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计算：
(1)$16÷(-2)^3 - (-\dfrac{1}{8})×(-4) + (-1)^{2026}$；
(2)$-3^2 + 1÷4×\dfrac{1}{4} - \left|-1\dfrac{1}{4}\right|×(-0.5)^2$。
任务二
应用有理数的混合运算解决简单问题
(1)$16÷(-2)^3 - (-\dfrac{1}{8})×(-4) + (-1)^{2026}$；
(2)$-3^2 + 1÷4×\dfrac{1}{4} - \left|-1\dfrac{1}{4}\right|×(-0.5)^2$。
任务二
应用有理数的混合运算解决简单问题
答案
(1) $-\dfrac{3}{2}$
(2) $-\dfrac{37}{4}$
(2) $-\dfrac{37}{4}$
解析
【分析】
有理数混合运算需严格遵循运算顺序：先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次计算，计算时优先确定每一步的符号，再计算数值，避免符号错误。
第(1)题先分别计算$(-2)^3$、$(-1)^{2026}$的结果，再依次计算乘除、加减即可；第(2)题先计算乘方和绝对值，注意$-3^2$表示3的平方的相反数，结果为-9，再计算乘除，最后合并加减项即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：$(-2)^3=-8$，$(-1)^{2026}=1$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=16÷(-8) - (-\dfrac{1}{8})×(-4) + 1\\&=-2 - \dfrac{1}{2} + 1\\&=-\dfrac{3}{2}\end{aligned}$
(2) 先计算乘方和绝对值：$-3^2=-9$，$(-0.5)^2=\dfrac{1}{4}$，$\left|-1\dfrac{1}{4}\right|=\dfrac{5}{4}$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=-9 + 1÷4×\dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{4}×\dfrac{1}{4}\\&=-9 + \dfrac{1}{16} - \dfrac{5}{16}\\&=-9 - \dfrac{4}{16}\\&=-9 - \dfrac{1}{4}\\&=-\dfrac{37}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{3}{2}$
(2) $-\dfrac{37}{4}$
【知识点】
有理数混合运算，乘方的运算，绝对值的化简
【点评】
本题重点考查有理数混合运算规则的掌握，易错点是乘方的符号判断，比如$-3^2$容易误算为9，计算时要先明确运算优先级，逐步计算减少失误。
【难度系数】
0.7
有理数混合运算需严格遵循运算顺序：先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次计算，计算时优先确定每一步的符号，再计算数值，避免符号错误。
第(1)题先分别计算$(-2)^3$、$(-1)^{2026}$的结果，再依次计算乘除、加减即可；第(2)题先计算乘方和绝对值，注意$-3^2$表示3的平方的相反数，结果为-9，再计算乘除，最后合并加减项即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：$(-2)^3=-8$，$(-1)^{2026}=1$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=16÷(-8) - (-\dfrac{1}{8})×(-4) + 1\\&=-2 - \dfrac{1}{2} + 1\\&=-\dfrac{3}{2}\end{aligned}$
(2) 先计算乘方和绝对值：$-3^2=-9$，$(-0.5)^2=\dfrac{1}{4}$，$\left|-1\dfrac{1}{4}\right|=\dfrac{5}{4}$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=-9 + 1÷4×\dfrac{1}{4} - \dfrac{5}{4}×\dfrac{1}{4}\\&=-9 + \dfrac{1}{16} - \dfrac{5}{16}\\&=-9 - \dfrac{4}{16}\\&=-9 - \dfrac{1}{4}\\&=-\dfrac{37}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{3}{2}$
(2) $-\dfrac{37}{4}$
【知识点】
有理数混合运算，乘方的运算，绝对值的化简
【点评】
本题重点考查有理数混合运算规则的掌握，易错点是乘方的符号判断，比如$-3^2$容易误算为9，计算时要先明确运算优先级，逐步计算减少失误。
【难度系数】
0.7
例 观察下面三行数字：
①－3，9，－27，81，…；
②1，－3，9，－27，…；
③－2，10，－26，82，…。
(1)第①行的数按什么规律排列？
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)取每行数的第7个数，计算这三个数的和。
①－3，9，－27，81，…；
②1，－3，9，－27，…；
③－2，10，－26，82，…。
(1)第①行的数按什么规律排列？
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)取每行数的第7个数，计算这三个数的和。
答案
(1) 第①行数按$(-3)^1$，$(-3)^2$，$(-3)^3$，$(-3)^4$，…，$(-3)^n$排列。
(2) 第②行数是第①行相应的数分别乘$-\dfrac{1}{3}$得到的，即$-\dfrac{1}{3}×(-3)^n$；第③行数比第①行相应的数分别大1，即$(-3)^n+1$。
(3) $(-3)^7 + (-\dfrac{1}{3})×(-3)^7 + (-3)^7 + 1 = (-3)^7×(1-\dfrac{1}{3}+1)+1=-3645+1=-3644$，所以这三个数的和为$-3644$。
(2) 第②行数是第①行相应的数分别乘$-\dfrac{1}{3}$得到的，即$-\dfrac{1}{3}×(-3)^n$；第③行数比第①行相应的数分别大1，即$(-3)^n+1$。
(3) $(-3)^7 + (-\dfrac{1}{3})×(-3)^7 + (-3)^7 + 1 = (-3)^7×(1-\dfrac{1}{3}+1)+1=-3645+1=-3644$，所以这三个数的和为$-3644$。
解析
【分析】
(1) 探究第①行规律时，分别观察符号和绝对值的特点：符号负、正交替，绝对值依次是3的1次方、2次方、3次方……，结合符号即可得出通项；
(2) 探究两行数字的关系时，对应位置的数做运算：用第②行每个数除以第①行对应位置的数，可得固定比值$-\dfrac{1}{3}$；用第③行每个数减第①行对应位置的数，可得固定差值1，即可得两行和第①行的关系；
(3) 先根据前两问得到的规律，分别写出三行第7个数的表达式，再按照有理数混合运算的规则计算求和即可。
【解析】
(1) 观察第①行的数：
第1个数：$-3=(-3)^1$，
第2个数：$9=(-3)^2$，
第3个数：$-27=(-3)^3$，
第4个数：$81=(-3)^4$，
……
因此第①行第n个数为$(-3)^n$（n为正整数），按$(-3)^1,(-3)^2,(-3)^3,\dots,(-3)^n$排列。
(2) 对比第②行和第①行对应位置的数：
$1=(-3)×(-\dfrac{1}{3})$，$-3=9×(-\dfrac{1}{3})$，$9=(-27)×(-\dfrac{1}{3})$，……
因此第②行数是第①行相应的数乘$-\dfrac{1}{3}$得到的，第n个数为$-\dfrac{1}{3}×(-3)^n$。
对比第③行和第①行对应位置的数：
$-2=-3+1$，$10=9+1$，$-26=-27+1$，……
因此第③行数是第①行相应的数加1得到的，第n个数为$(-3)^n+1$。
(3) 每行数的第7个数对应n=7，代入表达式求和：
$\begin{aligned}&(-3)^7 + (-\dfrac{1}{3})×(-3)^7 + [(-3)^7 + 1]\\=&(-3)^7×(1-\dfrac{1}{3}+1)+1\\=&-2187×\dfrac{5}{3}+1\\=&-3645+1\\=&-3644\end{aligned}$
【答案】
(1) 按$(-3)^1$，$(-3)^2$，$(-3)^3$，$(-3)^4$，…，$(-3)^n$排列；
(2) 第②行数是第①行相应的数分别乘$-\dfrac{1}{3}$得到的；第③行数比第①行相应的数分别大1；
(3) $-3644$
【知识点】
数字规律探究，乘方的意义，有理数混合运算
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，需要先观察每行数字的符号、数值变化特征，再对比不同行数字的关联，最后代入数值计算，既锻炼归纳推理能力，也考查有理数乘方及混合运算的准确性。
【难度系数】
0.7
(1) 探究第①行规律时，分别观察符号和绝对值的特点：符号负、正交替，绝对值依次是3的1次方、2次方、3次方……，结合符号即可得出通项；
(2) 探究两行数字的关系时，对应位置的数做运算：用第②行每个数除以第①行对应位置的数，可得固定比值$-\dfrac{1}{3}$；用第③行每个数减第①行对应位置的数，可得固定差值1，即可得两行和第①行的关系；
(3) 先根据前两问得到的规律，分别写出三行第7个数的表达式，再按照有理数混合运算的规则计算求和即可。
【解析】
(1) 观察第①行的数：
第1个数：$-3=(-3)^1$，
第2个数：$9=(-3)^2$，
第3个数：$-27=(-3)^3$，
第4个数：$81=(-3)^4$，
……
因此第①行第n个数为$(-3)^n$（n为正整数），按$(-3)^1,(-3)^2,(-3)^3,\dots,(-3)^n$排列。
(2) 对比第②行和第①行对应位置的数：
$1=(-3)×(-\dfrac{1}{3})$，$-3=9×(-\dfrac{1}{3})$，$9=(-27)×(-\dfrac{1}{3})$，……
因此第②行数是第①行相应的数乘$-\dfrac{1}{3}$得到的，第n个数为$-\dfrac{1}{3}×(-3)^n$。
对比第③行和第①行对应位置的数：
$-2=-3+1$，$10=9+1$，$-26=-27+1$，……
因此第③行数是第①行相应的数加1得到的，第n个数为$(-3)^n+1$。
(3) 每行数的第7个数对应n=7，代入表达式求和：
$\begin{aligned}&(-3)^7 + (-\dfrac{1}{3})×(-3)^7 + [(-3)^7 + 1]\\=&(-3)^7×(1-\dfrac{1}{3}+1)+1\\=&-2187×\dfrac{5}{3}+1\\=&-3645+1\\=&-3644\end{aligned}$
【答案】
(1) 按$(-3)^1$，$(-3)^2$，$(-3)^3$，$(-3)^4$，…，$(-3)^n$排列；
(2) 第②行数是第①行相应的数分别乘$-\dfrac{1}{3}$得到的；第③行数比第①行相应的数分别大1；
(3) $-3644$
【知识点】
数字规律探究，乘方的意义，有理数混合运算
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，需要先观察每行数字的符号、数值变化特征，再对比不同行数字的关联，最后代入数值计算，既锻炼归纳推理能力，也考查有理数乘方及混合运算的准确性。
【难度系数】
0.7
观察下面三行数：
①2，－4，8，－16，32，－64，…；
②－1，－7，5，－19，29，－67，…；
③2，－1，5，－7，17，－31，….
(1)第①行数按什么规律排列？
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)取每行的第8个数，计算这三个数的和。
①2，－4，8，－16，32，－64，…；
②－1，－7，5，－19，29，－67，…；
③2，－1，5，－7，17，－31，….
(1)第①行数按什么规律排列？
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)取每行的第8个数，计算这三个数的和。
答案
1. 第①行数的规律是：从第一个数开始，后面的每一个数都是前面一个数乘(-2)得到的，即2，2×(-2)，-4×(-2)，8×(-2)，-16×(-2)，32×(-2)，….
2. 第②行每个位置上的数是第①行相应位置上的数减3得到的；第③行每个位置上的数是第①行相应位置上的数除以2再加上1得到的。
3. 第①行的第8个数为-64×(-2)×(-2)=-256；
第②行的第8个数为-256-3=-259；
第③行的第8个数为-256÷2+1=-127。
所以这三个数的和为-256-259-127=-642。
2. 第②行每个位置上的数是第①行相应位置上的数减3得到的；第③行每个位置上的数是第①行相应位置上的数除以2再加上1得到的。
3. 第①行的第8个数为-64×(-2)×(-2)=-256；
第②行的第8个数为-256-3=-259；
第③行的第8个数为-256÷2+1=-127。
所以这三个数的和为-256-259-127=-642。
解析
【分析】
解决本题可按以下思路逐步推导：1. 解答第(1)问时，先观察第①行数字的符号（正负交替）和绝对值变化（后一个数绝对值是前一个的2倍），分析相邻数的运算关系即可总结出规律；2. 解答第(2)问时，将第②、③行同位置的数分别和第①行的数做运算对比，就能找到两行与第①行的数量关系；3. 解答第(3)问时，先根据第①行的规律算出第8个数，再结合第(2)问得到的关系分别求出第②、③行的第8个数，最后相加求和即可。
【解析】
(1) 观察第①行的数：2，-4，8，-16，32，-64…，可发现符号正负交替，后一个数的绝对值是前一个数绝对值的2倍，即从第一个数开始，后面的每一个数都是前面一个数乘(-2)得到的。
(2) 对比两行与第①行同位置的数：
第①行第1个数为2，第②行第1个数为-1=2-3；第①行第2个数为-4，第②行第2个数为-7=-4-3，依此类推，可得第②行每个位置上的数是第①行相应位置上的数减3得到的。
第①行第1个数为2，第③行第1个数为2=2÷2+1；第①行第2个数为-4，第③行第2个数为-1=-4÷2+1，依此类推，可得第③行每个位置上的数是第①行相应位置上的数除以2再加上1得到的。
(3) 计算每行第8个数：
第①行第6个数为-64，第7个数为$-64×(-2)=128$，第8个数为$128×(-2)=-256$；
第②行第8个数为$-256-3=-259$；
第③行第8个数为$-256÷2+1=-127$；
三个数的和为$-256+(-259)+(-127)=-642$。
【答案】
(1) 从第一个数开始，后面的每一个数都是前面一个数乘(-2)得到的；
(2) 第②行每个位置上的数是第①行相应位置上的数减3得到的；第③行每个位置上的数是第①行相应位置上的数除以2再加上1得到的；
(3) 这三个数的和为-642。
【知识点】
数字规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题是数字规律类的典型基础题，侧重考查观察归纳能力，解题核心是先确定基准行的规律，再对比推导其他行和基准行的关系，计算时需注意符号处理，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
解决本题可按以下思路逐步推导：1. 解答第(1)问时，先观察第①行数字的符号（正负交替）和绝对值变化（后一个数绝对值是前一个的2倍），分析相邻数的运算关系即可总结出规律；2. 解答第(2)问时，将第②、③行同位置的数分别和第①行的数做运算对比，就能找到两行与第①行的数量关系；3. 解答第(3)问时，先根据第①行的规律算出第8个数，再结合第(2)问得到的关系分别求出第②、③行的第8个数，最后相加求和即可。
【解析】
(1) 观察第①行的数：2，-4，8，-16，32，-64…，可发现符号正负交替，后一个数的绝对值是前一个数绝对值的2倍，即从第一个数开始，后面的每一个数都是前面一个数乘(-2)得到的。
(2) 对比两行与第①行同位置的数：
第①行第1个数为2，第②行第1个数为-1=2-3；第①行第2个数为-4，第②行第2个数为-7=-4-3，依此类推，可得第②行每个位置上的数是第①行相应位置上的数减3得到的。
第①行第1个数为2，第③行第1个数为2=2÷2+1；第①行第2个数为-4，第③行第2个数为-1=-4÷2+1，依此类推，可得第③行每个位置上的数是第①行相应位置上的数除以2再加上1得到的。
(3) 计算每行第8个数：
第①行第6个数为-64，第7个数为$-64×(-2)=128$，第8个数为$128×(-2)=-256$；
第②行第8个数为$-256-3=-259$；
第③行第8个数为$-256÷2+1=-127$；
三个数的和为$-256+(-259)+(-127)=-642$。
【答案】
(1) 从第一个数开始，后面的每一个数都是前面一个数乘(-2)得到的；
(2) 第②行每个位置上的数是第①行相应位置上的数减3得到的；第③行每个位置上的数是第①行相应位置上的数除以2再加上1得到的；
(3) 这三个数的和为-642。
【知识点】
数字规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题是数字规律类的典型基础题，侧重考查观察归纳能力，解题核心是先确定基准行的规律，再对比推导其他行和基准行的关系，计算时需注意符号处理，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
