基础知识·预习
问题1 如何判定一个三角形是等腰三角形？并说说你的理由。
问题2 若已知等腰三角形的底边及底边上高的长度，利用直尺和圆规作出这个等腰三角形的一般步骤是什么？说说这个作法正确的理由。

解：
问题1
判定方法一：利用定义判定，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
理由：该判定依据等腰三角形的基本定义，若三角形存在两边相等，可直接判定其为等腰三角形。
判定方法二：利用“等角对等边”判定，如果一个三角形有两个内角相等，那么这两个角所对的边相等，这个三角形是等腰三角形。
理由：在△ABC中，设∠B=∠C，作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，则∠BAD=∠CAD。
又∠B=∠C，AD=AD，可得△ABD≌△ACD（AAS），因此AB=AC，即△ABC为等腰三角形。
---
问题2
作图步骤：
1. 作线段BC，使BC的长度等于已知的等腰三角形底边长度；
2. 作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于垂足D；
3. 在直线MN上截取线段DA，使DA的长度等于已知的底边上的高的长度；
4. 连接AB、AC，得到的△ABC就是所求作的等腰三角形。
作法正确的理由：
根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，点A在BC的垂直平分线上，因此AB=AC，△ABC是等腰三角形。同时AD⊥BC，AD的长度等于给定的底边上的高，BC的长度等于给定的底边，完全满足题目要求，因此作法正确。

【分析】
对于问题1，可从两个维度思考等腰三角形的判定方法：①从定义角度出发，直接根据等腰三角形的基本概念找相等的边即可判定；②从角的关系出发，利用“等角对等边”的判定定理，可通过构造全等三角形验证该定理的合理性。对于问题2，结合等腰三角形三线合一的性质可知，底边上的高在底边的垂直平分线上，因此作图时先确定底边，再作底边的垂直平分线找到顶点位置，最后连线即可，可借助线段垂直平分线的性质说明作图的正确性。
【解析】
问题1
判定方法及理由：
1. 定义判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
理由：该判定依据等腰三角形的基本定义，若三角形存在两边相等，可直接判定其为等腰三角形。
2. 等角对等边判定：如果一个三角形有两个内角相等，那么这两个角所对的边相等，这个三角形是等腰三角形。
理由：在△ABC中，设∠B=∠C，作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，则∠BAD=∠CAD。又∠B=∠C，AD=AD，可得△ABD≌△ACD（AAS），因此AB=AC，即△ABC为等腰三角形。
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问题2
作图步骤：
1. 作线段BC，使BC的长度等于已知的等腰三角形底边长度；
2. 作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于垂足D；
3. 在直线MN上截取线段DA，使DA的长度等于已知的底边上的高的长度；
4. 连接AB、AC，得到的△ABC就是所求作的等腰三角形。
作法正确的理由：
根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，点A在BC的垂直平分线上，因此AB=AC，△ABC是等腰三角形。同时AD⊥BC，AD的长度等于给定的底边上的高，BC的长度等于给定的底边，完全满足题目要求，因此作法正确。
【答案】
问题1：
判定方法一：利用定义判定，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
理由：该判定依据等腰三角形的基本定义，若三角形存在两边相等，可直接判定其为等腰三角形。
判定方法二：利用“等角对等边”判定，如果一个三角形有两个内角相等，那么这两个角所对的边相等，这个三角形是等腰三角形。
理由：在△ABC中，设∠B=∠C，作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，则∠BAD=∠CAD。又∠B=∠C，AD=AD，可得△ABD≌△ACD（AAS），因此AB=AC，即△ABC为等腰三角形。
问题2：
作图步骤：
1. 作线段BC，使BC的长度等于已知的等腰三角形底边长度；
2. 作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于垂足D；
3. 在直线MN上截取线段DA，使DA的长度等于已知的底边上的高的长度；
4. 连接AB、AC，得到的△ABC就是所求作的等腰三角形。
作法正确的理由：
根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，点A在BC的垂直平分线上，因此AB=AC，△ABC是等腰三角形。同时AD⊥BC，AD的长度等于给定的底边上的高，BC的长度等于给定的底边，完全满足题目要求，因此作法正确。
【知识点】
等腰三角形的判定、尺规作图、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题围绕等腰三角形的基础判定和尺规作图展开，侧重对基础概念和原理的理解，掌握相关性质是解决此类问题的核心，可为后续复杂的几何证明与作图题打好基础。
【难度系数】
0.8

【典型例题 1】如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,CD⊥ AB$于点$D,BF$平分$∠ ABC$交$CD$于点$E$,交$AC$于点$F$.求证:$CE=CF$.

【证明】因为$∠ ACB=90°,CD⊥ AB$,所以$∠ CBF+∠ CFB=90°,∠ DBE+∠ DEB=90°$.因为$BF$平分$∠ ABC$,所以$∠ CBF=∠ DBE$,所以$∠ CFB=∠ DEB$.因为$∠ FEC=∠ DEB$,
所以$∠ CFB=∠ FEC$,所以$CE=CF$.
规律方法 等腰三角形的判定方法
“等角对等边”是证明两条线段相等的重要方式之一,当所要证明相等的两条线段(或与之相等的相关线段)在同一个三角形中时,即可考虑运用该判定方法进行证明.

证明：
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠CBF + ∠CFB = 90°。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠EDB=90°，
∴ ∠DBE + ∠DEB = 90°。
∵ BF平分∠ABC，
∴ ∠CBF = ∠DBE，
∴ ∠CFB = ∠DEB。
又∵ ∠FEC = ∠DEB，
∴ ∠CFB = ∠FEC，
∴ CE=CF（等角对等边）。

【分析】
要证明CE=CF，观察发现两条线段同属于△CEF，因此可借助等腰三角形“等角对等边”的判定定理，转化为证明∠CFE=∠CEF即可。首先结合已知∠ACB=90°、CD⊥AB，可得△BCF和△BDE均为直角三角形，二者的两个锐角之和都为90°；再利用BF平分∠ABC得到∠CBF=∠DBE，根据等角的余角相等可推出∠CFB=∠DEB；最后结合∠DEB与∠FEC是对顶角、二者相等，完成角的等量代换得到∠CFB=∠FEC，即可证得结论。
【解析】
证明：
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠CBF + ∠CFB = 90°。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠EDB=90°，
∴ ∠DBE + ∠DEB = 90°。
∵ BF平分∠ABC，
∴ ∠CBF = ∠DBE，
∴ ∠CFB = ∠DEB。
又
∵ ∠FEC = ∠DEB，
∴ ∠CFB = ∠FEC，
∴ CE=CF（等角对等边）。
【答案】
证明：
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠CBF + ∠CFB = 90°。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠EDB=90°，
∴ ∠DBE + ∠DEB = 90°。
∵ BF平分∠ABC，
∴ ∠CBF = ∠DBE，
∴ ∠CFB = ∠DEB。
又
∵ ∠FEC = ∠DEB，
∴ ∠CFB = ∠FEC，
∴ CE=CF（等角对等边）。
【知识点】
等角对等边，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是用等腰三角形判定证明线段相等的典型基础题，核心解题思路是将线段相等的证明转化为对应角相等的证明，解题过程需要结合直角三角形性质、对顶角相等完成角的等量代换，熟练掌握角的关系转化是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.75

1.(2024·重庆中考)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=36°$,$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$.若$BC=2$,则$AD$的长度为.

1.2 【解析】因为$AB=AC,∠A=36°$,所以$∠ABC=∠C=72°$. 因为$BD$平分$∠ABC$,所以$∠CBD=∠ABD=36°$,所以$∠BDC=72°$,所以$∠BDC=∠C$,所以$BD=BC=2$. 因为$∠A=36°,∠ABD=36°$,所以$∠A=∠ABD$,所以$AD=BD=2$.

【分析】
解题时首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知顶角∠A的度数求出底角∠ABC、∠C的度数；再利用角平分线的定义得到∠ABD、∠CBD的度数；随后分别在△BDC和△ABD中，通过角度计算找到相等的角，利用“等角对等边”依次推出BD=BC、AD=BD，最后通过等量代换即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$∠A=36°$，
∴$∠ABC=∠C=(180°−∠A)÷2=(180°−36°)÷2=72°$，
∵$BD$平分$∠ABC$，
∴$∠CBD=∠ABD=\frac{1}{2}∠ABC=36°$，
在$△ BDC$中，$∠BDC=180°−∠C−∠CBD=180°−72°−36°=72°$，
∴$∠BDC=∠C$，
∴$BD=BC=2$，
又
∵$∠A=36°$，$∠ABD=36°$，
∴$∠A=∠ABD$，
∴$AD=BD=2$。
【答案】
2
【知识点】
等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形的常见基础题型，重点考查等腰三角形性质与判定的综合应用，解题的关键是通过角度推导得到等角，进而转化为边的等量关系，熟练掌握等腰三角形的相关性质和判定定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.8