5. 如图，在$△ ABC$中，$BC$的垂直平分线$DE$交$AC$于点$D$，交$BC$于点$E$，$BF⊥ AC$，且$F$为线段$AD$的中点。
(1)求证：$AB=CD$。
(2)若$△ ABC$的周长为14 cm，$BC=6$ cm，求$FC$的长。

5. (1)证明：如图，连接BD.

∵BF⊥AC，F 为线段 AD 的中点，
∴BF 垂直平分 AD.
∴AB=BD.
∵DE 是 BC 的垂直平分线，
∴BD=CD.
∴AB=CD.
(2) FC=4 cm.

【分析】
(1) 要证明$AB=CD$，可通过中间线段$BD$转化：首先$BF⊥ AC$且$F$是$AD$中点，可知$BF$是$AD$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得$AB=BD$；再结合$DE$是$BC$的垂直平分线，同理可得$BD=CD$，通过等量代换即可得证。
(2) 已知$△ ABC$周长和$BC$的长，可先求出$AB+AC$的长度；结合第一问$AB=CD$的结论，以及$F$是$AD$中点的条件，将$FC$拆分为$FD+CD$，转化为$FD+AB$，再对$AC$的长度进行拆分，结合$AB+AC$的和即可求出$FC$的长度。
【解析】
(1) 证明：如图，连接$BD$。

$\because BF⊥ AC$，$F$为线段$AD$的中点，
$\therefore BF$是线段$AD$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得$AB=BD$。
又$\because DE$是$BC$的垂直平分线，同理可得$BD=CD$，
$\therefore AB=CD$。
(2) 解：$\because △ ABC$的周长为$14\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB+AC+BC=14\ \mathrm{cm}$，即$AB+AC=14-6=8\ \mathrm{cm}$。
$\because F$是$AD$的中点，$\therefore AF=FD$，
结合(1)的结论$AB=CD$，可得$AC=AD+CD=2FD+AB$，
代入$AB+AC=8\ \mathrm{cm}$得：$AB+2FD+AB=8\ \mathrm{cm}$，即$2(AB+FD)=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB+FD=4\ \mathrm{cm}$，
又$\because FC=FD+CD=FD+AB$，
$\therefore FC=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)证明：如图，连接BD.

∵BF⊥AC，F 为线段 AD 的中点，
∴BF 垂直平分 AD.
∴AB=BD.
∵DE 是 BC 的垂直平分线，
∴BD=CD.
∴AB=CD.
(2) FC=4 cm.
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，等量代换
【点评】
本题考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是通过添加辅助线$BD$构造相等线段，将待证、待求的线段进行转化，结合周长条件即可求解，是线段垂直平分线性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7

6. 如图，在$△ ABC$中，$AB$，$AC$的垂直平分线相交于点$O$，且分别交$BC$于点$M$，$N$，连接$AM$，$AN$。
(1)若$△ AMN$的周长为6，求$BC$的长。
(2)若$∠ B＝30°$，$∠ C＝25°$，求$∠ MAN$的度数。

6. 解：(1)
∵OM，ON 分别是 AB，AC 的垂直平分线，
∴AM=BM，AN=CN.
∵△AMN 的周长为 6，
∴AM+MN+AN=6.
∴BM+MN+CN=6，即 BC=6.
(2)
∵AM=BM，AN=CN，
∴∠BAM=∠B=30°，∠CAN=∠C=25°.
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，且∠BAC=∠BAM+∠MAN+∠CAN，
∴∠B+∠BAM+∠MAN+∠CAN+∠C = 180°，即∠B + ∠B + ∠MAN + ∠C +∠C=180°.
∴∠MAN=180°−2∠B−2∠C=180°−60°−50°=70°.

【分析】
(1) 解题思路：首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此可得AM=BM，AN=CN。观察△AMN的周长组成：AM+MN+AN，将AM替换为BM、AN替换为CN，可得周长等价于BM+MN+CN，正好是BC的长度，结合已知周长即可直接求出BC的长。
(2) 解题思路：由第一问得到的AM=BM、AN=CN，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得∠BAM=∠B，∠CAN=∠C。再利用三角形内角和为180°，将△ABC的内角和展开，把∠BAC拆分为∠BAM+∠MAN+∠CAN，代入已知的∠B、∠C的度数，即可求出∠MAN的度数。
【解析】
(1)
∵OM、ON分别是AB、AC的垂直平分线，
∴根据线段垂直平分线的性质，得AM=BM，AN=CN。
∵△AMN的周长为6，
∴AM + MN + AN = 6。
将AM替换为BM，AN替换为CN，得BM + MN + CN = 6，即BC=6。
(2)
∵AM=BM，AN=CN，
∴根据等边对等角，得∠BAM=∠B=30°，∠CAN=∠C=25°。
∵在△ABC中，∠B + ∠BAC + ∠C = 180°，且∠BAC = ∠BAM + ∠MAN + ∠CAN，
∴代入得：∠B + ∠BAM + ∠MAN + ∠CAN + ∠C = 180°，
即30° + 30° + ∠MAN + 25° + 25° = 180°，
解得∠MAN = 180° - 30°×2 - 25°×2 = 70°。
【答案】
(1) $BC=6$；
(2) $∠ MAN=70°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题，通过性质转化相等的线段和相等的角，结合三角形内角和定理即可求解，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等这一核心性质。
【难度系数】
0.7