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如图(1)是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题：
(1)阴影方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？请证明你的结论.
(2)如图(2)，如果带阴影的框里的数是4个，请直接写出你发现的结论.
(1)阴影方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？请证明你的结论.
(2)如图(2)，如果带阴影的框里的数是4个，请直接写出你发现的结论.
答案
(1) 方框中9个数的和为方框正中心的数的9倍，证明略。
(2) 框中对角两数之和相等。
(2) 框中对角两数之和相等。
解析
【分析】
解决第一问时，先计算图中已知9个阴影数的和，和中间数对比得到初步结论，再根据月历“左右相邻数差1、上下相邻数差7”的规律，设正中心数为未知数，把其余8个数用含未知数的代数式表示，求和后即可验证结论的普遍性。解决第二问时，计算4个阴影数的对角和，对比即可总结出规律。
【解析】
(1) 先计算图(1)阴影9个数的和：
$3+4+5+10+11+12+17+18+19=99$
正中心数为11，$99÷11=9$，初步判断9个数的和是中心数的9倍。
证明：设方框正中心的数为$x$，根据月历数字排列规律，其余8个数可表示为：
第一行：$x-8$，$x-7$，$x-6$
第二行：$x-1$，$x+1$
第三行：$x+6$，$x+7$，$x+8$
9个数的和为：
$\begin{aligned}&(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)\\=&x-8+x-7+x-6+x-1+x+x+1+x+6+x+7+x+8\\=&9x\end{aligned}$
因此9个数的和是正中心数的9倍，结论成立。
(2) 计算图(2)阴影4个数的对角和：$9+16=25$，$10+15=25$，可得带阴影的框中对角两数之和相等。
【答案】
(1) 方框中9个数的和为方框正中心的数的9倍；
(2) 框中对角两数之和相等。
【知识点】
日历数字规律，整式加减运算，规律探究
【点评】
本题结合月历场景考查数字规律探究，需要先从特殊例子猜想规律，再用代数式推导验证规律的普遍性，能有效锻炼观察归纳能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解决第一问时，先计算图中已知9个阴影数的和，和中间数对比得到初步结论，再根据月历“左右相邻数差1、上下相邻数差7”的规律，设正中心数为未知数，把其余8个数用含未知数的代数式表示，求和后即可验证结论的普遍性。解决第二问时，计算4个阴影数的对角和，对比即可总结出规律。
【解析】
(1) 先计算图(1)阴影9个数的和：
$3+4+5+10+11+12+17+18+19=99$
正中心数为11，$99÷11=9$，初步判断9个数的和是中心数的9倍。
证明：设方框正中心的数为$x$，根据月历数字排列规律，其余8个数可表示为：
第一行：$x-8$，$x-7$，$x-6$
第二行：$x-1$，$x+1$
第三行：$x+6$，$x+7$，$x+8$
9个数的和为：
$\begin{aligned}&(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)\\=&x-8+x-7+x-6+x-1+x+x+1+x+6+x+7+x+8\\=&9x\end{aligned}$
因此9个数的和是正中心数的9倍，结论成立。
(2) 计算图(2)阴影4个数的对角和：$9+16=25$，$10+15=25$，可得带阴影的框中对角两数之和相等。
【答案】
(1) 方框中9个数的和为方框正中心的数的9倍；
(2) 框中对角两数之和相等。
【知识点】
日历数字规律，整式加减运算，规律探究
【点评】
本题结合月历场景考查数字规律探究，需要先从特殊例子猜想规律，再用代数式推导验证规律的普遍性，能有效锻炼观察归纳能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
乙：我学会从推理的角度进行探究性学习.
第一步：思考如何简洁地表示一个自然数，比如，两位数$\overline{ab}=10a + b$，三位数$\overline{abc}=100a + 10b + c$，….
第二步：思考这些自然数需要满足什么条件才可以被3整除. 先看两位数$\overline{ab}=10a + b$的情形，要使一个两位数能被3整除，先凑出一部分可以被3整除的数，即从$\overline{ab}=10a + b$中先凑出能被3整除的数$9a$，根据$\overline{ab}=10a + b=9a + a + b$，可知$a + b$一定要被3整除. 类似地，三位数、四位数……也用同样的方法进行思考，最后总结出自然数被3整除的规律.
(1)根据甲或乙的学习方法，请你探究“自然数能被11整除的规律”，写出探究过程和探究结果；
(2)若自然数$\overline{20270x13}$能被11整除，求$x$的值.
第一步：思考如何简洁地表示一个自然数，比如，两位数$\overline{ab}=10a + b$，三位数$\overline{abc}=100a + 10b + c$，….
第二步：思考这些自然数需要满足什么条件才可以被3整除. 先看两位数$\overline{ab}=10a + b$的情形，要使一个两位数能被3整除，先凑出一部分可以被3整除的数，即从$\overline{ab}=10a + b$中先凑出能被3整除的数$9a$，根据$\overline{ab}=10a + b=9a + a + b$，可知$a + b$一定要被3整除. 类似地，三位数、四位数……也用同样的方法进行思考，最后总结出自然数被3整除的规律.
(1)根据甲或乙的学习方法，请你探究“自然数能被11整除的规律”，写出探究过程和探究结果；
(2)若自然数$\overline{20270x13}$能被11整除，求$x$的值.
答案
(1) 根据甲的方法进行探究：
举例、观察：能被11整除的数有11，22，33，44，121，132，143，…
猜想：如果一个自然数(个位看作第1位，十位看作第2位，以此类推)，奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个自然数就能被11整除。
验证：设两位数$\overline{ab}=10a + b=11a - a + b$，因为11a能被11整除，所以只需要$-a + b$能被11整除，即$-a + b=0$或11的倍数，而a是大于0且小于10的自然数，b是大于等于0且小于10的自然数，故当$-a + b=0$，即两位数的个位数字和十位数字相等时，这个两位数能被11整除；
设三位数$\overline{abc}=100a + 10b + c$
$=99a + a + 11b - b + c$
$=99a + 11b + a - b + c$，
则只需要$a - b + c$能被11整除，即可得$\overline{abc}$能被11整除；
设四位数$\overline{abcd}=1000a + 100b + 10c + d$
$=1001a - a + 99b + b + 11c - c + d$
$=1001a + 99b + 11c - a + b - c + d$，
则只需要$-a + b - c + d$能被11整除，即可得$\overline{abcd}$能被11整除；
以此类推，超过四位的自然数也可用同样的方法进行证明。
由上述的探究过程可以得出结论：如果一个自然数(个位看作第1位，十位看作第2位，以此类推)，奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个自然数就能被11整除。(答案不唯一)
(2) 自然数$\overline{20270x13}$的奇数位数字之和为$3 + x + 7 + 0 = x + 10$，自然数$\overline{20270x13}$的偶数位数字之和为$1 + 0 + 2 + 2 = 5$。
若自然数$\overline{20270x13}$能被11整除，则根据(1)中规律可得：$x + 10 - 5$能被11整除，即$x + 5$能被11整除。
因为x是大于等于0且小于10的自然数，所以$x + 5 = 11$，解得$x = 6$。
举例、观察：能被11整除的数有11，22，33，44，121，132，143，…
猜想：如果一个自然数(个位看作第1位，十位看作第2位，以此类推)，奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个自然数就能被11整除。
验证：设两位数$\overline{ab}=10a + b=11a - a + b$，因为11a能被11整除，所以只需要$-a + b$能被11整除，即$-a + b=0$或11的倍数，而a是大于0且小于10的自然数，b是大于等于0且小于10的自然数，故当$-a + b=0$，即两位数的个位数字和十位数字相等时，这个两位数能被11整除；
设三位数$\overline{abc}=100a + 10b + c$
$=99a + a + 11b - b + c$
$=99a + 11b + a - b + c$，
则只需要$a - b + c$能被11整除，即可得$\overline{abc}$能被11整除；
设四位数$\overline{abcd}=1000a + 100b + 10c + d$
$=1001a - a + 99b + b + 11c - c + d$
$=1001a + 99b + 11c - a + b - c + d$，
则只需要$-a + b - c + d$能被11整除，即可得$\overline{abcd}$能被11整除；
以此类推，超过四位的自然数也可用同样的方法进行证明。
由上述的探究过程可以得出结论：如果一个自然数(个位看作第1位，十位看作第2位，以此类推)，奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个自然数就能被11整除。(答案不唯一)
(2) 自然数$\overline{20270x13}$的奇数位数字之和为$3 + x + 7 + 0 = x + 10$，自然数$\overline{20270x13}$的偶数位数字之和为$1 + 0 + 2 + 2 = 5$。
若自然数$\overline{20270x13}$能被11整除，则根据(1)中规律可得：$x + 10 - 5$能被11整除，即$x + 5$能被11整除。
因为x是大于等于0且小于10的自然数，所以$x + 5 = 11$，解得$x = 6$。
解析
【分析】
(1) 探究被11整除的规律可参考题目中探究被3整除的思路：先将多位数按数位拆分，把每个数位的系数拆为11的倍数与±1的和，其中11的倍数部分天然能被11整除，剩余部分对应奇偶位数字和的差，只要这个差能被11整除，原数就能被11整除，我们可以从两位数、三位数、四位数逐步推导，再推广到所有自然数。
(2) 第二问直接应用第一问得出的规律，分别计算目标数的奇数位、偶数位数字之和，令二者的差为11的倍数，结合x是0~9的一位数的限制，即可求出x的值。
【解析】
(1) 探究过程如下：
① 两位数$\overline{ab}=10a + b=11a - a + b$，其中$11a$能被11整除，因此只需$-a + b$能被11整除，该两位数就能被11整除；
② 三位数$\overline{abc}=100a + 10b + c=99a + 11b + (a - b + c)$，其中$99a、11b$都是11的倍数，因此只需$a - b + c$能被11整除，该三位数就能被11整除；
③ 四位数$\overline{abcd}=1000a + 100b + 10c + d=1001a + 99b + 11c + (-a + b - c + d)$，其中$1001a、99b、11c$都是11的倍数，因此只需$-a + b - c + d$能被11整除，该四位数就能被11整除。
以此类推可推广到所有自然数。
探究结果：把自然数的个位记为第1位，十位记为第2位，依次数位递增，若该数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，则这个自然数能被11整除。
(2) 自然数$\overline{20270x13}$的奇数位数字之和为$3 + x + 7 + 0 = x + 10$，偶数位数字之和为$1 + 0 + 2 + 2 = 5$。
根据11的整除规律，二者的差需能被11整除，即$x + 10 - 5 = x + 5$是11的倍数。
因为x是0~9的自然数，所以$x + 5$的取值范围是5~14，范围内仅11是11的倍数，因此$x + 5 = 11$，解得$x=6$。
【答案】
(1) 规律：一个自然数的奇数位（从个位起计数）上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，这个自然数就能被11整除，探究过程见解析；
(2) $x=6$
【知识点】
11的整除特征，整式的拆分，一元一次方程应用
【点评】
本题是典型的探究类题型，按照从特殊到一般的逻辑引导学生总结整除规律，再应用规律解决具体问题，能够有效锻炼学生的逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 探究被11整除的规律可参考题目中探究被3整除的思路：先将多位数按数位拆分，把每个数位的系数拆为11的倍数与±1的和，其中11的倍数部分天然能被11整除，剩余部分对应奇偶位数字和的差，只要这个差能被11整除，原数就能被11整除，我们可以从两位数、三位数、四位数逐步推导，再推广到所有自然数。
(2) 第二问直接应用第一问得出的规律，分别计算目标数的奇数位、偶数位数字之和，令二者的差为11的倍数，结合x是0~9的一位数的限制，即可求出x的值。
【解析】
(1) 探究过程如下：
① 两位数$\overline{ab}=10a + b=11a - a + b$，其中$11a$能被11整除，因此只需$-a + b$能被11整除，该两位数就能被11整除；
② 三位数$\overline{abc}=100a + 10b + c=99a + 11b + (a - b + c)$，其中$99a、11b$都是11的倍数，因此只需$a - b + c$能被11整除，该三位数就能被11整除；
③ 四位数$\overline{abcd}=1000a + 100b + 10c + d=1001a + 99b + 11c + (-a + b - c + d)$，其中$1001a、99b、11c$都是11的倍数，因此只需$-a + b - c + d$能被11整除，该四位数就能被11整除。
以此类推可推广到所有自然数。
探究结果：把自然数的个位记为第1位，十位记为第2位，依次数位递增，若该数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，则这个自然数能被11整除。
(2) 自然数$\overline{20270x13}$的奇数位数字之和为$3 + x + 7 + 0 = x + 10$，偶数位数字之和为$1 + 0 + 2 + 2 = 5$。
根据11的整除规律，二者的差需能被11整除，即$x + 10 - 5 = x + 5$是11的倍数。
因为x是0~9的自然数，所以$x + 5$的取值范围是5~14，范围内仅11是11的倍数，因此$x + 5 = 11$，解得$x=6$。
【答案】
(1) 规律：一个自然数的奇数位（从个位起计数）上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，这个自然数就能被11整除，探究过程见解析；
(2) $x=6$
【知识点】
11的整除特征，整式的拆分，一元一次方程应用
【点评】
本题是典型的探究类题型，按照从特殊到一般的逻辑引导学生总结整除规律，再应用规律解决具体问题，能够有效锻炼学生的逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
