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4. 请在网格纸中完成下列问题.
(1)在图①中画出$△ ABC$ 关于直线 $PQ$ 成轴对称的$△ A'B'C'$.
(2)在图②中画出$△ ABC$ 与$△ DEF$ 的对称轴.
(1)在图①中画出$△ ABC$ 关于直线 $PQ$ 成轴对称的$△ A'B'C'$.
(2)在图②中画出$△ ABC$ 与$△ DEF$ 的对称轴.
答案
4. 解：(1)如图，△A'B'C' 即为所求。
(2)如图，直线 l 即为所求。
解析
【分析】
(1) 要作△ABC关于直线PQ的轴对称图形，依据轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。我们只需先找到△ABC三个顶点A、B、C关于直线PQ的对称点，再顺次连接三个对称点即可得到所求图形。
(2) 要找两个成轴对称的图形的对称轴，依据轴对称性质，对称轴是任意一组对应点连线的垂直平分线，因此我们只需找到两组对应点，作出它们连线的垂直平分线，或者连接两组对应点，过两条对应点连线的中点作直线，即可得到两个图形的对称轴。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 分别过点A、B、C作直线PQ的垂线，记录各顶点到垂足的距离；
② 在垂足另一侧的垂线上，分别截取与顶点到垂足距离相等的线段，得到对应对称点A'、B'、C'；
③ 顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到的△A'B'C'即为所求。
(2) 作图步骤：
① 确定△ABC和△DEF的两组对应点，例如点A和点D、点C和点F；
② 分别连接两组对应点，得到线段AD、CF，找到两条线段的中点；
③ 过两个中点作直线l，直线l即为两个三角形的对称轴。
【答案】
(1)如图，△A'B'C' 即为所求。
(2)如图，直线 l 即为所求。
【知识点】
轴对称的性质，作轴对称图形，对称轴的画法
【点评】
本题是轴对称相关的基础作图题，核心考查对轴对称性质的理解和应用，作图时需注意对称点到对称轴的距离相等，对应点连线与对称轴垂直，掌握基础性质即可轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.8
(1) 要作△ABC关于直线PQ的轴对称图形，依据轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。我们只需先找到△ABC三个顶点A、B、C关于直线PQ的对称点，再顺次连接三个对称点即可得到所求图形。
(2) 要找两个成轴对称的图形的对称轴，依据轴对称性质，对称轴是任意一组对应点连线的垂直平分线，因此我们只需找到两组对应点，作出它们连线的垂直平分线，或者连接两组对应点，过两条对应点连线的中点作直线，即可得到两个图形的对称轴。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 分别过点A、B、C作直线PQ的垂线，记录各顶点到垂足的距离；
② 在垂足另一侧的垂线上，分别截取与顶点到垂足距离相等的线段，得到对应对称点A'、B'、C'；
③ 顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到的△A'B'C'即为所求。
(2) 作图步骤：
① 确定△ABC和△DEF的两组对应点，例如点A和点D、点C和点F；
② 分别连接两组对应点，得到线段AD、CF，找到两条线段的中点；
③ 过两个中点作直线l，直线l即为两个三角形的对称轴。
【答案】
(1)如图，△A'B'C' 即为所求。
(2)如图，直线 l 即为所求。
【知识点】
轴对称的性质，作轴对称图形，对称轴的画法
【点评】
本题是轴对称相关的基础作图题，核心考查对轴对称性质的理解和应用，作图时需注意对称点到对称轴的距离相等，对应点连线与对称轴垂直，掌握基础性质即可轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.8
5. 如图，$△ ABC$和$△ ADE$关于直线$MN$对称，$BC$与$DE$的交点$F$在直线$MN$上.
(1)图中点$C$的对应点是点
(2)若$DE=5$，$BF=2$，求$CF$的长.
(3)若$∠ BAC=108°$，$∠ BAE=30°$，求$∠ EAF$的度数.
(1)图中点$C$的对应点是点
E
，$∠ B$的对应角是∠D
.(2)若$DE=5$，$BF=2$，求$CF$的长.
(3)若$∠ BAC=108°$，$∠ BAE=30°$，求$∠ EAF$的度数.
答案
5. 解：(1) E，∠D
(2) 3
(3)
∵∠BAC=108°，∠BAE=30°，
∴∠CAE=108°−30°=78°。
根据对称性知∠EAF=∠CAF，
∴∠EAF=1/2∠CAE=39°。
(2) 3
(3)
∵∠BAC=108°，∠BAE=30°，
∴∠CAE=108°−30°=78°。
根据对称性知∠EAF=∠CAF，
∴∠EAF=1/2∠CAE=39°。
解析
【分析】
本题考查轴对称的相关性质，解题思路如下：1. 第(1)问：根据成轴对称的两个图形中，互相重合的点为对应点、互相重合的角为对应角，直接找出对应点和对应角即可；2. 第(2)问：先利用轴对称的性质得到对应边BC=DE，再结合F在BC上，用BC的长度减去BF的长度即可得到CF的长；3. 第(3)问：先计算出∠CAE的度数，再根据轴对称的性质可知对称轴MN平分∠CAE，即可求出∠EAF的度数。
【解析】
(1) 因为△ABC和△ADE关于直线MN对称，成轴对称的两个图形中互相重合的点是对应点，互相重合的角是对应角，所以点C的对应点是点E，∠B的对应角是∠D。
(2) 由轴对称的性质可知，成轴对称的两个图形对应边相等，因此$BC=DE=5$。
已知点F在BC上，$BF=2$，因此$CF=BC-BF=5-2=3$。
(3) 已知$∠BAC=108°$，$∠BAE=30°$，因此$∠CAE=∠BAC-∠BAE=108°-30°=78°$。
根据轴对称的性质，对称轴平分两个对应点与对称轴上点的夹角，即MN平分$∠CAE$，可得$∠EAF=∠CAF=\frac{1}{2}∠CAE$，代入计算得$∠EAF=\frac{1}{2}×78°=39°$。
【答案】
(1)$E$，$∠ D$；(2)$3$；(3)$39°$
【知识点】
轴对称的性质，线段长度计算，角度计算
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查轴对称性质的应用，解题关键是熟练掌握成轴对称的图形对应边相等、对应角相等、对称轴平分对应点与对称轴上点的夹角的性质，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查轴对称的相关性质，解题思路如下：1. 第(1)问：根据成轴对称的两个图形中，互相重合的点为对应点、互相重合的角为对应角，直接找出对应点和对应角即可；2. 第(2)问：先利用轴对称的性质得到对应边BC=DE，再结合F在BC上，用BC的长度减去BF的长度即可得到CF的长；3. 第(3)问：先计算出∠CAE的度数，再根据轴对称的性质可知对称轴MN平分∠CAE，即可求出∠EAF的度数。
【解析】
(1) 因为△ABC和△ADE关于直线MN对称，成轴对称的两个图形中互相重合的点是对应点，互相重合的角是对应角，所以点C的对应点是点E，∠B的对应角是∠D。
(2) 由轴对称的性质可知，成轴对称的两个图形对应边相等，因此$BC=DE=5$。
已知点F在BC上，$BF=2$，因此$CF=BC-BF=5-2=3$。
(3) 已知$∠BAC=108°$，$∠BAE=30°$，因此$∠CAE=∠BAC-∠BAE=108°-30°=78°$。
根据轴对称的性质，对称轴平分两个对应点与对称轴上点的夹角，即MN平分$∠CAE$，可得$∠EAF=∠CAF=\frac{1}{2}∠CAE$，代入计算得$∠EAF=\frac{1}{2}×78°=39°$。
【答案】
(1)$E$，$∠ D$；(2)$3$；(3)$39°$
【知识点】
轴对称的性质，线段长度计算，角度计算
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查轴对称性质的应用，解题关键是熟练掌握成轴对称的图形对应边相等、对应角相等、对称轴平分对应点与对称轴上点的夹角的性质，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.8
6. 先认真观察图中涂色部分构成的图案，再回答下列问题.
（1）请写出这四个图案的共同特征.（写出三个）
（2）请在下面的网格纸中设计一个图案，使它也具备（1）中你所写的特征.
（1）请写出这四个图案的共同特征.（写出三个）
（2）请在下面的网格纸中设计一个图案，使它也具备（1）中你所写的特征.
答案
6. 解：(1) 特征一：都是轴对称图形。
特征二：都不止有一条对称轴。
特征三：四个图案中涂色部分的面积都等于4个小正方形的面积。
(2) 满足条件的图案有很多，这里画出三个，如图所示。
解析
【分析】
解决第一问可从三个方向梳理思路：首先回忆轴对称图形的定义，逐个判断图案是否符合轴对称特征；其次统计每个图案的对称轴数量，寻找共同点；最后用公式法或割补法计算各涂色部分的面积，对比得到面积的共同特征。第二问设计图案时，只要同时满足第一问总结的三个特征即可，优先选择构造简单的对称图形。
【解析】
(1) ①对称性判断：将各个图案沿竖中线对折，直线两侧的部分都可以完全重合，因此所有图案都是轴对称图形；
②对称轴数量统计：第一个正方形图案有4条对称轴，第二个沙漏形图案有2条对称轴，第三个X形图案有2条对称轴，可见所有图案的对称轴数量都大于1；
③面积计算：第一个涂色部分是边长为2的正方形，面积为$2×2=4$，即等于4个小正方形的面积；第二个涂色部分是2个底为2、高为2的三角形，总面积为$2×(\frac{1}{2}×2×2)=4$，即等于4个小正方形的面积；第三个涂色部分用割补法计算，总面积也等于4个小正方形的面积，因此所有涂色部分面积都等于4个小正方形的面积。
(2) 设计图案只需同时满足“是轴对称图形、对称轴数量≥2、涂色面积等于4个小正方形面积”三个条件即可。
【答案】
(1) 特征一：都是轴对称图形。
特征二：都不止有一条对称轴。
特征三：四个图案中涂色部分的面积都等于4个小正方形的面积。
(2) 满足条件的图案有很多，这里画出三个，如图所示。
【知识点】
轴对称图形，对称轴，面积计算
【点评】
本题结合图形观察考查轴对称相关概念和不规则图形面积的计算，同时考查动手设计能力，解题时要熟练掌握轴对称的定义，灵活运用割补法计算图形面积，设计图案时紧扣已总结的共同特征即可。
【难度系数】
0.8
解决第一问可从三个方向梳理思路：首先回忆轴对称图形的定义，逐个判断图案是否符合轴对称特征；其次统计每个图案的对称轴数量，寻找共同点；最后用公式法或割补法计算各涂色部分的面积，对比得到面积的共同特征。第二问设计图案时，只要同时满足第一问总结的三个特征即可，优先选择构造简单的对称图形。
【解析】
(1) ①对称性判断：将各个图案沿竖中线对折，直线两侧的部分都可以完全重合，因此所有图案都是轴对称图形；
②对称轴数量统计：第一个正方形图案有4条对称轴，第二个沙漏形图案有2条对称轴，第三个X形图案有2条对称轴，可见所有图案的对称轴数量都大于1；
③面积计算：第一个涂色部分是边长为2的正方形，面积为$2×2=4$，即等于4个小正方形的面积；第二个涂色部分是2个底为2、高为2的三角形，总面积为$2×(\frac{1}{2}×2×2)=4$，即等于4个小正方形的面积；第三个涂色部分用割补法计算，总面积也等于4个小正方形的面积，因此所有涂色部分面积都等于4个小正方形的面积。
(2) 设计图案只需同时满足“是轴对称图形、对称轴数量≥2、涂色面积等于4个小正方形面积”三个条件即可。
【答案】
(1) 特征一：都是轴对称图形。
特征二：都不止有一条对称轴。
特征三：四个图案中涂色部分的面积都等于4个小正方形的面积。
(2) 满足条件的图案有很多，这里画出三个，如图所示。
【知识点】
轴对称图形，对称轴，面积计算
【点评】
本题结合图形观察考查轴对称相关概念和不规则图形面积的计算，同时考查动手设计能力，解题时要熟练掌握轴对称的定义，灵活运用割补法计算图形面积，设计图案时紧扣已总结的共同特征即可。
【难度系数】
0.8
