19.（本小题满分10分）
在我国古代数学著作《九章算术》第九章“勾股”中，记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大意是：今有竹高1丈，末端被折断而抵达地面，离竹根部有3尺，竹的余高是多少？请解决此问题.（1丈＝10尺）

19. 解：根据题设条件，作示意图如下.
在△ABC 中，∠ACB=90°，AC+AB=1丈，BC=3尺. 求竹子的余高即为求AC的长. 设AC的长为x尺.
∵1丈=10尺，
∴AC+AB=1丈=10尺.
∴AB=10−x.
∵∠ACB=90°，BC=3尺，
∴根据勾股定理，得
$AC^2+BC^2=AB^2$，即$x^2+3^2=(10−x)^2$.
解得x=4.55.
答：竹的余高是4.55尺.

【分析】
本题是结合古代数学情境的应用题，解题时首先要把实际问题抽象为直角三角形模型：未折断的竹子垂直于地面，与地面、折断的竹身共同构成直角三角形。已知竹子总高为1丈（即10尺），竹梢落地处距离根部3尺，我们可以设剩余竹高为未知数，用含未知数的式子表示出折断部分（即直角三角形的斜边）的长度，再利用勾股定理列方程求解即可，解题时要注意先统一单位。
【解析】
解：根据题意构造直角三角形△ABC，其中∠ACB=90°，AC为竹子剩余高度，AB为折断部分的长度，BC为竹根部到竹梢落地处的距离，BC=3尺。
已知竹子原高1丈，换算单位得1丈=10尺，因此AC+AB=10尺。
设AC的长度为x尺，则AB的长度为(10-x)尺。
∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°
∴由勾股定理可得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$
代入对应边长得：$x^2 + 3^2 = (10 - x)^2$
展开等式右侧：$x^2 + 9 = 100 - 20x + x^2$
消去等式两侧的$x^2$，整理得：20x = 91
解得：x = 4.55
答：竹的余高是4.55尺。
【答案】
19. 解：根据题设条件，作示意图如下.
在△ABC 中，∠ACB=90°，AC+AB=1丈，BC=3尺. 求竹子的余高即为求AC的长. 设AC的长为x尺.
∵1丈=10尺，
∴AC+AB=1丈=10尺.
∴AB=10−x.
∵∠ACB=90°，BC=3尺，
∴根据勾股定理，得
$AC^2+BC^2=AB^2$，即$x^2+3^2=(10−x)^2$.
解得x=4.55.
答：竹的余高是4.55尺.
【知识点】
勾股定理、一元一次方程应用、实际问题建模
【点评】
本题源自我国古代经典数学著作《九章算术》，将生活场景与几何知识结合，既弘扬了传统数学文化，也考查了学生将实际问题转化为数学模型的能力、勾股定理的应用能力和一元一次方程的求解能力，解题的关键是正确梳理各边的数量关系，同时注意单位的统一。
【难度系数】
0.7