5 624
；(2)请你写出一个具有类似结构特征的两个两位数的乘法：
56×54=3 024(答案不唯一)
；(3)设其中一个因数的十位数字为a，个位数字为b(1≤a≤9，1≤b≤9，a，b都是正整数)，则这两个因数分别表示为
10a+b
和 10a+10−b
.(均用含a，b的代数式表示)答案
6. (1)5 624
(2)56×54=3 024(答案不唯一)
(3)10a+b 10a+10−b
(2)56×54=3 024(答案不唯一)
(3)10a+b 10a+10−b
解析
【分析】
解题前先明确题干给出的速算规则的适用条件：两个两位数，十位数字相同，个位数字之和为10；计算规则：结果高位部分为十位数字×(十位数字+1)，结果后两位为两个个位数字的乘积，数位不足两位补0。
(1) 先判断74×76是否符合规则：十位都是7，个位4+6=10，满足条件，直接套规则计算即可。
(2) 只要写出满足“十位相同，个位和为10”的两个两位数的乘法算式即可，可自行验证是否符合速算规则。
(3) 回忆两位数的表示方法：10×十位数字+个位数字，已知一个因数个位为b，另一个因数个位与b的和为10，即个位为10−b，两个因数十位都是a，据此写出代数式即可。
【解析】
(1) 74和76的十位数字都是7，个位数字4+6=10，符合速算条件：
前半部分：$7×(7+1)=7×8=56$，
后半部分：$4×6=24$，
组合得$74×76=5624$。
(2) 示例：选十位数字为5，个位数字分别为6和4（$6+4=10$），得到算式$56×54$，验证：前半部分$5×(5+1)=30$，后半部分$6×4=24$，结果为3024，符合规则，答案不唯一。
(3) 第一个因数十位为a，个位为b，所以表示为$10a + b$；
另一个因数十位同样为a，个位与b的和为10，即个位为$10-b$，所以表示为$10a + (10-b) = 10a +10-b$。
【答案】
(1)$5624$
(2)$56×54=3024$（答案不唯一）
(3)$10a+b$；$10a+10-b$
【知识点】
新定义运算，有理数乘法，列代数式
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心是准确理解题干给出的运算规则，结合两位数的表示方法即可求解，解题时要注意仔细审题，避免看错规则导致计算错误。
【难度系数】
0.8
解题前先明确题干给出的速算规则的适用条件：两个两位数，十位数字相同，个位数字之和为10；计算规则：结果高位部分为十位数字×(十位数字+1)，结果后两位为两个个位数字的乘积，数位不足两位补0。
(1) 先判断74×76是否符合规则：十位都是7，个位4+6=10，满足条件，直接套规则计算即可。
(2) 只要写出满足“十位相同，个位和为10”的两个两位数的乘法算式即可，可自行验证是否符合速算规则。
(3) 回忆两位数的表示方法：10×十位数字+个位数字，已知一个因数个位为b，另一个因数个位与b的和为10，即个位为10−b，两个因数十位都是a，据此写出代数式即可。
【解析】
(1) 74和76的十位数字都是7，个位数字4+6=10，符合速算条件：
前半部分：$7×(7+1)=7×8=56$，
后半部分：$4×6=24$，
组合得$74×76=5624$。
(2) 示例：选十位数字为5，个位数字分别为6和4（$6+4=10$），得到算式$56×54$，验证：前半部分$5×(5+1)=30$，后半部分$6×4=24$，结果为3024，符合规则，答案不唯一。
(3) 第一个因数十位为a，个位为b，所以表示为$10a + b$；
另一个因数十位同样为a，个位与b的和为10，即个位为$10-b$，所以表示为$10a + (10-b) = 10a +10-b$。
【答案】
(1)$5624$
(2)$56×54=3024$（答案不唯一）
(3)$10a+b$；$10a+10-b$
【知识点】
新定义运算，有理数乘法，列代数式
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心是准确理解题干给出的运算规则，结合两位数的表示方法即可求解，解题时要注意仔细审题，避免看错规则导致计算错误。
【难度系数】
0.8
