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3. 已知△ABC是等腰三角形.若∠A=40°,则△ABC的顶角度数是
40°或100°
.答案
3. 40°或100° 【解析】当∠A是顶角时,△ABC的顶角度数是40°;当∠A是底角时,△ABC的顶角度数是180°−2×40°=100°. 综上,△ABC的顶角度数是40°或100°.
解析
【分析】
解决本题的核心是明确等腰三角形的角分为顶角和底角，题干没有说明∠A是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①∠A为顶角；②∠A为底角。再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质分别计算顶角的度数，最后验证两种情况是否都符合三角形内角和要求即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数就是∠A的度数，即40°；
2. 当∠A是底角时，根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为180°，可得顶角度数为：$180° - 2×40° = 100°$。
两种情况均符合三角形内角和定理，综上，△ABC的顶角度数是40°或100°。
【答案】
40°或100°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于易错题，解题时需注意：若题干未明确给出已知角是等腰三角形的顶角还是底角，一定要分情况讨论，同时求出角度后要验证是否满足三角形的基本性质，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是明确等腰三角形的角分为顶角和底角，题干没有说明∠A是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：①∠A为顶角；②∠A为底角。再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质分别计算顶角的度数，最后验证两种情况是否都符合三角形内角和要求即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数就是∠A的度数，即40°；
2. 当∠A是底角时，根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为180°，可得顶角度数为：$180° - 2×40° = 100°$。
两种情况均符合三角形内角和定理，综上，△ABC的顶角度数是40°或100°。
【答案】
40°或100°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于易错题，解题时需注意：若题干未明确给出已知角是等腰三角形的顶角还是底角，一定要分情况讨论，同时求出角度后要验证是否满足三角形的基本性质，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
4.如图,在等腰三角形ABC中,CH是底边上的高,点P是线段CH上不与端点重合的任意一点,连接AP并延长交BC于点E,连接BP并延长交AC于点F.求证:
(1)$∠ CAE=∠ CBF$;
(2)$AE=BF$.
(1)$∠ CAE=∠ CBF$;
(2)$AE=BF$.
答案
4.【证明】(1)因为△ABC为等腰三角形,所以AC=BC,所以∠CAB=∠CBA. 因为CH为底边上的高,所以CH也是底边上的中线,即CH垂直平分线段AB,所以PA=PB,所以∠PAB=∠PBA. 因为∠CAE = ∠CAB − ∠PAB, ∠CBF = ∠CBA−∠PBA,所以∠CAE=∠CBF.
(2)在△ACE和△BCF中,$\begin{cases} ∠CAE=∠CBF, \\ AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCF, \end{cases}$所以△ACE≌△BCF(ASA),所以AE=BF.
(2)在△ACE和△BCF中,$\begin{cases} ∠CAE=∠CBF, \\ AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCF, \end{cases}$所以△ACE≌△BCF(ASA),所以AE=BF.
解析
【分析】
要证明(1)中$∠ CAE=∠ CBF$，首先利用等腰三角形的性质可得$AC=BC$、$∠ CAB=∠ CBA$；再结合$CH$是等腰三角形底边上的高，根据三线合一可知$CH$垂直平分$AB$，点$P$在$CH$上则$PA=PB$，可得$∠ PAB=∠ PBA$，通过两个等角分别作差即可得证。要证明(2)中$AE=BF$，可证两条线段所在的$△ ACE$和$△ BCF$全等，已知$AC=BC$、公共角$∠ ACE=∠ BCF$，结合(1)的结论即可用ASA判定全等，进而得到对应边相等。
【解析】
(1) 已知$△ ABC$是等腰三角形，$CH$是底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AC=BC$，$∠ CAB=∠ CBA$，且$CH$垂直平分线段$AB$。
因为点$P$在线段$CH$上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得$PA=PB$，因此$∠ PAB=∠ PBA$。
又因为$∠ CAE=∠ CAB-∠ PAB$，$∠ CBF=∠ CBA-∠ PBA$，根据等式的性质，等量减等量差相等，所以$∠ CAE=∠ CBF$。
(2) 在$△ ACE$和$△ BCF$中，已经证得$∠ CAE=∠ CBF$，已知$AC=BC$，且$∠ ACE$和$∠ BCF$是公共角，因此满足ASA全等判定条件，可得$△ ACE≌△ BCF$。根据全等三角形对应边相等，所以$AE=BF$。
【答案】
(1) 证明：因为$△ ABC$为等腰三角形，所以$AC=BC$，所以$∠ CAB=∠ CBA$。 因为$CH$为底边上的高，所以$CH$也是底边上的中线，即$CH$垂直平分线段$AB$，所以$PA=PB$，所以$∠ PAB=∠ PBA$。 因为$∠ CAE = ∠ CAB − ∠ PAB$， $∠ CBF = ∠ CBA−∠ PBA$，所以$∠ CAE=∠ CBF$。
(2) 证明：在$△ ACE$和$△ BCF$中，$\begin{cases} ∠CAE=∠CBF, \\ AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCF, \end{cases}$所以$△ ACE≌△ BCF(\mathrm{ASA})$，所以$AE=BF$。
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形结合的基础证明题，解题核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质挖掘边角相等关系，再通过全等三角形判定完成线段相等的推导，需要注意几何证明的逻辑严谨性，每一步推导都要有对应的定理作为依据。
【难度系数】
0.7
要证明(1)中$∠ CAE=∠ CBF$，首先利用等腰三角形的性质可得$AC=BC$、$∠ CAB=∠ CBA$；再结合$CH$是等腰三角形底边上的高，根据三线合一可知$CH$垂直平分$AB$，点$P$在$CH$上则$PA=PB$，可得$∠ PAB=∠ PBA$，通过两个等角分别作差即可得证。要证明(2)中$AE=BF$，可证两条线段所在的$△ ACE$和$△ BCF$全等，已知$AC=BC$、公共角$∠ ACE=∠ BCF$，结合(1)的结论即可用ASA判定全等，进而得到对应边相等。
【解析】
(1) 已知$△ ABC$是等腰三角形，$CH$是底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AC=BC$，$∠ CAB=∠ CBA$，且$CH$垂直平分线段$AB$。
因为点$P$在线段$CH$上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得$PA=PB$，因此$∠ PAB=∠ PBA$。
又因为$∠ CAE=∠ CAB-∠ PAB$，$∠ CBF=∠ CBA-∠ PBA$，根据等式的性质，等量减等量差相等，所以$∠ CAE=∠ CBF$。
(2) 在$△ ACE$和$△ BCF$中，已经证得$∠ CAE=∠ CBF$，已知$AC=BC$，且$∠ ACE$和$∠ BCF$是公共角，因此满足ASA全等判定条件，可得$△ ACE≌△ BCF$。根据全等三角形对应边相等，所以$AE=BF$。
【答案】
(1) 证明：因为$△ ABC$为等腰三角形，所以$AC=BC$，所以$∠ CAB=∠ CBA$。 因为$CH$为底边上的高，所以$CH$也是底边上的中线，即$CH$垂直平分线段$AB$，所以$PA=PB$，所以$∠ PAB=∠ PBA$。 因为$∠ CAE = ∠ CAB − ∠ PAB$， $∠ CBF = ∠ CBA−∠ PBA$，所以$∠ CAE=∠ CBF$。
(2) 证明：在$△ ACE$和$△ BCF$中，$\begin{cases} ∠CAE=∠CBF, \\ AC=BC, \\ ∠ACE=∠BCF, \end{cases}$所以$△ ACE≌△ BCF(\mathrm{ASA})$，所以$AE=BF$。
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是等腰三角形与全等三角形结合的基础证明题，解题核心是熟练运用等腰三角形三线合一的性质挖掘边角相等关系，再通过全等三角形判定完成线段相等的推导，需要注意几何证明的逻辑严谨性，每一步推导都要有对应的定理作为依据。
【难度系数】
0.7
5.“三等分角”大约是在公元前5世纪由古希腊人提出来的.如图,借助“三等分角仪”能三等分任一角,这个三等分角仪由两根有槽的棒$OA$,$OB$组成,两根棒在点$O$处相连并可绕点$O$转动,点$C$固定,$OC=CD=DE$,点$D$,$E$可在槽中滑动,若$∠ BDE=75°$,则$∠ O$的度数是（
A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
C
）A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
5.C 【解析】因为OC=CD=DE,所以∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC,所以∠DCE=∠DEC=∠O+∠ODC=2∠O. 因为∠O+∠OED=3∠O=∠BDE=75°,所以∠O=25°.
解析
【分析】
首先观察题目给出的边相等条件：OC=CD=DE，可联想到等腰三角形“等边对等角”的性质，先设∠O的度数为x，逐步推导其他角与x的数量关系；再结合三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，找到已知角∠BDE和x的等量关系，最后解方程即可求出∠O的度数。
【解析】
解：
∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC（等腰三角形等边对等角），
∵∠DCE是△OCD的外角，
∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠O，
∴∠DEC=∠DCE=2∠O，
又
∵∠BDE是△ODE的外角，
∴∠BDE=∠O+∠DEC=∠O+2∠O=3∠O，
已知∠BDE=75°，
∴3∠O=75°，
解得∠O=25°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题以三等分角仪为背景，考查等腰三角形性质和三角形外角性质的综合应用，解题的关键是灵活运用相关性质找到角与角之间的数量关系，建立等式求解。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的边相等条件：OC=CD=DE，可联想到等腰三角形“等边对等角”的性质，先设∠O的度数为x，逐步推导其他角与x的数量关系；再结合三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，找到已知角∠BDE和x的等量关系，最后解方程即可求出∠O的度数。
【解析】
解：
∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC（等腰三角形等边对等角），
∵∠DCE是△OCD的外角，
∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠O，
∴∠DEC=∠DCE=2∠O，
又
∵∠BDE是△ODE的外角，
∴∠BDE=∠O+∠DEC=∠O+2∠O=3∠O，
已知∠BDE=75°，
∴3∠O=75°，
解得∠O=25°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题以三等分角仪为背景，考查等腰三角形性质和三角形外角性质的综合应用，解题的关键是灵活运用相关性质找到角与角之间的数量关系，建立等式求解。
【难度系数】
0.7
6.如图,在△ABC中,AB=BC,DF⊥BC于点D,交AC于点F.F是AC的中点,求证:∠CFD=$\frac{1}{2}$∠B.
答案
6.【证明】如图,连接BF.
因为AB=BC,且F是AC的中点,所以BF⊥AC,∠ABF=∠CBF=$\frac{1}{2}∠ABC$,所以∠CFD+∠BFD=90°. 因为DF⊥BC,所以∠BDF=90°,所以∠CBF+∠BFD=90°,所以∠CFD=∠CBF,所以∠CFD=$\frac{1}{2}∠ABC$.解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：已知△ABC是等腰三角形（AB=BC），且F是AC的中点，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此优先考虑作辅助线连接BF，通过该辅助线可同时得到BF平分∠ABC、BF⊥AC两个结论；接下来结合DF⊥BC的垂直条件，两个直角三角形中存在共同的余角∠BFD，根据“同角的余角相等”即可建立∠CFD和∠CBF的等量关系，最终推导出待证结论。
【解析】
证明：如图，连接BF。
因为AB=BC，F是AC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=$\frac{1}{2}∠ABC$，因此∠CFD+∠BFD=90°。
又因为DF⊥BC，所以∠BDF=90°，在Rt△BDF中可得∠CBF+∠BFD=90°。
根据同角的余角相等，可得∠CFD=∠CBF，因此∠CFD=$\frac{1}{2}∠ABC$，即∠CFD=$\frac{1}{2}$∠B。
【答案】
【证明】如图,连接BF. 因为AB=BC,且F是AC的中点,所以BF⊥AC,∠ABF=∠CBF=$\frac{1}{2}∠ABC$,所以∠CFD+∠BFD=90°. 因为DF⊥BC,所以∠BDF=90°,所以∠CBF+∠BFD=90°,所以∠CFD=∠CBF,所以∠CFD=$\frac{1}{2}∠ABC$.
【知识点】
等腰三角形三线合一，直角三角形两锐角互余，同角的余角相等
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题型，解题核心是结合等腰三角形边上中点的条件构造辅助线，利用“三线合一”得到角的倍分关系，再结合余角性质完成角的等量代换，能够帮助学生熟练掌握等腰三角形相关辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题干条件：已知△ABC是等腰三角形（AB=BC），且F是AC的中点，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此优先考虑作辅助线连接BF，通过该辅助线可同时得到BF平分∠ABC、BF⊥AC两个结论；接下来结合DF⊥BC的垂直条件，两个直角三角形中存在共同的余角∠BFD，根据“同角的余角相等”即可建立∠CFD和∠CBF的等量关系，最终推导出待证结论。
【解析】
证明：如图，连接BF。
因为AB=BC，F是AC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=$\frac{1}{2}∠ABC$，因此∠CFD+∠BFD=90°。
又因为DF⊥BC，所以∠BDF=90°，在Rt△BDF中可得∠CBF+∠BFD=90°。
根据同角的余角相等，可得∠CFD=∠CBF，因此∠CFD=$\frac{1}{2}∠ABC$，即∠CFD=$\frac{1}{2}$∠B。
【答案】
【证明】如图,连接BF.
因为AB=BC,且F是AC的中点,所以BF⊥AC,∠ABF=∠CBF=$\frac{1}{2}∠ABC$,所以∠CFD+∠BFD=90°. 因为DF⊥BC,所以∠BDF=90°,所以∠CBF+∠BFD=90°,所以∠CFD=∠CBF,所以∠CFD=$\frac{1}{2}∠ABC$.【知识点】
等腰三角形三线合一，直角三角形两锐角互余，同角的余角相等
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题型，解题核心是结合等腰三角形边上中点的条件构造辅助线，利用“三线合一”得到角的倍分关系，再结合余角性质完成角的等量代换，能够帮助学生熟练掌握等腰三角形相关辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7
7.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=10$,$BC=12$,$AD=8$,$AD$是$∠ BAC$的平分线.若$P$,$Q$分别是$AD$和$AC$上的动点,则$PC+PQ$的最小值是
9.6
.答案
7. 9.6 【解析】如图,连接PB,
因为AB=AC,AD是∠BAC的平分线,所以AD垂直平分BC,所以PB=PC,所以PC+PQ = PB + PQ≥BQ,所以当B,P,Q三点共线且BQ⊥AC时,PB+PQ的值最小,即PC+PQ的最小值为BQ的长. 因为$S_{△ABC}=\frac{1}{2} BC · AD=\frac{1}{2} AC · BQ$,所以$BQ=\frac{BC · AD}{AC}=\frac{12×8}{10}=9.6$,即PC+PQ的最小值是9.6.解析
【分析】
这是一道线段和最小值的问题，解题思路如下：首先利用等腰三角形的性质转化线段，已知AB=AC，AD是∠BAC的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可知AD垂直平分BC，因此PC和PB关于AD对称，即PC=PB，可将待求的PC+PQ转化为PB+PQ；其次确定最小值的情况，根据两点之间线段最短和垂线段最短的结论，当B、P、Q三点共线且BQ⊥AC时，PB+PQ的长度等于B到AC的垂线段长度，此时取值最小；最后用等面积法计算BQ的长度，利用△ABC面积的两种不同计算方式即可求出BQ，也就是PC+PQ的最小值。
【解析】
如图，连接PB，
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴PB=PC，
∴PC+PQ = PB + PQ。
根据两点之间线段最短及垂线段最短可知：当B、P、Q三点共线且BQ⊥AC时，PB+PQ的值最小，即PC+PQ的最小值为BQ的长。
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2} BC · AD=\frac{1}{2} AC · BQ$，
将BC=12，AD=8，AC=10代入得：
$BQ=\frac{BC · AD}{AC}=\frac{12×8}{10}=9.6$，
即PC+PQ的最小值是9.6。
【答案】
9.6
【知识点】
等腰三角形的性质，最短路径问题，等面积法求高
【点评】
本题将等腰三角形的性质与最短路径问题相结合，解题核心是利用轴对称实现线段的转化，将两条动线段的和转化为点到直线的垂线段长度，再借助等面积法计算高，是最值类问题的典型考法，需要重点掌握线段转化的思路。
【难度系数】
0.6
这是一道线段和最小值的问题，解题思路如下：首先利用等腰三角形的性质转化线段，已知AB=AC，AD是∠BAC的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可知AD垂直平分BC，因此PC和PB关于AD对称，即PC=PB，可将待求的PC+PQ转化为PB+PQ；其次确定最小值的情况，根据两点之间线段最短和垂线段最短的结论，当B、P、Q三点共线且BQ⊥AC时，PB+PQ的长度等于B到AC的垂线段长度，此时取值最小；最后用等面积法计算BQ的长度，利用△ABC面积的两种不同计算方式即可求出BQ，也就是PC+PQ的最小值。
【解析】
如图，连接PB，
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴PB=PC，
∴PC+PQ = PB + PQ。
根据两点之间线段最短及垂线段最短可知：当B、P、Q三点共线且BQ⊥AC时，PB+PQ的值最小，即PC+PQ的最小值为BQ的长。
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2} BC · AD=\frac{1}{2} AC · BQ$，
将BC=12，AD=8，AC=10代入得：
$BQ=\frac{BC · AD}{AC}=\frac{12×8}{10}=9.6$，
即PC+PQ的最小值是9.6。
【答案】
9.6
【知识点】
等腰三角形的性质，最短路径问题，等面积法求高
【点评】
本题将等腰三角形的性质与最短路径问题相结合，解题核心是利用轴对称实现线段的转化，将两条动线段的和转化为点到直线的垂线段长度，再借助等面积法计算高，是最值类问题的典型考法，需要重点掌握线段转化的思路。
【难度系数】
0.6
