登录
（3）如图，在$△ ABC$中，$F$，$G$为$BC$边上的两点，$BD$垂直平分$AG$于点$D$，$CE$垂直平分$AF$于点$E$.若$BF＝1$，$FG＝3$，$GC＝2$，则$△ ABC$的周长为
第2(3)题
15
.第2(3)题
答案
(3) 15
解析
【分析】
解题时首先从已知的垂直平分线条件切入，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。由此可得点B在AG的垂直平分线上，故BA=BG；点C在AF的垂直平分线上，故CA=CF。接下来分别计算BG、CF、BC的长度，代入三角形周长公式即可求出结果。
【解析】
解：
∵BD垂直平分AG，根据线段垂直平分线的性质，可得$AB=BG$。
已知$BF=1$，$FG=3$，
∴$BG=BF+FG=1+3=4$，即$AB=4$。
∵CE垂直平分AF，根据线段垂直平分线的性质，可得$AC=CF$。
已知$FG=3$，$GC=2$，
∴$CF=FG+GC=3+2=5$，即$AC=5$。
又$BC=BF+FG+GC=1+3+2=6$，
∴$△ ABC$的周长为$AB+AC+BC=4+5+6=15$。
【答案】
15
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题核心是利用垂直平分线的性质将三角形的边AB、AC转化为BC边上的线段，降低计算难度，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的垂直平分线条件切入，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。由此可得点B在AG的垂直平分线上，故BA=BG；点C在AF的垂直平分线上，故CA=CF。接下来分别计算BG、CF、BC的长度，代入三角形周长公式即可求出结果。
【解析】
解：
∵BD垂直平分AG，根据线段垂直平分线的性质，可得$AB=BG$。
已知$BF=1$，$FG=3$，
∴$BG=BF+FG=1+3=4$，即$AB=4$。
∵CE垂直平分AF，根据线段垂直平分线的性质，可得$AC=CF$。
已知$FG=3$，$GC=2$，
∴$CF=FG+GC=3+2=5$，即$AC=5$。
又$BC=BF+FG+GC=1+3+2=6$，
∴$△ ABC$的周长为$AB+AC+BC=4+5+6=15$。
【答案】
15
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题型，解题核心是利用垂直平分线的性质将三角形的边AB、AC转化为BC边上的线段，降低计算难度，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(4)如图，P为$∠ AOB$内部一点，分别画出点P关于OA，OB的对称点$P_1$，$P_2$，连接$P_1P_2$，交OA于点M，交OB于点N。若$P_1P_2=16$，则$△ PMN$的周长为
第2(4)题
16
。第2(4)题
答案
(4) 16
解析
【分析】
遇到包含点关于直线对称的问题时，首先回忆轴对称的相关性质：若两个点关于某条直线对称，那么这条直线是两点连线的垂直平分线，垂直平分线上的点到两个对称点的距离相等。要求△PMN的周长，也就是求PM+MN+PN的和，我们可以借助上述性质把PM、PN转化为和P₁P₂相关的线段，即可快速求出周长。
【解析】
解：
∵点P与P₁关于OA对称，
∴OA是线段PP₁的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：$PM = P_1M$。
同理，点P与P₂关于OB对称，
∴OB是线段PP₂的垂直平分线，可得：$PN = P_2N$。
△PMN的周长为$PM + MN + PN$，将$PM = P_1M$、$PN = P_2N$代入得：
周长$= P_1M + MN + P_2N = P_1P_2$。
已知$P_1P_2=16$，因此△PMN的周长为16。
【答案】
16
【知识点】
轴对称的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是轴对称应用的典型基础题，解题的核心是利用轴对称的性质完成线段的等量代换，把未知的三角形周长转化为已知长度的线段，熟练掌握对称点和对称轴的对应关系是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
遇到包含点关于直线对称的问题时，首先回忆轴对称的相关性质：若两个点关于某条直线对称，那么这条直线是两点连线的垂直平分线，垂直平分线上的点到两个对称点的距离相等。要求△PMN的周长，也就是求PM+MN+PN的和，我们可以借助上述性质把PM、PN转化为和P₁P₂相关的线段，即可快速求出周长。
【解析】
解：
∵点P与P₁关于OA对称，
∴OA是线段PP₁的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：$PM = P_1M$。
同理，点P与P₂关于OB对称，
∴OB是线段PP₂的垂直平分线，可得：$PN = P_2N$。
△PMN的周长为$PM + MN + PN$，将$PM = P_1M$、$PN = P_2N$代入得：
周长$= P_1M + MN + P_2N = P_1P_2$。
已知$P_1P_2=16$，因此△PMN的周长为16。
【答案】
16
【知识点】
轴对称的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是轴对称应用的典型基础题，解题的核心是利用轴对称的性质完成线段的等量代换，把未知的三角形周长转化为已知长度的线段，熟练掌握对称点和对称轴的对应关系是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
(5)如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上一动点.若AB=8，AC=7，BC=9，则△APC周长的最小值为
15
.答案
(5) 15
解析
【分析】
要计算△APC周长的最小值，首先明确周长公式为$C_{△ APC}=AP+PC+AC$，其中AC长度固定为7，因此只需让$AP+PC$的和最小即可。根据线段垂直平分线的性质，直线m是BC的垂直平分线，可得点P到B、C的距离相等，即$PC=PB$，由此可将$AP+PC$转化为$AP+PB$。根据两点之间线段最短，当A、P、B三点共线时，$AP+PB$的和最小，最小值等于AB的长度，代入即可求出最小周长。
【解析】
解：
∵ 直线m是BC边的垂直平分线，点P在直线m上
∴ $PC=PB$（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
$△ APC$的周长为：$AP+PC+AC = AP+PB+AC$
已知$AC=7$是定值，因此要使$△ APC$周长最小，只需$AP+PB$的和最小
根据两点之间线段最短，当A、P、B三点共线时，$AP+PB$取得最小值，最小值为$AB=8$
∴ $△ APC$周长的最小值为$8+7=15$
【答案】
15
【知识点】
线段垂直平分线的性质；两点之间线段最短；三角形周长计算
【点评】
本题是典型的最短路径类基础题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成相等线段的转化，将未知的线段和最值问题转化为已学的两点之间线段最短的模型，解题思路具有普适性，是同类最值问题的常用解法。
【难度系数】
0.8
要计算△APC周长的最小值，首先明确周长公式为$C_{△ APC}=AP+PC+AC$，其中AC长度固定为7，因此只需让$AP+PC$的和最小即可。根据线段垂直平分线的性质，直线m是BC的垂直平分线，可得点P到B、C的距离相等，即$PC=PB$，由此可将$AP+PC$转化为$AP+PB$。根据两点之间线段最短，当A、P、B三点共线时，$AP+PB$的和最小，最小值等于AB的长度，代入即可求出最小周长。
【解析】
解：
∵ 直线m是BC边的垂直平分线，点P在直线m上
∴ $PC=PB$（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
$△ APC$的周长为：$AP+PC+AC = AP+PB+AC$
已知$AC=7$是定值，因此要使$△ APC$周长最小，只需$AP+PB$的和最小
根据两点之间线段最短，当A、P、B三点共线时，$AP+PB$取得最小值，最小值为$AB=8$
∴ $△ APC$周长的最小值为$8+7=15$
【答案】
15
【知识点】
线段垂直平分线的性质；两点之间线段最短；三角形周长计算
【点评】
本题是典型的最短路径类基础题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成相等线段的转化，将未知的线段和最值问题转化为已学的两点之间线段最短的模型，解题思路具有普适性，是同类最值问题的常用解法。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在$△ ABC$中，$BC = 2$，$∠ BAC$是钝角，$AB$的垂直平分线交$BC$于点$E$，$AC$的垂直平分线交$BC$于点$F$。求$△ AEF$的周长。
答案
3. 解：
∵AB 的垂直平分线交 BC 于点 E，AC 的垂直平分线交 BC 于点 F，
∴EA=EB，FA=FC.
△AEF 的周长=EA+EF+FA=EB+EF+FC=BC=2.
∵AB 的垂直平分线交 BC 于点 E，AC 的垂直平分线交 BC 于点 F，
∴EA=EB，FA=FC.
△AEF 的周长=EA+EF+FA=EB+EF+FC=BC=2.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，看到题目中出现AB、AC的垂直平分线，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此可得EA=EB、FA=FC。再看所求的是△AEF的周长，周长为三边之和，我们将相等的线段做等量代换，就能把△AEF的三边转化为BC边上的三段线段，三段之和刚好是已知长度的BC，代入数值即可求出结果。
【解析】
解：
∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，
∴根据线段垂直平分线的性质，可得EA=EB，FA=FC。
△AEF的周长 = EA + EF + FA
将EA=EB、FA=FC代入得：
△AEF的周长 = EB + EF + FC = BC
已知BC=2，因此△AEF的周长为2。
【答案】
2
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成等量代换，将未知三角形的周长转化为已知长度的线段，熟练掌握线段垂直平分线的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，看到题目中出现AB、AC的垂直平分线，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此可得EA=EB、FA=FC。再看所求的是△AEF的周长，周长为三边之和，我们将相等的线段做等量代换，就能把△AEF的三边转化为BC边上的三段线段，三段之和刚好是已知长度的BC，代入数值即可求出结果。
【解析】
解：
∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，
∴根据线段垂直平分线的性质，可得EA=EB，FA=FC。
△AEF的周长 = EA + EF + FA
将EA=EB、FA=FC代入得：
△AEF的周长 = EB + EF + FC = BC
已知BC=2，因此△AEF的周长为2。
【答案】
2
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成等量代换，将未知三角形的周长转化为已知长度的线段，熟练掌握线段垂直平分线的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 已知：如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接AD，CD.
求证：AD=CD.
求证：AD=CD.
答案
4. 证明：如图，连接BD.
∵DE，DF 分别是线段 AB，BC 的垂直平分线，
∴AD=BD，BD=CD.
∴AD=CD.
解析
【分析】
要证明AD=CD，可借助中间线段等量代换推导。已知DE、DF分别是AB、BC的垂直平分线，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知点D在两条垂直平分线上，因此连接BD作为中间量，即可分别得到AD与BD、CD与BD的等量关系，最后通过等量代换即可得证。
【解析】
证明：如图，连接BD。
∵DE是线段AB的垂直平分线，点D在DE上，
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵DF是线段BC的垂直平分线，点D在DF上，
∴BD=CD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∴AD=CD（等量代换）。
【答案】
证明：如图，连接BD.
∵DE，DF 分别是线段 AB，BC 的垂直平分线，
∴AD=BD，BD=CD.
∴AD=CD.
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等量代换
【点评】
本题是基础证明题，解题关键是合理构造辅助线BD作为衔接AD和CD的中间量，熟练掌握线段垂直平分线的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要证明AD=CD，可借助中间线段等量代换推导。已知DE、DF分别是AB、BC的垂直平分线，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知点D在两条垂直平分线上，因此连接BD作为中间量，即可分别得到AD与BD、CD与BD的等量关系，最后通过等量代换即可得证。
【解析】
证明：如图，连接BD。
∵DE是线段AB的垂直平分线，点D在DE上，
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵DF是线段BC的垂直平分线，点D在DF上，
∴BD=CD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∴AD=CD（等量代换）。
【答案】
证明：如图，连接BD.
∵DE，DF 分别是线段 AB，BC 的垂直平分线，
∴AD=BD，BD=CD.
∴AD=CD.
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等量代换
【点评】
本题是基础证明题，解题关键是合理构造辅助线BD作为衔接AD和CD的中间量，熟练掌握线段垂直平分线的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
