任务导学
任务一 理解有理数乘方的意义
阅读下面的4个问题情境，完成填空.
(1)边长为3 cm的正方形面积是 cm²；
(2)棱长为3 cm的正方体体积是 cm³；
(3)边长为a cm的正方形面积是 cm²；
(4)棱长为a cm的正方体体积是 cm³.
类比探究：根据以上规律将以下式子简写.
(1)$7×7×7×7×7=$；
(2)$(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=$；
(3)$\frac{5}{6}×\frac{5}{6}×\frac{5}{6}×\frac{5}{6}=$；
(4)$1×1×1×1×1×1×1=$.
新知生成：(1)一般地，n个相同的乘数a相乘，即$\underbrace{a·a·…·a}_{n个}$，记作，读作“”.
(2)求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作.

在$a^n$中，a叫作，n叫作，当$a^n$看作a的n次方的结果时，也可读作“”.
(3)一个数可以看作这个数本身的.
例如，7就是$7^1$，指数1通常省略不写.

任务一
(1) 9
(2) 27
(3) $a^2$
(4) $a^3$
类比探究
(1) $7^5$
(2) $(-3)^4$
(3) $(\dfrac{5}{6})^4$
(4) $1^7$
新知生成
(1) $a^n$，a的n次方
(2) 幂，底数，指数，a的n次幂
(3) 1次方

【分析】
这道题围绕乘方的基础概念设置，解题思路可分为三步：第一步先利用正方形面积、正方体体积的计算公式，计算并感知多个相同数相乘的形式；第二步做类比探究时，先数每个算式里相同乘数的个数，把相同乘数作为底数，个数作为指数，注意负数、分数作为底数时要加括号，再写成乘方形式；第三步新知生成部分直接结合乘方的定义、各部分名称等基础概念填空即可。
【解析】
任务一：
(1)正方形面积=边长×边长，代入得$3×3=9$；
(2)正方体体积=棱长×棱长×棱长，代入得$3×3×3=27$；
(3)边长为$a$的正方形面积$=a× a$，根据乘方简写规则记作$a^2$；
(4)棱长为$a$的正方体体积$=a× a× a$，记作$a^3$。
类比探究：
(1)算式是5个7相乘，相同乘数是7，个数是5，写作$7^5$；
(2)算式是4个$(-3)$相乘，相同乘数是$-3$，个数是4，负数做底数需加括号，写作$(-3)^4$；
(3)算式是4个$\frac{5}{6}$相乘，相同乘数是$\frac{5}{6}$，个数是4，分数做底数需加括号，写作$(\frac{5}{6})^4$；
(4)算式是7个1相乘，相同乘数是1，个数是7，写作$1^7$。
新知生成：
(1)根据乘方的定义，$n$个相同的乘数$a$相乘记作$a^n$，读作“$a$的$n$次方”；
(2)乘方的结果叫作幂；在$a^n$中，$a$叫作底数，$n$叫作指数，看作运算结果时读作“$a$的$n$次幂”；
(3)根据规则，一个数可以看作这个数本身的1次方。
【答案】
任务一
(1) 9
(2) 27
(3) $a^2$
(4) $a^3$
类比探究
(1) $7^5$
(2) $(-3)^4$
(3) $(\dfrac{5}{6})^4$
(4) $1^7$
新知生成
(1) $a^n$，a的n次方
(2) 幂，底数，指数，a的n次幂
(3) 1次方
【知识点】
1.乘方的定义
2.乘方各部分名称
3.乘方书写规范
【点评】
本题从熟悉的面积、体积计算切入，逐步引导学生理解乘方的本质是多个相同因数乘法的简便运算，帮助学生落实乘方的基础概念，掌握乘方的正确书写方法，是乘方入门的基础训练题。
【难度系数】
0.9

1. 判断下列各题是否正确：
(1)$2^3=2×3$； （）
(2)$2+2+2=2^3$； （）
(3)$2^3=2×2×2$； （）
(4)$-2^4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)$。 （）

解：
(1) 根据乘方的定义，$2^3$表示3个2相乘，即$2^3=2×2×2=8$，而$2×3=6$，等式不成立，故答案为×。
(2) 计算得左边$2+2+2=6$，右边$2^3=8$，等式不成立，故答案为×。
(3) 根据乘方的定义，$2^3$就是3个2相乘，即$2^3=2×2×2$，等式成立，故答案为√。
(4) $-2^4$表示$2^4$的相反数，即$-2^4=-(2×2×2×2)=-16$，而$(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16$，等式不成立，故答案为×。

【分析】
解题时首先要明确乘方的核心定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，记作$a^n$，表示n个a相乘；同时要注意区分$-a^n$和$(-a)^n$的差异：$-a^n$是$a^n$的相反数，$(-a)^n$才是n个(-a)相乘。接下来对每道小题分别计算等式左右两边的结果，对比结果是否相等即可判断对错。
【解析】
(1) 根据乘方定义，$2^3$表示3个2相乘，即$2^3=2×2×2=8$，而$2×3=6$，左右两边数值不相等，故错误。
(2) 左边计算得$2+2+2=6$，右边根据乘方定义得$2^3=2×2×2=8$，左右两边数值不相等，故错误。
(3) 根据乘方定义，$2^3$就是3个2相乘的简便记法，即$2^3=2×2×2$，等式成立，故正确。
(4) $-2^4$表示$2^4$的相反数，计算得$-2^4=-(2×2×2×2)=-16$，而$(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16$，左右两边数值不相等，故错误。
【答案】
(1)×；(2)×；(3)√；(4)×
【知识点】
乘方的定义；乘方运算；有理数乘法计算
【点评】
本题是乘方的基础考查题，重点检验对乘方定义的理解，尤其要注意负号是否在底数的括号内，二者运算结果完全不同，掌握定义即可轻松解题。
【难度系数】
0.8

2. 把下列乘方写成乘法的形式：
(1)$(-9)^3 =$ ；
(2)$(\dfrac{9}{7})^4 =$ ；
(3)$(a - b)^2 =$ .

解：
(1) $(-9)×(-9)×(-9)$
(2) $\dfrac{9}{7}×\dfrac{9}{7}×\dfrac{9}{7}×\dfrac{9}{7}$
(3) $(a-b)×(a-b)$

【分析】
解题的核心是掌握乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，记作$a^n$，其中$a$是底数，$n$是指数，$a^n$表示n个$a$相乘。解题时先准确识别每个乘方的底数和指数，再把乘方转化为对应个数的底数相乘的形式即可，注意带括号的乘方，括号内的整体是底数，不能随意拆分。
【解析】
根据乘方的意义：$a^n=\underbrace{a× a× \dots × a}_{n个a}$
(1) $(-9)^3$的底数是$-9$，指数是3，表示3个$-9$相乘，因此写成乘法形式为$(-9)×(-9)×(-9)$；
(2) $(\dfrac{9}{7})^4$的底数是$\dfrac{9}{7}$，指数是4，表示4个$\dfrac{9}{7}$相乘，因此写成乘法形式为$\dfrac{9}{7}×\dfrac{9}{7}×\dfrac{9}{7}×\dfrac{9}{7}$；
(3) $(a-b)^2$的底数是$(a-b)$，指数是2，表示2个$(a-b)$相乘，因此写成乘法形式为$(a-b)×(a-b)$。
【答案】
(1) $(-9)×(-9)×(-9)$
(2) $\dfrac{9}{7}×\dfrac{9}{7}×\dfrac{9}{7}×\dfrac{9}{7}$
(3) $(a-b)×(a-b)$
【知识点】
乘方的意义
【点评】
本题是乘方的基础概念应用题，解题的关键是准确识别乘方的底数，尤其是带括号的乘方，要将括号内的整体作为相同的因数，不要拆分符号或整式，避免概念误解导致错误。
【难度系数】
0.9

3. 填空：
(1)$(-5)^2$ 的底数是 ，指数是 ；
$(-5)^2$ 表示 2 个 相乘，读作 的 2 次方，也读作一5 的 。
(2)$(\dfrac{1}{2})^6$ 表示 个 $\dfrac{1}{2}$ 相乘，读作 $\dfrac{1}{2}$ 的 次方，也读作 $\dfrac{1}{2}$ 的 次幂，其中 $\dfrac{1}{2}$ 叫作 ，6 叫作 。

解：
(1) $(-5)^2$ 的底数是 $\boldsymbol{-5}$，指数是 $\boldsymbol{2}$；
$(-5)^2$ 表示 2 个 $\boldsymbol{-5}$ 相乘，读作 $\boldsymbol{-5}$ 的 2 次方，也读作$-5$ 的 $\boldsymbol{平方}$。
(2) $(\dfrac{1}{2})^6$ 表示 $\boldsymbol{6}$ 个 $\dfrac{1}{2}$ 相乘，读作 $\dfrac{1}{2}$ 的 $\boldsymbol{6}$ 次方，也读作 $\dfrac{1}{2}$ 的 $\boldsymbol{6}$ 次幂，其中 $\dfrac{1}{2}$ 叫作 $\boldsymbol{底数}$，6 叫作 $\boldsymbol{指数}$。

【分析】
解题时先回忆乘方的核心概念：形如$a^n$的运算就是乘方，其中$a$是参与运算的相同因数，叫底数；$n$是相同因数的个数，叫指数；$a^n$表示$n$个$a$相乘，读作$a$的$n$次方（或$a$的$n$次幂），当指数为2时也可读作平方。需要注意如果底数是负数或分数时，通常会加括号，底数是括号内的整体，逐空对应概念填写即可。
【解析】
首先明确乘方的基本定义：
求$n$个相同因数的积的运算叫做乘方，记为$a^n$，其中相同因数$a$为底数，相同因数的个数$n$为指数，$a^n$读作“$a$的$n$次方”，也可读作“$a$的$n$次幂”，二次方也常称为平方。
(1) 对于$(-5)^2$，括号内的$-5$是相同的相乘因数，右上角的2是因数的个数，因此底数是$-5$，指数是2；含义是2个$-5$相乘，读作$-5$的2次方，也可读作$-5$的平方。
(2) 对于$(\frac{1}{2})^6$，右上角的6是因数的个数，因此表示6个$\frac{1}{2}$相乘，读作$\frac{1}{2}$的6次方，也读作$\frac{1}{2}$的6次幂，其中$\frac{1}{2}$是底数，6是指数。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$，$\boldsymbol{2}$；$\boldsymbol{-5}$，$\boldsymbol{-5}$，$\boldsymbol{平方}$
(2) $\boldsymbol{6}$，$\boldsymbol{6}$，$\boldsymbol{6}$，$\boldsymbol{底数}$，$\boldsymbol{指数}$
【知识点】
乘方的定义；乘方的各部分名称；乘方的读法
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点辨析带括号的乘方的底数取值，只要熟练掌握乘方的相关概念，就能准确作答。
【难度系数】
0.9

例 计算：
(1)$(-5)^3$；(2)$(-3)^4$；(3)$(-\dfrac{3}{4})^3$。

解：
(1) $(-5)^3 = (-5) × (-5) × (-5) = -125$
(2) $(-3)^4 = (-3) × (-3) × (-3) × (-3) = 81$
(3) $(-\dfrac{3}{4})^3 = (-\dfrac{3}{4}) × (-\dfrac{3}{4}) × (-\dfrac{3}{4}) = -\dfrac{27}{64}$

【分析】
解题时首先要明确乘方的定义：$a^n$表示n个a相乘，解题可分两步完成：第一步先根据指数的奇偶性确定结果的符号（负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数），第二步计算绝对值的乘方得到最终结果。
对于(1)：$(-5)^3$表示3个$-5$相乘，指数3是奇数，结果为负，再计算$5^3$的结果即可；
对于(2)：$(-3)^4$表示4个$-3$相乘，指数4是偶数，结果为正，再计算$3^4$的结果即可；
对于(3)：$(-\dfrac{3}{4})^3$表示3个$-\dfrac{3}{4}$相乘，指数3是奇数，结果为负，再分别计算分子、分母的乘方即可。
【解析】
根据乘方的定义展开计算：
(1) $(-5)^3 = (-5) × (-5) × (-5) = -125$
(2) $(-3)^4 = (-3) × (-3) × (-3) × (-3) = 81$
(3) $(-\dfrac{3}{4})^3 = (-\dfrac{3}{4}) × (-\dfrac{3}{4}) × (-\dfrac{3}{4}) = -\dfrac{27}{64}$
【答案】
(1) $\boxed{-125}$；(2) $\boxed{81}$；(3) $\boxed{-\dfrac{27}{64}}$
【知识点】
乘方的定义；有理数乘方符号法则；分数乘方运算
【点评】
本题是乘方的基础运算题，核心考查对乘方定义的掌握和符号法则的运用，解题时要注意先判断结果符号再计算绝对值，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8