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计算:
(1)$(-1)^{10}$;
(2)$(-6)^3$;
(3)$(-\dfrac{3}{2})^3$;
(4)$0.1^5$.
(1)$(-1)^{10}$;
(2)$(-6)^3$;
(3)$(-\dfrac{3}{2})^3$;
(4)$0.1^5$.
答案
解：(1)$(-1)^{10}=1$.
(2)$(-6)^3=-216$.
(3)$(-\dfrac{3}{2})^3=-\dfrac{27}{8}$.
(4)$0.1^5=0.000\ 01$.
(2)$(-6)^3=-216$.
(3)$(-\dfrac{3}{2})^3=-\dfrac{27}{8}$.
(4)$0.1^5=0.000\ 01$.
解析
【分析】
本题考查有理数的乘方运算，解题遵循“先定符号，再算绝对值”的思路：首先回忆乘方符号法则：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，正数的任何次幂都为正；再根据乘方的定义（求n个相同因数乘积的运算）计算绝对值的乘方结果，结合符号即可得到最终答案。
【解析】
(1) 计算$(-1)^{10}$：指数10是偶数，负数的偶次幂为正，再计算绝对值的乘方$1^{10}=1$，因此$(-1)^{10}=1$。
(2) 计算$(-6)^3$：指数3是奇数，负数的奇次幂为负，再计算绝对值的乘方$6^3=6×6×6=216$，因此$(-6)^3=-216$。
(3) 计算$(-\dfrac{3}{2})^3$：指数3是奇数，负数的奇次幂为负，再计算绝对值的乘方$(\dfrac{3}{2})^3=\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{2}=\dfrac{27}{8}$，因此$(-\dfrac{3}{2})^3=-\dfrac{27}{8}$。
(4) 计算$0.1^5$：0.1是正数，乘方结果为正，根据乘方定义计算$0.1^5=0.1×0.1×0.1×0.1×0.1=0.00001$。
【答案】
(1)$(-1)^{10}=1$；(2)$(-6)^3=-216$；(3)$(-\dfrac{3}{2})^3=-\dfrac{27}{8}$；(4)$0.1^5=0.00001$
【知识点】
有理数乘方运算，乘方符号规则，分数小数乘方计算
【点评】
本题属于乘方基础运算题，重点考查乘方符号规则的应用，计算时先确定结果符号再计算绝对值的乘方，可有效减少符号类错误。
【难度系数】
0.9
本题考查有理数的乘方运算，解题遵循“先定符号，再算绝对值”的思路：首先回忆乘方符号法则：负数的偶次幂为正，奇次幂为负，正数的任何次幂都为正；再根据乘方的定义（求n个相同因数乘积的运算）计算绝对值的乘方结果，结合符号即可得到最终答案。
【解析】
(1) 计算$(-1)^{10}$：指数10是偶数，负数的偶次幂为正，再计算绝对值的乘方$1^{10}=1$，因此$(-1)^{10}=1$。
(2) 计算$(-6)^3$：指数3是奇数，负数的奇次幂为负，再计算绝对值的乘方$6^3=6×6×6=216$，因此$(-6)^3=-216$。
(3) 计算$(-\dfrac{3}{2})^3$：指数3是奇数，负数的奇次幂为负，再计算绝对值的乘方$(\dfrac{3}{2})^3=\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{2}=\dfrac{27}{8}$，因此$(-\dfrac{3}{2})^3=-\dfrac{27}{8}$。
(4) 计算$0.1^5$：0.1是正数，乘方结果为正，根据乘方定义计算$0.1^5=0.1×0.1×0.1×0.1×0.1=0.00001$。
【答案】
(1)$(-1)^{10}=1$；(2)$(-6)^3=-216$；(3)$(-\dfrac{3}{2})^3=-\dfrac{27}{8}$；(4)$0.1^5=0.00001$
【知识点】
有理数乘方运算，乘方符号规则，分数小数乘方计算
【点评】
本题属于乘方基础运算题，重点考查乘方符号规则的应用，计算时先确定结果符号再计算绝对值的乘方，可有效减少符号类错误。
【难度系数】
0.9
[自我反思，交流总结]
(1)－3²与(－3)²意义相同吗？结果相等吗？
(2)(2/3)²与2²/3意义相同吗？结果相等吗？
课时小结
请根据本课所学，构建知识体系。
有理数的乘方
乘方的意义
a·a·…·a
n个
= aⁿ，a的
幂
乘方的计算
aⁿ(a＜0)
n为奇数 → 幂为
n为偶数 → 幂为
aⁿ(a＞0) → 幂为正数
0的任何正整数次幂都是
(1)－3²与(－3)²意义相同吗？结果相等吗？
(2)(2/3)²与2²/3意义相同吗？结果相等吗？
课时小结
请根据本课所学，构建知识体系。
有理数的乘方
乘方的意义
a·a·…·a
n个
= aⁿ，a的
n
次方幂
乘方的计算
aⁿ(a＜0)
n为奇数 → 幂为
负数
n为偶数 → 幂为
正数
aⁿ(a＞0) → 幂为正数
0的任何正整数次幂都是
0
答案
1. 负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数。
2. 正数的任何正整数次幂都是正数。
3. 0的任何正整数次幂都是0。
4. 1的任何次幂都等于1。
5. －1的偶次幂等于1；－1的奇次幂等于－1。
2. 正数的任何正整数次幂都是正数。
3. 0的任何正整数次幂都是0。
4. 1的任何次幂都等于1。
5. －1的偶次幂等于1；－1的奇次幂等于－1。
解析
【分析】
本题围绕有理数乘方的定义与运算规则展开，解题思路可分为两部分：1. 辨析乘方表达式的差异：判断乘方意义的核心是找准底数，带括号的乘方底数为括号内的整体，不带括号的乘方底数是离幂次最近的数，明确底数差异后即可判断意义是否相同，再分别计算结果对比是否相等；2. 乘方法则填空：结合负数、正数、0的乘方符号规律直接填写即可，最终归纳出有理数乘方的通用规律。
【解析】
1. 解答辨析类问题：
(1) 意义判断：$-3^2$表示3的平方的相反数，底数为3；$(-3)^2$表示2个$-3$相乘，底数为$-3$，二者意义不同。
计算结果：$-3^2=-(3×3)=-9$，$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$，$-9≠9$，因此结果不相等。
(2) 意义判断：$(\frac{2}{3})^2$表示2个$\frac{2}{3}$相乘，底数为$\frac{2}{3}$；$\frac{2^2}{3}$表示2的平方除以3，底数为2，二者意义不同。
计算结果：$(\frac{2}{3})^2=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，$\frac{2^2}{3}=\frac{2×2}{3}=\frac{4}{3}$，$\frac{4}{9}≠\frac{4}{3}$，因此结果不相等。
2. 填写乘方相关规律：
根据乘方定义和符号法则，空缺处依次填写：$n$、负数、正数、$0$。
3. 有理数乘方核心规律总结：
① 负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数。
② 正数的任何正整数次幂都是正数。
③ 0的任何正整数次幂都是0。
④ 1的任何次幂都等于1。
⑤ －1的偶次幂等于1；－1的奇次幂等于－1。
【答案】
(1) $-3^2$与$(-3)^2$意义不相同，结果不相等；
(2) $(\frac{2}{3})^2$与$\frac{2^2}{3}$意义不相同，结果不相等；
乘方填空依次为：$n$、负数、正数、$0$；
有理数乘方规律：
1. 负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数。
2. 正数的任何正整数次幂都是正数。
3. 0的任何正整数次幂都是0。
4. 1的任何次幂都等于1。
5. －1的偶次幂等于1；－1的奇次幂等于－1。
【知识点】
有理数乘方的意义、乘方符号法则、乘方运算
【点评】
本题侧重考察乘方基础概念的辨析，其中带括号与不带括号的乘方底数差异是乘方运算的高频易错点，熟练掌握乘方符号法则是后续准确进行有理数混合运算的核心基础。
【难度系数】
0.7
本题围绕有理数乘方的定义与运算规则展开，解题思路可分为两部分：1. 辨析乘方表达式的差异：判断乘方意义的核心是找准底数，带括号的乘方底数为括号内的整体，不带括号的乘方底数是离幂次最近的数，明确底数差异后即可判断意义是否相同，再分别计算结果对比是否相等；2. 乘方法则填空：结合负数、正数、0的乘方符号规律直接填写即可，最终归纳出有理数乘方的通用规律。
【解析】
1. 解答辨析类问题：
(1) 意义判断：$-3^2$表示3的平方的相反数，底数为3；$(-3)^2$表示2个$-3$相乘，底数为$-3$，二者意义不同。
计算结果：$-3^2=-(3×3)=-9$，$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$，$-9≠9$，因此结果不相等。
(2) 意义判断：$(\frac{2}{3})^2$表示2个$\frac{2}{3}$相乘，底数为$\frac{2}{3}$；$\frac{2^2}{3}$表示2的平方除以3，底数为2，二者意义不同。
计算结果：$(\frac{2}{3})^2=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，$\frac{2^2}{3}=\frac{2×2}{3}=\frac{4}{3}$，$\frac{4}{9}≠\frac{4}{3}$，因此结果不相等。
2. 填写乘方相关规律：
根据乘方定义和符号法则，空缺处依次填写：$n$、负数、正数、$0$。
3. 有理数乘方核心规律总结：
① 负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数。
② 正数的任何正整数次幂都是正数。
③ 0的任何正整数次幂都是0。
④ 1的任何次幂都等于1。
⑤ －1的偶次幂等于1；－1的奇次幂等于－1。
【答案】
(1) $-3^2$与$(-3)^2$意义不相同，结果不相等；
(2) $(\frac{2}{3})^2$与$\frac{2^2}{3}$意义不相同，结果不相等；
乘方填空依次为：$n$、负数、正数、$0$；
有理数乘方规律：
1. 负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数。
2. 正数的任何正整数次幂都是正数。
3. 0的任何正整数次幂都是0。
4. 1的任何次幂都等于1。
5. －1的偶次幂等于1；－1的奇次幂等于－1。
【知识点】
有理数乘方的意义、乘方符号法则、乘方运算
【点评】
本题侧重考察乘方基础概念的辨析，其中带括号与不带括号的乘方底数差异是乘方运算的高频易错点，熟练掌握乘方符号法则是后续准确进行有理数混合运算的核心基础。
【难度系数】
0.7
探究1：观察下面的式子，并指出它包含着哪几种运算.
$3^2×(2+1)÷(5-2)$.
探究2：跟同学讨论并作答.
(1)$2÷(2×3)$与$2÷2×3$有什么不同?
(2)$2÷(\dfrac{1}{2}-2)$与$2÷\dfrac{1}{2}-2$有什么不同?
(3)$6÷(-3)^2$与$6÷(-3^2)$有什么不同?
探究3：你能尝试总结出有理数混合运算的运算顺序吗?
新知生成：有理数的混合运算顺序.
(1)先
(2)同级运算，从
(3)如有括号，先做
实践应用：计算下列各式.
(1)$-4^2×(-2)+[(-2)^3-(-4)]$；
(2)$-1^{2027}-(-2)^3-2×(-3)$.
$3^2×(2+1)÷(5-2)$.
探究2：跟同学讨论并作答.
(1)$2÷(2×3)$与$2÷2×3$有什么不同?
(2)$2÷(\dfrac{1}{2}-2)$与$2÷\dfrac{1}{2}-2$有什么不同?
(3)$6÷(-3)^2$与$6÷(-3^2)$有什么不同?
探究3：你能尝试总结出有理数混合运算的运算顺序吗?
新知生成：有理数的混合运算顺序.
(1)先
乘方
，再乘除，最后加减
；(2)同级运算，从
左
到右
进行；(3)如有括号，先做
括号内
的运算，按小括号、中括号
、大括号依次进行.实践应用：计算下列各式.
(1)$-4^2×(-2)+[(-2)^3-(-4)]$；
(2)$-1^{2027}-(-2)^3-2×(-3)$.
答案
探究1： 含有加、减、乘、除、乘方运算。
探究2：
(1) $2÷(2×3)$先算乘法，再算除法；$2÷2×3$先算除法，再算乘法。
(2) $2÷(\dfrac{1}{2}-2)$先算减法，再算除法；$2÷\dfrac{1}{2}-2$先算除法，再算减法。
(3) $6÷(-3)^2$先算$(-3)^2$，再算除法；$6÷(-3^2)$先算$-3^2$，再算除法。
探究3： 略
新知生成：
(1) 乘方，加减
(2) 左，右
(3) 括号内，中括号
实践应用：
(1) $-4^2×(-2)+[(-2)^3-(-4)]=-16×(-2)+(-8+4)=32-4=28$
(2) $-1^{2027}-(-2)^3-2×(-3)=-1-(-8)-(-6)=-1+8+6=13$
探究2：
(1) $2÷(2×3)$先算乘法，再算除法；$2÷2×3$先算除法，再算乘法。
(2) $2÷(\dfrac{1}{2}-2)$先算减法，再算除法；$2÷\dfrac{1}{2}-2$先算除法，再算减法。
(3) $6÷(-3)^2$先算$(-3)^2$，再算除法；$6÷(-3^2)$先算$-3^2$，再算除法。
探究3： 略
新知生成：
(1) 乘方，加减
(2) 左，右
(3) 括号内，中括号
实践应用：
(1) $-4^2×(-2)+[(-2)^3-(-4)]=-16×(-2)+(-8+4)=32-4=28$
(2) $-1^{2027}-(-2)^3-2×(-3)=-1-(-8)-(-6)=-1+8+6=13$
解析
【分析】
本题围绕有理数混合运算的核心知识点层层递进展开，解题思路如下：1. 探究1只需逐一审视式子中的运算符号，识别所有运算类型即可；2. 探究2通过对比有无括号、乘方括号位置不同的式子，重点分析运算顺序的差异，明确括号会改变运算优先级；3. 新知生成结合前面的对比结论，直接按有理数混合运算的通用规则填空；4. 实践应用严格遵循运算顺序计算，尤其注意乘方的符号、负号的处理，按“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的步骤计算即可。
【解析】
探究1
观察式子$3^2×(2+1)÷(5-2)$：$3^2$是乘方运算，×是乘法运算，$2+1$是加法运算，÷是除法运算，$5-2$是减法运算，因此共包含5种运算。
探究2
(1) $2÷(2×3)$带小括号，优先算括号内的乘法，再算除法；$2÷2×3$是同级运算，按从左到右顺序，先算除法再算乘法，二者运算顺序不同。
(2) $2÷(\dfrac{1}{2}-2)$带小括号，优先算括号内的减法，再算除法；$2÷\dfrac{1}{2}-2$是不同级运算，优先算除法再算减法，二者运算顺序不同。
(3) $6÷(-3)^2$中乘方的底数是$-3$，先算$(-3)^2$再算除法；$6÷(-3^2)$中乘方的底数是$3$，先算$3^2$再加负号得到$-3^2$，最后算除法，二者乘方的底数不同，运算结果不同。
新知生成
根据有理数混合运算规则填空：
(1) 运算优先级从高到低为：先算乘方，再算乘除，最后算加减；
(2) 同级运算（只有乘除或只有加减），从左到右依次进行；
(3) 有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。
实践应用
(1) 计算$-4^2×(-2)+[(-2)^3-(-4)]$
第一步：算乘方：$-4^2=-16$，$(-2)^3=-8$；
第二步：算括号内运算：$(-8)-(-4)=-8+4=-4$；
第三步：算乘法：$-16×(-2)=32$；
第四步：算加减：$32+(-4)=28$。
(2) 计算$-1^{2027}-(-2)^3-2×(-3)$
第一步：算乘方：$-1^{2027}=-1$，$(-2)^3=-8$；
第二步：算乘法：$2×(-3)=-6$；
第三步：算加减：$-1-(-8)-(-6)=-1+8+6=13$。
【答案】
探究1：含有加、减、乘、除、乘方运算。
探究2：
(1) $2÷(2×3)$先算乘法，再算除法；$2÷2×3$先算除法，再算乘法。
(2) $2÷(\dfrac{1}{2}-2)$先算减法，再算除法；$2÷\dfrac{1}{2}-2$先算除法，再算减法。
(3) $6÷(-3)^2$先算$(-3)^2$，再算除法；$6÷(-3^2)$先算$-3^2$，再算除法。
新知生成：
(1) 乘方，加减
(2) 左，右
(3) 括号内，中括号
实践应用：
(1) $\boxed{28}$
(2) $\boxed{13}$
【知识点】
有理数混合运算顺序，乘方运算，括号运算规则
【点评】
本题从运算识别、对比辨析到规则总结、实操计算，层层递进，帮助学生透彻掌握有理数混合运算的要求，易错点集中在乘方的符号判定、括号对运算顺序的改变，熟练掌握运算顺序是正确计算的核心。
【难度系数】
0.7
本题围绕有理数混合运算的核心知识点层层递进展开，解题思路如下：1. 探究1只需逐一审视式子中的运算符号，识别所有运算类型即可；2. 探究2通过对比有无括号、乘方括号位置不同的式子，重点分析运算顺序的差异，明确括号会改变运算优先级；3. 新知生成结合前面的对比结论，直接按有理数混合运算的通用规则填空；4. 实践应用严格遵循运算顺序计算，尤其注意乘方的符号、负号的处理，按“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的步骤计算即可。
【解析】
探究1
观察式子$3^2×(2+1)÷(5-2)$：$3^2$是乘方运算，×是乘法运算，$2+1$是加法运算，÷是除法运算，$5-2$是减法运算，因此共包含5种运算。
探究2
(1) $2÷(2×3)$带小括号，优先算括号内的乘法，再算除法；$2÷2×3$是同级运算，按从左到右顺序，先算除法再算乘法，二者运算顺序不同。
(2) $2÷(\dfrac{1}{2}-2)$带小括号，优先算括号内的减法，再算除法；$2÷\dfrac{1}{2}-2$是不同级运算，优先算除法再算减法，二者运算顺序不同。
(3) $6÷(-3)^2$中乘方的底数是$-3$，先算$(-3)^2$再算除法；$6÷(-3^2)$中乘方的底数是$3$，先算$3^2$再加负号得到$-3^2$，最后算除法，二者乘方的底数不同，运算结果不同。
新知生成
根据有理数混合运算规则填空：
(1) 运算优先级从高到低为：先算乘方，再算乘除，最后算加减；
(2) 同级运算（只有乘除或只有加减），从左到右依次进行；
(3) 有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。
实践应用
(1) 计算$-4^2×(-2)+[(-2)^3-(-4)]$
第一步：算乘方：$-4^2=-16$，$(-2)^3=-8$；
第二步：算括号内运算：$(-8)-(-4)=-8+4=-4$；
第三步：算乘法：$-16×(-2)=32$；
第四步：算加减：$32+(-4)=28$。
(2) 计算$-1^{2027}-(-2)^3-2×(-3)$
第一步：算乘方：$-1^{2027}=-1$，$(-2)^3=-8$；
第二步：算乘法：$2×(-3)=-6$；
第三步：算加减：$-1-(-8)-(-6)=-1+8+6=13$。
【答案】
探究1：含有加、减、乘、除、乘方运算。
探究2：
(1) $2÷(2×3)$先算乘法，再算除法；$2÷2×3$先算除法，再算乘法。
(2) $2÷(\dfrac{1}{2}-2)$先算减法，再算除法；$2÷\dfrac{1}{2}-2$先算除法，再算减法。
(3) $6÷(-3)^2$先算$(-3)^2$，再算除法；$6÷(-3^2)$先算$-3^2$，再算除法。
新知生成：
(1) 乘方，加减
(2) 左，右
(3) 括号内，中括号
实践应用：
(1) $\boxed{28}$
(2) $\boxed{13}$
【知识点】
有理数混合运算顺序，乘方运算，括号运算规则
【点评】
本题从运算识别、对比辨析到规则总结、实操计算，层层递进，帮助学生透彻掌握有理数混合运算的要求，易错点集中在乘方的符号判定、括号对运算顺序的改变，熟练掌握运算顺序是正确计算的核心。
【难度系数】
0.7
