1.(2024·甘肃兰州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB= ()


A.100°
B.115°
C.130°
D.145°

1.B 【解析】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,所以∠B=∠C=$\frac{1}{2}×(180°−130°)=25°$. 因为DA⊥AC,所以∠DAC=90°,所以∠ADB=∠DAC+∠C=90°+25°=115°.

【分析】
解题时首先观察到△ABC是等腰三角形（AB=AC），先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和为180°，计算出底角∠C的度数；再根据DA⊥AC得到∠DAC=90°，最后发现∠ADB是△ADC的外角，利用三角形外角“等于与它不相邻的两个内角之和”的性质即可求出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，
∴根据等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和定理，可得：
$∠ B=∠ C=\frac{1}{2}×(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}×(180°-130°)=25°$
∵DA⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴$∠ ADB=∠ DAC+∠ C=90°+25°=115°$
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，解题的关键是先利用等腰三角形的性质求出底角度数，再结合三角形外角的性质计算目标角，整体逻辑清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.8

【典型例题 2】如图, 在 $△ ABC$ 中, $AB=AC$, D 是 BC 的中点, 连接 AD, 若 $∠ C=36°$, 求 $∠ BAD$ 的度数.

【解】因为 $AB=AC, ∠ C=36°$, 所以 $∠ B=∠ C=36°$(等边对等角). 因为 D 是 BC 的中点, 所以 $BD=CD$. 又 $AB=AC$, 所以 $AD ⊥ BC$(等腰三角形“三线合一”), 所以 $∠ ADB=90°$, 所以 $∠ BAD=90° - 36° = 54°$.
规律方法 1. 应用这一性质的前提条件必须是等腰三角形, 且必须是底边上的高、中线及顶角平分线才互相重合, 若是一腰上的“三线”则不一定重合.
2. 等腰三角形“三线合一”的性质可以用来证明角相等、线段相等或垂直, 已知“一线”就可得到另外“两线”. 并且利用等腰三角形的性质解题, 往往要比利用三角形全等更简捷.

解：
∵ AB=AC，∠C=36°，
∴ ∠B=∠C=36°（等边对等角）。
∵ D是BC的中点，AB=AC，
∴ AD⊥BC（等腰三角形“三线合一”），
∴ ∠ADB=90°，
∴ ∠BAD=90°-∠B=90°-36°=54°。

【分析】
拿到题目首先梳理已知条件：由AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，首先结合等腰三角形“等边对等角”的性质，可由已知的∠C度数得到∠B的度数；其次D是BC中点，说明AD是等腰三角形底边BC上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，底边上的中线同时是底边上的高，即可得到AD⊥BC，△ADB为直角三角形；最后利用直角三角形两锐角互余的关系，用90°减去∠B的度数就能求出∠BAD的度数。
【解析】
∵ AB=AC，∠C=36°，
∴ ∠B=∠C=36°（等边对等角）。
∵ D是BC的中点，AB=AC，
∴ AD⊥BC（等腰三角形“三线合一”），
∴ ∠ADB=90°，
∴ ∠BAD=90°-∠B=90°-36°=54°。
【答案】
$\boldsymbol{54°}$
【知识点】
等边对等角；等腰三角形三线合一；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题型，核心考查对等腰三角形两大基础性质的理解与运用，无需证明全等，直接对应性质推导即可简化计算过程，掌握等腰三角形的核心性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8

2.(2024·云南中考)已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高.若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为 ()

A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.3
D.$\frac{7}{2}$

2.C 【解析】因为AF是等腰三角形ABC底边BC上的高,所以AF是顶角∠BAC的平分线.又点F到直线AB的距离为3,所以点F到直线AC的距离为3.

【分析】
解题时先从题目给出的等腰三角形、底边上的高这两个已知条件入手，首先回忆等腰三角形“三线合一”的性质，可推导出底边上的高同时是顶角的角平分线；再结合角平分线的核心性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知点F到AB的距离，就能直接得出点F到AC的距离。
【解析】
∵AF是等腰△ABC底边BC上的高，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AF平分∠BAC，即点F在∠BAC的角平分线上。
又
∵角平分线上的点到角两边的距离相等，且已知点F到直线AB的距离为3，
∴点F到直线AC的距离与点F到直线AB的距离相等，即为3。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形三线合一；角平分线的性质
【点评】
本题是基础性质应用题，将等腰三角形的特征与角平分线的性质结合考查，不需要复杂计算，熟记相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.9

1. 如图1，已知$∠ AOB$，只用直尺和圆规，如何判断$∠ AOB$是不是直角？如图2，小意在$OA$，$OB$上分别取点$C$，$D$，以点$C$为圆心，$CD$为半径画弧，交$OB$的反向延长线于点$E$. 若测量得$OE=OD$，则$∠ AOB=90°$. 小意判断的依据是（）


A.等边对等角
B.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
C.垂线段最短
D.等腰三角形“三线合一”

1.D

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据尺规作图的操作，同圆半径相等可得到CE=CD，即△CDE是等腰三角形；再结合OE=OD可知点O是DE的中点，即CO是等腰△CDE底边DE上的中线；最后结合等腰三角形的性质，底边上的中线与底边上的高重合，就能推出CO⊥DE，即∠AOB为直角，对应相关性质即可选出答案。
【解析】
1. 由尺规作图的步骤可知，CE、CD都是以C为圆心的圆的半径，因此$CE=CD$，$△ CDE$为等腰三角形，底边为$DE$。
2. 已知$OE=OD$，说明点$O$是线段$DE$的中点，因此$CO$是等腰$△ CDE$底边$DE$上的中线。
3. 根据等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的中线同时是底边上的高，因此$CO⊥ DE$，即$∠ AOB=∠ COD=90°$。
因此小意判断的依据是等腰三角形“三线合一”。
【答案】
D
【知识点】
1. 等腰三角形“三线合一”
2. 尺规作图基本操作
【点评】
本题结合尺规操作考查等腰三角形性质的应用，解题的关键是先根据作图和已知条件确定等腰三角形及底边中线，再结合性质推导垂直关系，属于对基础性质理解应用的考查，熟练掌握等腰三角形相关性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

2.(2024·黑龙江哈尔滨中考)如图,在△ABC中,AB=AC,分别以点A和点B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN交BC于点D,连接AD.若∠B=50°,则∠DAC= ()

A.20°
B.50°
C.30°
D.80°

2.C 【解析】因为AB=AC,∠B=50°,所以∠C=∠B=50°,所以∠BAC=180°−∠B−∠C=80°. 由作图可知DM是线段AB的垂直平分线,所以DA=DB,所以∠BAD=∠B=50°,所以∠DAC=∠BAC−∠BAD=80°−50°=30°.

【分析】
解题可按以下思路逐步推导：第一步，先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知∠B的度数，求出∠C和顶角∠BAC的度数；第二步，根据题中的尺规作图特征，判断出MN是线段AB的垂直平分线，再利用线段垂直平分线的性质得到DA=DB，进而推出∠BAD=∠B；第三步，用∠BAC的度数减去∠BAD的度数，即可求出∠DAC的大小。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠B=50°，
∴∠C=∠B=50°（等腰三角形等边对等角），
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−50°−50°=80°。
由作图痕迹可知，MN是线段AB的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得DA=DB，
∴∠BAD=∠B=50°（等边对等角），
∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=80°−50°=30°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，将尺规作图识别与等腰三角形、垂直平分线的性质结合考查，解题核心是准确判断作图类型，灵活运用相关性质计算角度。
【难度系数】
0.8