基础知识·预习
问题1 利用几何图形的面积或分配律，理解单项式与多项式相乘的运算。
问题2 举例说明怎样将单项式与多项式相乘转化为单项式乘单项式。

解：
问题1
1. 分配律角度：根据乘法分配律，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，用字母可表示为：$m(a+b+c)=ma+mb+mc$。
2. 几何图形面积角度：构造一个长为$a+b+c$，宽为$m$的大长方形，大长方形的总面积为$m(a+b+c)$；将该大长方形分割为3个宽均为$m$，长分别为$a、b、c$的小长方形，3个小长方形的面积之和为$ma+mb+mc$，因此可得$m(a+b+c)=ma+mb+mc$，从几何意义上验证了单项式乘多项式的运算法则。
问题2
举例：计算 $2x·(3x^2 - 2x + 1)$
利用乘法分配律，将单项式$2x$分别与多项式$3x^2 - 2x + 1$的每一项相乘，即可将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式的运算：
1. 用$2x$乘多项式的第一项$3x^2$，得单项式乘单项式运算：$2x· 3x^2=6x^3$
2. 用$2x$乘多项式的第二项$-2x$，得单项式乘单项式运算：$2x·(-2x)=-4x^2$
3. 用$2x$乘多项式的第三项$1$，得单项式乘单项式运算：$2x·1=2x$
再把以上三个单项式乘单项式得到的积相加，最终结果为$6x^3-4x^2+2x$，即完成单项式与多项式相乘的运算，整个过程通过分配律将新运算转化为已掌握的单项式乘单项式运算。

【典型例题 1】计算:(1)$2ab(5ab^{2}+3a^{2}b)$；
(2)$(-2a-3a^{2}b^{2})· (-\frac{4}{5}abc)$；
(3)$\frac{1}{2}m^{2}n^{3}(-2mn^{2}+2m^{2}n-1)$.
思路导引 单项式 × 多项式
$\frac{乘法对加法的分配律}{转化}\rightarrow$单项式乘积的和.
【解】(1) 原式$=2ab· 5ab^{2}+2ab· 3a^{2}b=10a^{2}b^{3}+6a^{3}b^{2}$.
(2) 原式$=(-2a)· (-\frac{4}{5}abc)+(-3a^{2}b^{2})· (-\frac{4}{5}abc)=\frac{8}{5}a^{2}bc+\frac{12}{5}a^{3}b^{3}c$.
(3) 原式$=\frac{1}{2}m^{2}n^{3}· (-2mn^{2})+\frac{1}{2}m^{2}n^{3}· 2m^{2}n-\frac{1}{2}m^{2}n^{3}· 1=-m^{3}n^{5}+m^{4}n^{4}-\frac{1}{2}m^{2}n^{3}$.
规律方法 1. 单项式乘多项式的依据是乘法的分配律,法则中的“每一项”是指含有性质符号的项.
2. 单项式乘多项式,其积仍是多项式,项数与原多项式(没有同类项)的项数相同,不要漏乘项.
3. 积中符号的确定与去括号法则基本一致,括号前的单项式系数为正数,去括号后多项式各项系数的符号都不变,否则都改变.

解：
(1) 原式$=2ab· 5ab^2 + 2ab· 3a^2b$
$=10a^2b^3 + 6a^3b^2$
(2) 原式$=(-2a)· (-\frac{4}{5}abc) + (-3a^2b^2)· (-\frac{4}{5}abc)$
$=\frac{8}{5}a^2bc + \frac{12}{5}a^3b^3c$
(3) 原式$=\frac{1}{2}m^2n^3· (-2mn^2) + \frac{1}{2}m^2n^3· 2m^2n + \frac{1}{2}m^2n^3· (-1)$
$=-m^3n^5 + m^4n^4 - \frac{1}{2}m^2n^3$

1. 计算$(-3x^2)(1-2x)$的结果是 （）

A.$6x^3 -3$
B.$6x^3 -3x^2$
C.$-6x^3 -3x^2$
D.$6x^3 +3x^2$

1. B 【解析】$(-3x^2)(1-2x)=(-3x^2)· 1+(-3x^2)· (-2x)=6x^3-3x^2$.