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(1)如图，AB是线段CD的垂直平分线，垂足为G，E，F是AB上的两点. 下列结论中，不一定正确的是 （
A.$EC=CD$
B.$EC=ED$
C.$CF=DF$
D.$CG=DG$
A
）A.$EC=CD$
B.$EC=ED$
C.$CF=DF$
D.$CG=DG$
答案
(1) A
解析
【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的相关知识，首先从定义出发，垂直平分线既垂直于已知线段，又平分已知线段，可得垂足分线段成的两段相等；再结合垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，依次判断每个选项是否一定成立即可。
【解析】
解：已知AB是线段CD的垂直平分线，垂足为G。
① 根据线段垂直平分线的定义：垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线，可得$CG=DG$，故D选项结论正确，不符合题意；
② 根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
因为点E在AB上，所以$EC=ED$，故B选项结论正确，不符合题意；
因为点F在AB上，所以$CF=DF$，故C选项结论正确，不符合题意；
③ 没有条件可以证明$EC=CD$，该结论不一定成立，故A选项符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的定义、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，熟练掌握线段垂直平分线的定义和性质是解题的关键，通过逐一验证选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆线段垂直平分线的相关知识，首先从定义出发，垂直平分线既垂直于已知线段，又平分已知线段，可得垂足分线段成的两段相等；再结合垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，依次判断每个选项是否一定成立即可。
【解析】
解：已知AB是线段CD的垂直平分线，垂足为G。
① 根据线段垂直平分线的定义：垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线，可得$CG=DG$，故D选项结论正确，不符合题意；
② 根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
因为点E在AB上，所以$EC=ED$，故B选项结论正确，不符合题意；
因为点F在AB上，所以$CF=DF$，故C选项结论正确，不符合题意；
③ 没有条件可以证明$EC=CD$，该结论不一定成立，故A选项符合题意。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的定义、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，熟练掌握线段垂直平分线的定义和性质是解题的关键，通过逐一验证选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
(2)如图，在$△ ABC$中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE。若$△ ABC$的周长为30 cm，$△ AEC$的周长为21 cm，则AB的长为（
第1(2)题
A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm
D
）第1(2)题
A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.9 cm
答案
(2) D
解析
【分析】
首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。观察图形可知DE是AB的垂直平分线，因此点E到A、B的距离相等，即AE=BE。接下来分别写出两个三角形周长的表达式，利用AE=BE将△AEC的周长转化为AC与BC的和，最后用△ABC的周长减去AC+BC的和即可求出AB的长度。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，可得$AE=BE$
∵$△ AEC$的周长为21 cm
∴$AE + EC + AC = 21\ \mathrm{cm}$
将$AE$替换为$BE$，得：$BE + EC + AC = 21\ \mathrm{cm}$
又
∵$BE + EC = BC$
∴$BC + AC = 21\ \mathrm{cm}$
∵$△ ABC$的周长为30 cm
∴$AB + BC + AC = 30\ \mathrm{cm}$
将$BC+AC=21\ \mathrm{cm}$代入上式，得：
$AB = 30\ \mathrm{cm} - (BC + AC) = 30\ \mathrm{cm} - 21\ \mathrm{cm} = 9\ \mathrm{cm}$
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题的核心是利用线段垂直平分线的性质进行线段的等量转化，将未知量和已知的周长条件结合，解题思路清晰，属于基础题型，熟练掌握性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。观察图形可知DE是AB的垂直平分线，因此点E到A、B的距离相等，即AE=BE。接下来分别写出两个三角形周长的表达式，利用AE=BE将△AEC的周长转化为AC与BC的和，最后用△ABC的周长减去AC+BC的和即可求出AB的长度。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，可得$AE=BE$
∵$△ AEC$的周长为21 cm
∴$AE + EC + AC = 21\ \mathrm{cm}$
将$AE$替换为$BE$，得：$BE + EC + AC = 21\ \mathrm{cm}$
又
∵$BE + EC = BC$
∴$BC + AC = 21\ \mathrm{cm}$
∵$△ ABC$的周长为30 cm
∴$AB + BC + AC = 30\ \mathrm{cm}$
将$BC+AC=21\ \mathrm{cm}$代入上式，得：
$AB = 30\ \mathrm{cm} - (BC + AC) = 30\ \mathrm{cm} - 21\ \mathrm{cm} = 9\ \mathrm{cm}$
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题的核心是利用线段垂直平分线的性质进行线段的等量转化，将未知量和已知的周长条件结合，解题思路清晰，属于基础题型，熟练掌握性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(3)如图，在$△ ABC$中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD.若$∠ B＝70°$，$∠ C＝25°$，则$∠ BAD$的度数为 (
A.$55°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$70°$
B
)A.$55°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$70°$
答案
(3) B
解析
【分析】
首先观察题目条件，出现AC的垂直平分线，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得AD=CD，进而推出∠DAC=∠C。要求∠BAD的度数，可先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再减去∠DAC的度数即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 70° - 25° = 85°$
∵DE是AC的垂直平分线，点D在DE上
∴$AD = CD$
∴$∠ DAC = ∠ C = 25°$
∴$∠ BAD = ∠ BAC - ∠ DAC = 85° - 25° = 60°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形等边对等角
【点评】
本题是基础角度计算题，核心是利用线段垂直平分线的性质得到等角，再结合三角形内角和求解，熟练掌握相关性质定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先观察题目条件，出现AC的垂直平分线，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得AD=CD，进而推出∠DAC=∠C。要求∠BAD的度数，可先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再减去∠DAC的度数即可得到结果。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 70° - 25° = 85°$
∵DE是AC的垂直平分线，点D在DE上
∴$AD = CD$
∴$∠ DAC = ∠ C = 25°$
∴$∠ BAD = ∠ BAC - ∠ DAC = 85° - 25° = 60°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形等边对等角
【点评】
本题是基础角度计算题，核心是利用线段垂直平分线的性质得到等角，再结合三角形内角和求解，熟练掌握相关性质定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1)如图，P是线段AB的垂直平分线上任意一点(点P不在AB上)，PC⊥AB交AB于点C.
①PA=
②△PAC≌
③∠APC=
④∠A=
第2(1)题
①PA=
PB
；②△PAC≌
△PBC
；③∠APC=
∠BPC
；④∠A=
∠B
.第2(1)题
答案
(1) ①PB ②△PBC ③∠BPC ④∠B
解析
【分析】
解题时先从已知条件“P是线段AB的垂直平分线上的点”入手，首先回忆线段垂直平分线的性质，得到PA与PB的等量关系；再结合PC⊥AB的条件，找出△PAC和△PBC的全等判定条件，证明全等后，利用全等三角形对应角相等的性质，即可得出对应角的等量关系。
【解析】
①根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，已知P在AB的垂直平分线上，因此PA=PB。
②由PC是AB的垂直平分线可知，AC=BC，且∠ACP=∠BCP=90°。在△PAC和△PBC中：
$\{\begin{array}{l}AC=BC\\ ∠ ACP=∠ BCP\\ PC=PC\end{array} $
根据SAS判定定理，可得△PAC≌△PBC。
③因为△PAC≌△PBC，根据全等三角形对应角相等，因此∠APC=∠BPC。
④方法一：由△PAC≌△PBC，对应角相等可得∠A=∠B；方法二：由PA=PB，根据等腰三角形等边对等角的性质，也可得∠A=∠B。
【答案】
①PB ②△PBC ③∠BPC ④∠B
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考察线段垂直平分线相关的基础性质，只要熟练掌握对应性质和全等三角形的判定方法即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件“P是线段AB的垂直平分线上的点”入手，首先回忆线段垂直平分线的性质，得到PA与PB的等量关系；再结合PC⊥AB的条件，找出△PAC和△PBC的全等判定条件，证明全等后，利用全等三角形对应角相等的性质，即可得出对应角的等量关系。
【解析】
①根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，已知P在AB的垂直平分线上，因此PA=PB。
②由PC是AB的垂直平分线可知，AC=BC，且∠ACP=∠BCP=90°。在△PAC和△PBC中：
$\{\begin{array}{l}AC=BC\\ ∠ ACP=∠ BCP\\ PC=PC\end{array} $
根据SAS判定定理，可得△PAC≌△PBC。
③因为△PAC≌△PBC，根据全等三角形对应角相等，因此∠APC=∠BPC。
④方法一：由△PAC≌△PBC，对应角相等可得∠A=∠B；方法二：由PA=PB，根据等腰三角形等边对等角的性质，也可得∠A=∠B。
【答案】
①PB ②△PBC ③∠BPC ④∠B
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考察线段垂直平分线相关的基础性质，只要熟练掌握对应性质和全等三角形的判定方法即可快速解答。
【难度系数】
0.9
(2)如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE。若$△ ABC$与$△ EBC$的周长分别为20，12，则AB的长为
第2(2)题
8
。第2(2)题
答案
(2) 8
解析
【分析】
解题时首先根据题目中出现的AB的垂直平分线，联想线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，实现边的等量转化。接下来分别写出两个三角形的周长表达式，将△EBC的周长中的BE替换为AE，可推出△EBC的周长等于AC+BC，再结合AB=AC以及△ABC的周长，代入后即可求出AB的长度。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE
∵△ABC的周长为20
∴$AB + AC + BC = 20$ ①
∵△EBC的周长为12
∴$BE + EC + BC = 12$
将$BE=AE$代入，得$AE + EC + BC = 12$
又
∵$AE + EC = AC$
∴$AC + BC = 12$ ②
已知$AB=AC$，将②代入①，得：
$AB + 12 = 20$
解得$AB = 20 - 12 = 8$
【答案】
8
【知识点】
线段垂直平分线性质，三角形周长计算，等腰三角形性质
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成边的等量替换，将两个三角形的周长建立关联，进而求解目标边长，这类题型是几何中周长计算类题目的常考类型。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据题目中出现的AB的垂直平分线，联想线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，实现边的等量转化。接下来分别写出两个三角形的周长表达式，将△EBC的周长中的BE替换为AE，可推出△EBC的周长等于AC+BC，再结合AB=AC以及△ABC的周长，代入后即可求出AB的长度。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE
∵△ABC的周长为20
∴$AB + AC + BC = 20$ ①
∵△EBC的周长为12
∴$BE + EC + BC = 12$
将$BE=AE$代入，得$AE + EC + BC = 12$
又
∵$AE + EC = AC$
∴$AC + BC = 12$ ②
已知$AB=AC$，将②代入①，得：
$AB + 12 = 20$
解得$AB = 20 - 12 = 8$
【答案】
8
【知识点】
线段垂直平分线性质，三角形周长计算，等腰三角形性质
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成边的等量替换，将两个三角形的周长建立关联，进而求解目标边长，这类题型是几何中周长计算类题目的常考类型。
【难度系数】
0.7
