知识体系构建
全等三角形
全等三角形及其性质
全等形 — 全等三角形的概念
全等三角形的性质：对应边①,对应角②
三角形全等的判定
三角形全等的判定
SAS (边角边)
ASA (角边角)
AAS (角角边)
SSS (边边边)
HL (斜边、直角边)
注意：AAA,SSA不能判定三角形全等
判定方法的选择
已知两边相等 —
找夹角相等③()
找另一边相等(SSS)
找直角相等④()
已知一边一角相等
找另一边相等⑤()
找另一角相等(ASA，AAS)
已知两角相等
找夹边相等⑥()
找任一角的对边相等⑦()
尺规作图
角的平分线
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离⑧
角的平分线的判定：角的内部到角两边距离⑨的点在角的平分线上

1. 相等
2. 相等
3. SAS
4. HL 或 SAS
5. SAS
6. ASA
7. AAS
8. 相等
9. 相等

【分析】
这是全等三角形章节的知识体系梳理题，解题时只需回忆对应基础知识点，逐个匹配空缺描述即可：
1. 全等三角形性质类空缺，直接回忆对应边、对应角的特征填写；
2. 全等判定方法选择类空缺，根据给出的已知条件，匹配对应判定定理的适用条件即可；
3. 角平分线相关空缺，直接回忆角平分线的性质、判定定理内容填写。
【解析】
①全等三角形的性质为对应边相等，故填相等；
②全等三角形的性质为对应角相等，故填相等；
③已知两边相等，找到两边的夹角相等，符合“两边及其夹角对应相等”的判定，即SAS；
④已知两边相等，找到直角相等时，若为直角三角形可适用HL判定，也可将直角作为两边的夹角适用SAS判定，故填HL或SAS；
⑤已知一边一角相等，找到另一边相等，满足“两边及其夹角对应相等”的条件，对应SAS判定；
⑥已知两角相等，找到两角的夹边相等，符合“两角及其夹边对应相等”的判定，即ASA；
⑦已知两角相等，找到任意一角的对边相等，符合“两角及其中一角的对边对应相等”的判定，即AAS；
⑧根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等，故填相等；
⑨根据角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，故填相等。
【答案】
①相等；②相等；③SAS；④HL或SAS；⑤SAS；⑥ASA；⑦AAS；⑧相等；⑨相等
【知识点】
全等三角形的性质；全等三角形的判定；角平分线的性质与判定
【点评】
本题是全等三角形章节的基础知识点梳理题，能够帮助学生搭建完整的知识框架，熟练掌握这些基础概念和定理是解决全等证明、角平分线应用类题目的核心前提。
【难度系数】
0.9

1. 若$△ MNP ≌ △ MNQ$，且$MN=7$，$NP=6$，$PM=5$，则$MQ$的长为（）

A.7或6
B.6
C.5
D.5或6

1. C

【分析】
解题时首先回忆全等三角形的相关性质：全等三角形的对应边相等，且全等三角形的符号表示中，对应顶点的字母是按照对应顺序书写的。我们首先根据全等的书写格式确定两个三角形的对应顶点，再找到MQ对应的全等三角形的边，代入已知边长即可求出MQ的长度。
【解析】
解：
∵△MNP ≌ △MNQ，根据全等三角形的书写规则，对应顶点按顺序对应，可得点P与点Q是对应顶点。
根据全等三角形对应边相等的性质，可知PM与MQ是对应边，即MQ=PM。
已知PM=5，
∴MQ=5。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的表示规则；全等三角形对应边相等
【点评】
本题考查全等三角形的基础应用，解题核心是明确全等三角形书写时的顶点对应关系，避免因找错对应边出现误选。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在$△ ABC$和$△ DEF$中,$∠ B = ∠ DEF$,$AB = DE$,添加下列条件后,仍然不能证明$△ ABC≌△ DEF$的是 ()

A.$∠ A = ∠ D$
B.$AC// DF$
C.$BE = CF$
D.$AC = DF$

2. D

【分析】
解题时首先回忆三角形全等的判定定理：ASA、AAS、SAS、SSS，已知△ABC和△DEF中已有∠B=∠DEF，AB=DE，即一组对应边相等、一组对应角相等，接下来逐一分析各选项添加的条件，判断能否结合已知条件满足全等判定定理，不能满足的即为所求答案。
【解析】
已知在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，逐一分析选项：
1. 选项A：添加∠A=∠D，可结合已知条件通过ASA（角边角）判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
2. 选项B：添加AC//DF，根据“两直线平行，同位角相等”可得∠ACB=∠F，结合已知条件可通过AAS（角角边）判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
3. 选项C：添加BE=CF，根据等式的性质，BE+EC=CF+EC，即BC=EF，结合已知条件可通过SAS（边角边）判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
4. 选项D：添加AC=DF，此时条件为AB=DE，∠B=∠DEF，AC=DF，属于“边边角（SSA）”的组合，SSA不能判定一般三角形全等，因此无法证明△ABC≌△DEF，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 平行线的性质
3. 等式的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的应用，核心是要明确各判定定理的适用条件，注意“边边角（SSA）”不能作为一般三角形全等的判定依据，解题时需结合已知条件逐一验证选项，避免混淆判定规则。
【难度系数】
0.7

3. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则$∠1+∠2+∠3$的度数为（）

A.$135°$
B.$105°$
C.$90°$
D.$75°$

3. A

【分析】
解题时首先观察方格纸的特征：①∠2所在的三角形是等腰直角三角形，可直接得到∠2的度数；②观察∠1和∠3所在的直角三角形，可通过边长相等证明两三角形全等，进而得到∠1与∠3的和为90°，最后将三个角度相加即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 求∠2的度数：∠2在直角边长均为2的等腰直角三角形中，等腰直角三角形的锐角为45°，因此$∠ 2=45°$。
2. 求∠1+∠3的度数：包含∠1的直角三角形两条直角边分别为1、2，包含∠3的直角三角形两条直角边也为2、1，且两个三角形的直角均为$90°$，根据SAS判定定理，两个直角三角形全等。因此∠1与∠3的余角相等，可得$∠ 1 + ∠ 3 = 90°$。
3. 三个角的和为：$∠ 1+∠ 2+∠ 3=90°+45°=135°$。
【答案】
A
【知识点】
三角形全等的判定，等腰直角三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题结合方格纸考查角度计算，解题核心是利用方格的边长特征找到全等三角形，将未知角度关系转化为已知的特殊角度，是几何角度计算类的典型基础题。
【难度系数】
0.7

4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A = 90°$,$BE$是$△ ABC$的角平分线,$ED ⊥ BC$于点$D$,$CD = 4$,$△ CDE$周长为$12$,则$AC$的长是 ()


A.1
B.8
C.16
D.6

4. B

【分析】
解题时先提取已知条件：BE是∠ABC的角平分线，∠A=90°即EA⊥AB，ED⊥BC，首先根据角平分线的性质可得AE=DE；再结合△CDE的周长公式，将DE替换为AE，即可将△CDE的周长转化为CD与AC的和，代入已知数值即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵BE是∠ABC的角平分线，∠A=90°（EA⊥AB），ED⊥BC
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$AE = DE$
∵△CDE的周长为12，即$CD + DE + CE = 12$，且$CD=4$
∴$DE + CE = 12 - CD = 12 - 4 = 8$
又
∵$AC = AE + CE$，且$AE=DE$
∴$AC = DE + CE = 8$
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查角平分线性质的应用，解题的关键是通过AE=DE的等量代换，将未知线段AC的长度和已知的三角形周长建立关联，无需复杂计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8

5. 如图,已知$BA=BC$,若判定$△ BAD≌△ BCD$,需要补充的一个条件是.

5. AD = CD(答案不唯一)

【分析】
要判定△BAD≌△BCD，首先梳理已知条件：题目已经给出BA=BC，且BD是△BAD和△BCD的公共边，因此可得两组边对应相等。结合全等三角形的判定定理，只需补充第三组边相等（用SSS判定），或者补充两组已知边的夹角相等（用SAS判定），即可证明两个三角形全等，任选一类条件补充即可。
【解析】
在△BAD和△BCD中：
已知BA=BC，BD为公共边，因此BD=BD。
若补充条件AD=CD，此时两个三角形三组边对应相等：
$\{\begin{array}{l} BA=BC(已知)\\ BD=BD(公共边)\\ AD=CD(补充条件)\end{array} $
根据SSS全等判定定理，可证得△BAD≌△BCD。
（若补充∠ABD=∠CBD，也可通过SAS判定定理证得全等，因此答案不唯一）
【答案】
AD = CD(答案不唯一)
【知识点】
全等三角形的判定、公共边的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的开放性基础题，解题核心是先明确已有相等的边或角，再结合全等判定规则补充缺失的判定条件，注意不能使用SSA等不成立的判定方法。
【难度系数】
0.8