1. 下列计算正确的是 （）

A.$( \dfrac{b^3}{2a} )^2 = \dfrac{b^5}{2a^2}$
B.$( \dfrac{-3b}{2a} )^2 = \dfrac{-9b^2}{4a^2}$
C.$( \dfrac{2y}{-3x} )^3 = -\dfrac{8y^3}{27x^3}$
D.$( \dfrac{3x}{x - a} )^2 = \dfrac{9x^2}{x^2 - a^2}$

1. C

【分析】
本题考查分式乘方的运算，解题思路是依据分式乘方的运算法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方，结合乘方的符号规律、幂的乘方法则以及整式乘法公式，逐个验证四个选项的计算是否正确，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
根据分式乘方法则$(\frac{A}{B})^n=\frac{A^n}{B^n}$（$n$为正整数，$B≠0$），逐项分析：
选项A：$(\frac{b^3}{2a})^2=\frac{(b^3)^2}{(2a)^2}=\frac{b^{3×2}}{2^2a^2}=\frac{b^6}{4a^2}$，与选项给出的$\frac{b^5}{2a^2}$不符，计算错误。
选项B：$(\frac{-3b}{2a})^2=\frac{(-3b)^2}{(2a)^2}=\frac{9b^2}{4a^2}$，偶次乘方结果为正，与选项给出的$\frac{-9b^2}{4a^2}$不符，计算错误。
选项C：$(\frac{2y}{-3x})^3=\frac{(2y)^3}{(-3x)^3}=\frac{8y^3}{-27x^3}=-\frac{8y^3}{27x^3}$，与选项计算结果一致，计算正确。
选项D：$(\frac{3x}{x-a})^2=\frac{(3x)^2}{(x-a)^2}=\frac{9x^2}{x^2-2ax+a^2}$，分母是完全平方而非平方差，与选项给出的$\frac{9x^2}{x^2-a^2}$不符，计算错误。
综上，计算正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式乘方运算，幂的运算，完全平方公式
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题的关键是熟练掌握分式乘方的运算法则，注意区分偶次乘方和奇次乘方的符号，同时要避免混淆完全平方公式和平方差公式。
【难度系数】
0.8

2. 计算：$( -\dfrac{2}{x} )^2 · \dfrac{x}{4} = $ .

2. $\frac{1}{x}$

【分析】
解决这道题需遵循分式混合运算的顺序，先算乘方，再算乘法。首先回忆分式乘方的运算规则：分式乘方要把分子、分母分别乘方，先计算出$(-\dfrac{2}{x})^2$的结果，再根据分式乘法的规则，将两个分式的分子相乘的积作为分子、分母相乘的积作为分母，最后约去分子分母的公因式即可得到最终结果。
【解析】
第一步：计算乘方
根据分式乘方法则，负数的偶次幂为正，可得：
$(-\dfrac{2}{x})^2=\dfrac{(-2)^2}{x^2}=\dfrac{4}{x^2}$
第二步：计算分式乘法
将上一步结果与$\dfrac{x}{4}$相乘，分子乘分子，分母乘分母：
$\dfrac{4}{x^2} · \dfrac{x}{4} = \dfrac{4 · x}{x^2 · 4}$
第三步：约分
约去分子分母的公因式4和$x$（$x≠0$），可得：
$\dfrac{4 · x}{x^2 · 4} = \dfrac{1}{x}$
【答案】
$\dfrac{1}{x}$
【知识点】
分式乘方运算；分式乘法运算；约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式运算的顺序和运算法则，计算时要注意乘方的符号处理，约分的时候要找准分子分母的公因式，细心计算即可避免出错。
【难度系数】
0.9

3. 若$(\dfrac{m}{2x})^3 = \dfrac{27y^6}{8x^3}$，则$m$的值为。

3. $3y^2$

【分析】
解决本题的核心思路是先利用分式乘方的运算法则化简等式左边的式子，再根据两个分式相等、分母相同时分子也相等的性质，得到关于m的等式，最后结合幂的乘方的逆运算求出m的值。具体思考步骤：第一步先处理左边的三次方运算，把分子分母分别乘方展开；第二步对比等式左右两边的分式，发现分母相同，因此分子必须相等；第三步将右边的分子改写成某个代数式的三次方的形式，即可得到m的值。
【解析】
解：根据分式乘方的运算法则$(\dfrac{a}{b})^n=\dfrac{a^n}{b^n}$，化简等式左边：
$(\dfrac{m}{2x})^3 = \dfrac{m^3}{(2x)^3} = \dfrac{m^3}{8x^3}$
由题意得$\dfrac{m^3}{8x^3} = \dfrac{27y^6}{8x^3}$，两个分式分母相同且均不为0，因此分子相等，即：
$m^3 = 27y^6$
又因为$27y^6 = 3^3·(y^2)^3=(3y^2)^3$，所以：
$m^3=(3y^2)^3$
因此$m=3y^2$
【答案】
$3y^2$
【知识点】
分式乘方运算，幂的乘方运算，积的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查分式乘方及幂的相关运算法则的应用，解题时注意先化简再对比等式两边的结构，熟练掌握相关运算法则就能快速得到结果。
【难度系数】
0.8

4. 计算:
(1)$\frac{2a}{b^2} · \frac{-3b}{4a^2} ÷ \frac{15a}{b}$;
(2)$( \frac{a^2}{-2b} ) ÷ ( -\frac{a^2}{b} )^3 · \frac{b}{2}$.

(1) 解:原式 = $-\frac{2a}{b^2} · \frac{3b}{4a^2} · \frac{b}{15a} = -\frac{1}{10a^2}$。
(2) 解:原式 = $\frac{a^2}{-2b} ÷ (-\frac{a^6}{b^3}) · \frac{b}{2} = \frac{a^2}{-2b} · (-\frac{b^3}{a^6}) · \frac{b}{2} = \frac{b^3}{4a^4}$。

【分析】
分式乘除混合运算的解题思路：①先处理运算形式：所有除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；②若式中含有乘方，先算乘方，分式乘方要将分子、分母分别乘方，同时注意符号的判断（负数的奇次幂为负，偶次幂为正）；③确定整体运算的符号后，对分子、分母的公因式进行约分，最后化为最简分式即可。
第(1)题无乘方运算，直接按顺序将除法转乘法后约分计算；第(2)题先计算分式的乘方，再将除法转乘法，最后约分计算。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，确定符号后约分：
原式 = $-\frac{2a}{b^2} · \frac{3b}{4a^2} · \frac{b}{15a}$
分子因式相乘得$6ab^2$，分母因式相乘得$60a^3b^2$，约分后可得：
$-\frac{6ab^2}{60a^3b^2}=-\frac{1}{10a^2}$
(2) 先计算乘方，再将除法转化为乘法，最后约分：
先算乘方：$(-\frac{a^2}{b})^3=-\frac{(a^2)^3}{b^3}=-\frac{a^6}{b^3}$
原式 = $\frac{a^2}{-2b} ÷ (-\frac{a^6}{b^3}) · \frac{b}{2} = \frac{a^2}{-2b} · (-\frac{b^3}{a^6}) · \frac{b}{2}$
符号判断：两个负号相乘得正，分子因式相乘得$a^2b^4$，分母因式相乘得$4a^6b$，约分后可得：
$\frac{a^2b^4}{4a^6b}=\frac{b^3}{4a^4}$
【答案】
(1) $-\frac{1}{10a^2}$；(2) $\frac{b^3}{4a^4}$
【知识点】
分式乘除运算，分式乘方运算，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查运算顺序和符号判断能力，解题时要注意先算乘方、再算乘除，除法转乘法时不要漏写倒数，约分要彻底，避免因系数或幂的运算失误丢分。
【难度系数】
0.7

5. 先化简，再求值：$\dfrac{(a - b)^3}{ab} ÷ (a - b)^2 · (\dfrac{ab}{a - b})^2$，其中$a = 1, b = 2.$

解:原式 = $\frac{(a-b)^3}{ab} ÷ (a-b)^2 · \frac{a^2b^2}{(a-b)^2} = \frac{(a-b)^3}{ab} · \frac{1}{(a-b)^2} · \frac{a^2b^2}{(a-b)^2} = \frac{ab}{a-b}$。
当$a=1,b=2$时,原式 = $\frac{1×2}{1-2} = -2$。

【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题遵循分式混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，同级运算从左到右依次计算。首先计算式子中的乘方项，再将除法运算转化为乘法运算（除以不为0的数等于乘它的倒数），接着通过约分化简得到最简分式，最后将$a$、$b$的取值代入最简分式计算结果即可。
【解析】
解：先计算乘方，再将除法转化为乘法：
原式$=\frac{(a-b)^3}{ab} ÷ (a-b)^2 · \frac{a^2b^2}{(a-b)^2}$
$=\frac{(a-b)^3}{ab} · \frac{1}{(a-b)^2} · \frac{a^2b^2}{(a-b)^2}$
对分子分母约分，约去公因式$ab(a-b)^3$，可得：
原式$=\frac{ab}{a - b}$
将$a=1$，$b=2$代入化简后的式子：
原式$=\frac{1×2}{1 - 2}=\frac{2}{-1}=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1.分式乘除运算 2.分式的乘方 3.分式化简求值
【点评】
本题重点考查分式混合运算的运算顺序和约分技巧，运算时要注意先算乘方再算乘除，除法转换为乘法时不要出错，约分时要找全分子分母的公因式，代入数值计算时要注意符号的处理。
【难度系数】
0.8

6. 已知 $a^2 + b^2 -4a +6b +13 =0$，求 $\frac{a^2 -6a +9}{4 -b^2} ÷ \frac{3 -a}{2 +b} · \frac{a^2}{3a -9}$ 的值。

解:由$a^2 + b^2 -4a +6b +13 =0$,得$(a^2 -4a +4)+(b^2 +6b +9)=0$,即$(a-2)^2 + (b+3)^2 =0$。
$\because (a-2)^2 \ge 0,(b+3)^2 \ge 0$,
$\therefore a-2=0,b+3=0$. 解得$a=2,b=-3$。
$\therefore$ 原式 = $\frac{(a-3)^2}{(2-b)(2+b)} · \frac{2+b}{-(a-3)} · \frac{a^2}{3(a-3)} = -\frac{a^2}{3(2-b)} = \frac{a^2}{3b-6} = \frac{2^2}{3×(-3)-6} = -\frac{4}{15}$。

【分析】
解题分两大步骤：第一步先求a、b的值，观察已知等式左边是含有a、b的二次式，可通过拆项配方转化为两个平方和为0的形式，再根据偶次方的非负性，两个非负数相加为0则每个数都为0，即可求出a、b的取值；第二步化简所求的分式乘除混合运算，先将所有分子、分母因式分解，再把除法转化为乘法，约分化简为最简形式后代入a、b的值计算，这样可以降低计算量，减少出错概率，注意处理如3-a这类互为相反数的因式时不要漏了负号。
【解析】
1. 求a、b的值：
对已知等式配方：
$a^2 + b^2 -4a +6b +13 =0$
将13拆为4和9，分组得：
$(a^2 -4a +4)+(b^2 +6b +9)=0$
写成完全平方形式：
$(a-2)^2 + (b+3)^2 =0$
∵ 偶次平方具有非负性，即$(a-2)^2 \ge 0$，$(b+3)^2 \ge 0$，
∴ 只有当两个平方同时为0时等式成立，即：
$a-2=0$，$b+3=0$
解得：$a=2$，$b=-3$。
2. 化简分式运算：
先对原式各部分因式分解，同时将除法转化为乘法：
原式 = $\frac{(a-3)^2}{(2-b)(2+b)} ÷ \frac{3 -a}{2 +b} · \frac{a^2}{3a -9}$
= $\frac{(a-3)^2}{(2-b)(2+b)} · \frac{2 +b}{3 -a} · \frac{a^2}{3(a - 3)}$
注意$3-a = -(a-3)$，代入变形后约分：
= $\frac{(a-3)^2}{(2-b)(2+b)} · \frac{2 +b}{-(a - 3)} · \frac{a^2}{3(a - 3)}$
约掉分子分母的公因式$(a-3)^2$、$(2+b)$，可得：
= $-\frac{a^2}{3(2 - b)}$
整理得：$\frac{a^2}{3(b - 2)}$
3. 代入$a=2$，$b=-3$计算：
原式 = $\frac{2^2}{3×(-3 - 2)} = \frac{4}{3×(-5)} = -\frac{4}{15}$
【答案】
$-\frac{4}{15}$
【知识点】
配方法的应用；偶次方的非负性；分式的乘除运算
【点评】
本题是代数基础综合题，既考查了利用配方法结合非负数性质求未知参数的能力，又考查了分式乘除混合运算的化简技巧，解题时优先化简分式再代值计算可大幅降低计算难度，需格外注意互为相反数的因式变形时的符号问题，避免因符号疏漏失分。
【难度系数】
0.7