6. (2025 滨州)如图，△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O. 若点O到BC的距离为3.5，AB=4，则△ABO的面积为.

6. 7

【分析】
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先观察到点O是△ABC两个外角平分线的交点，可先通过作辅助线得到点O到AB、AC、BC三边所在直线的距离，再利用角平分线的性质得到三组距离的等量关系，进而推出点O到AB的距离等于已知的点O到BC的距离，最后代入三角形面积公式计算△ABO的面积即可。
【解析】
过点O作OF⊥AB于点F，OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H。
∵AD是△ABC顶点A处的外角平分线，且点O在AD上，
∴根据角平分线的性质，可得OF=OG。
∵CE是△ABC顶点C处的外角平分线，且点O在CE上，
∴同理可得OG=OH。
∴OF=OH，已知OH=3.5，因此OF=3.5。
又已知AB=4，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} × AB × OF = \frac{1}{2} × 4 × 3.5 = 7$
【答案】
7
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题侧重考查角平分线性质的灵活应用，解题的突破口是通过外角平分线的性质推导出点O到AB的距离，再结合面积公式求解，是几何中基础的综合应用题型，需要熟练掌握角平分线的性质并能灵活运用到不同的图形场景中。
【难度系数】
0.7

三、解答题
7. 某国际帆船中心的外形是一个三角形(如图),要在它的内部修建一处公共服务设施(用点P表示),使它到三条路AB,BC,AC的距离相等.试在图中确定公共服务设施P的位置.(不写作法,保留作图痕迹)

7. 解:如图,点P即为所求.

【分析】
首先明确题目要求是找到三角形内部到三边AB、BC、AC距离都相等的点P。回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，若一个点到三角形三边距离相等，说明该点同时在三个内角的角平分线上，而三角形三条内角平分线交于内部同一点，因此只需作出任意两个内角的角平分线，交点就是所求的点P。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
要使点P到AB、BC、AC三边的距离相等，需点P同时在△ABC三个内角的角平分线上。
由于三角形三条内角平分线交于三角形内部同一点，因此用尺规分别作出∠B和∠C的角平分线，两条角平分线的交点即为所求的公共服务设施P的位置。
【答案】
如图,点P即为所求.

【知识点】
角平分线的性质；尺规作角平分线
【点评】
本题结合生活场景考查角平分线性质的实际应用，只要掌握角平分线的性质和尺规作角平分线的方法，就能快速确定点的位置，解题逻辑清晰易理解。
【难度系数】
0.8

8. 如图, 在$△ ABC$中, $∠ ACB = 90°, AC = BC$, $AE ⊥ CD$于点$E, BD ⊥ CD$于点$D, AE = 5\ \mathrm{cm}$, $BD = 2\ \mathrm{cm}$.
(1)求证: $△ AEC ≌ △ CDB$;
(2)求$DE$的长.

8. (1)证明:
∵ ∠ACB = 90°,
∴ ∠ACE + ∠BCD = 90°.
∵ AE ⊥ CD,
∴ ∠AEC = 90°.
∴ ∠ACE + ∠CAE = 90°.
∴ ∠CAE = ∠BCD.
∵ BD ⊥ CD,
∴ ∠AEC = ∠D = 90°.
在△AEC 和△CDB 中,$\begin{cases} ∠CAE = ∠BCD, \\ ∠AEC = ∠D, \\ AC = CB, \end{cases}$
∴ △AEC≌△CDB(AAS).
(2)解:
∵ △AEC≌△CDB,
∴ AE = CD = 5 cm,CE = BD = 2 cm.
∴ DE = CD - CE = 3 cm.

【分析】
(1)要证明△AEC≌△CDB，首先梳理已知条件：已知AC=BC，AE⊥CD、BD⊥CD可得到一组直角相等，只需再证明一组锐角相等即可。由∠ACB=90°可得∠ACE+∠BCD=90°，由AE⊥CD可得∠ACE+∠CAE=90°，根据同角的余角相等可推出∠CAE=∠BCD，刚好满足AAS全等判定的条件。
(2)求DE的长时，可利用全等三角形对应边相等的性质，先得到CD=AE、CE=BD，再根据线段和差关系DE=CD-CE，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1)证明:
∵ ∠ACB = 90°,
∴ ∠ACE + ∠BCD = 90°.
∵ AE ⊥ CD,
∴ ∠AEC = 90°.
∴ ∠ACE + ∠CAE = 90°.
∴ ∠CAE = ∠BCD.
∵ BD ⊥ CD,
∴ ∠AEC = ∠D = 90°.
在△AEC 和△CDB 中,
$\begin{cases} ∠CAE = ∠BCD, \\ ∠AEC = ∠D, \\ AC = CB, \end{cases}$
∴ △AEC≌△CDB(AAS).
(2)解:
∵ △AEC≌△CDB,
∴ AE = CD = 5 cm,CE = BD = 2 cm.
∴ DE = CD - CE = 5-2=3 cm.
【答案】
(1)△AEC≌△CDB成立；(2)DE的长为3 cm
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；同角的余角相等
【点评】
本题属于几何基础题型，核心考查全等三角形的判定与性质的综合应用，通过同角的余角相等推导等角是解题的突破口，解题逻辑连贯，是三角形全等的典型考法。
【难度系数】
0.8

9. 综合与实践
画∠AOB=90°,并画∠AOB的平分线OC.
(1)把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上,使三角尺的两条直角边分别与OA,OB垂直相交于点E,F(如图1).度量PE,PF的长度,这两条线段相等吗?请证明.
(2)把三角尺绕点P旋转(如图2),PE与PF相等吗?请证明.

9. 解:(1)PE = PF. 证明如下:
∵ OC 平分∠AOB,PE ⊥ OA,PF ⊥ OB,
∴ PE = PF.
(2)PE = PF. 证明如下:
如图,过点 P 作 PM ⊥ OA 于点 M,PN ⊥ OB 于点 N,则∠PME = ∠PNF = 90°.
∵ ∠AOB = 90°,OC 平分∠AOB,
∴ ∠AOC = ∠BOC = 45°.
∴ ∠OPM = ∠OPN = 45°.
∴ ∠MPN = 90°.
∵ ∠EPF = 90°,
∴ ∠MPE = ∠NPF.
由(1),得 PM = PN.
在△MPE 和△NPF 中,$\begin{cases} ∠MPE = ∠NPF, \\ PM = PN, \\ ∠PME = ∠PNF, \end{cases}$
∴ △MPE≌△NPF(ASA).
∴ PE = PF.

【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 第一问中，OC是∠AOB的角平分线，PE垂直OA、PF垂直OB，PE、PF就是角平分线上的点P到角两边的距离，直接利用角平分线的性质即可判断二者相等。
(2) 第二问三角尺旋转后，PE、PF不再垂直OA、OB，无法直接应用角平分线的性质，因此先构造辅助线：过点P作PM⊥OA、PN⊥OB，先由(1)的结论得到PM=PN，再结合∠EPF和∠MPN都是直角，推导得到一组相等的角，最后通过ASA证明△MPE和△NPF全等，利用全等三角形对应边相等即可得到PE=PF。
【解析】
(1) $PE = PF$，证明如下：
∵ OC平分$∠ AOB$，$PE ⊥ OA$，$PF ⊥ OB$，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$PE = PF$。
(2) $PE = PF$，证明如下：
过点P作$PM ⊥ OA$于点M，$PN ⊥ OB$于点N，则$∠ PME = ∠ PNF = 90°$，
∵ $∠ AOB = 90°$，OC平分$∠ AOB$，
∴ $∠ AOC = ∠ BOC = 45°$，
∴ $∠ OPM = ∠ OPN = 45°$，即可得$∠ MPN = 90°$，
∵ 三角尺的直角顶点在P处，
∴ $∠ EPF = 90°$，
∴ $∠ EPF - ∠ MPF = ∠ MPN - ∠ MPF$，即$∠ MPE = ∠ NPF$，
由(1)的结论可得$PM = PN$，
在$△ MPE$和$△ NPF$中：
$\begin{cases} ∠ MPE = ∠ NPF \\ PM = PN \\ ∠ PME = ∠ PNF \end{cases}$
∴ $△ MPE ≌ △ NPF(\mathrm{ASA})$，
∴ $PE = PF$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{PE=PF}$，证明见解析；
(2) $\boldsymbol{PE=PF}$，证明见解析。

【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形的综合应用题，第一问直接考查角平分线的基础性质，难度较低；第二问通过构造垂线辅助线，将未知问题转化为已证的第一问结论，再利用全等三角形证明线段相等，体现了数学中的转化思想，熟练掌握角平分线性质和全等三角形判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7