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6.如图，张叔叔计划在一块长 130 m、宽60 m 的矩形空地开挖两块形状、大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为 5 750 m²，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为(
A.4.5 m
B.5 m
C.5.5 m
D.6 m
B
).A.4.5 m
B.5 m
C.5.5 m
D.6 m
答案
6. B 解析 设垂钓通道的宽度为x m,则两块垂钓鱼塘可合并成长为(130−3x)m、宽为(60−2x)m的矩形,根据题意,得(130−3x)(60−2x)=5 750.解方程,得$x_1=\frac{205}{3}＞60$(不符合题意,舍去),$x_2=5$.因此,垂钓通道的宽度为5 m.故选B.
7.如图,在一块长28 m、宽10 m的矩形空地上修建同样宽的道路(图中的阴影部分),余下部分铺设草坪,草坪的面积为243 m²,设道路的宽为x m,则x的值为
1
.答案
7. 1 解析 根据题意,得(28−x)(10−x)=243.
解方程,得$x_1=1,x_2=37＞10$(不符合题意,舍去).
因此,x的值为1.
解方程,得$x_1=1,x_2=37＞10$(不符合题意,舍去).
因此,x的值为1.
8. 如图1,当线段AB上有1个点(端点A,B除外)时,可将线段AB分成2部分,可得到3条线段;如图2,当线段AB上有2个点时,可将线段AB分成3部分,可得到6条线段;如图3,当线段AB上有3个点时,可将线段AB分成4部分,可得到10条线段……根据题意,回答下列问题.
(1)当线段AB上有4个点时,可将线段AB分成
(2)当线段AB上有n个点时,可将线段AB分成
(3)若在线段AB上共得到66条线段,则线段AB上除端点之外还有多少个点?
(1)当线段AB上有4个点时,可将线段AB分成
5
部分,可得到15
条线段.(2)当线段AB上有n个点时,可将线段AB分成
n+1
部分,可得到$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
条线段.(3)若在线段AB上共得到66条线段,则线段AB上除端点之外还有多少个点?
答案
8. 解 (1)5 15
(2)$n+1$ $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
(3)由题意,得$\frac{(n+1)(n+2)}{2}=66$,整理,得$n^2+3n−130=0$,
解得$n_1=10,n_2=−13$(不符合题意,舍去),
∴线段AB上除端点之外还有10个点.
(2)$n+1$ $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
(3)由题意,得$\frac{(n+1)(n+2)}{2}=66$,整理,得$n^2+3n−130=0$,
解得$n_1=10,n_2=−13$(不符合题意,舍去),
∴线段AB上除端点之外还有10个点.
9. 如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发,沿AB以1 cm/s的速度向点B移动;同时,点Q从点B出发,沿BC以2 cm/s的速度向点C移动,当其中一点到达终点时,运动即停止.设运动时间为t s.
(1)在运动过程中,PQ的长度能否为$3\sqrt{5}$ cm?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
(2)在运动过程中,$△ PDQ$的面积能否为8 cm²?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
(1)在运动过程中,PQ的长度能否为$3\sqrt{5}$ cm?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
(2)在运动过程中,$△ PDQ$的面积能否为8 cm²?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
答案
9. 解 (1)PQ的长度能为$3\sqrt{5}$ cm.
根据题意,得$AP=t\ \mathrm{cm},BP=AB−AP=(6−t)\mathrm{cm},BQ=2t\ \mathrm{cm}$.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°.
在$\mathrm{Rt}△BPQ$中,由勾股定理,得$BP^2+BQ^2=PQ^2$,即$(6−t)^2+(2t)^2=(3\sqrt{5})^2$.
解方程,得$t_1=−\frac{3}{5}$(不符合题意,舍去),$t_2=3$.
即当t的值为3时,PQ的长度为$3\sqrt{5}$ cm.
(2)$△PDQ$的面积不能为8 cm².理由如下:
设运动t s后,$△PDQ$的面积为8 cm².
根据题意,得$AP=t\ \mathrm{cm},BQ=2t\ \mathrm{cm}$,
则$BP=(6−t)\mathrm{cm},CQ=(12−2t)\mathrm{cm}$,
$S_{△PDQ}=S_{矩形ABCD}−S_{△ADP}−S_{△CDQ}−S_{△BPQ}=AB·BC−\frac{1}{2}AD·AP−\frac{1}{2}CD·CQ−\frac{1}{2}BP·BQ=6×12−\frac{1}{2}×12t−\frac{1}{2}×6(12−2t)−\frac{1}{2}(6−t)·2t=t^2−6t+36=8$,
即$t^2−6t+28=0$.
此时,$Δ=36−4×28=−76＜0$,
所以方程无实数根.
因此,$△PDQ$的面积不能为8 cm².
根据题意,得$AP=t\ \mathrm{cm},BP=AB−AP=(6−t)\mathrm{cm},BQ=2t\ \mathrm{cm}$.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°.
在$\mathrm{Rt}△BPQ$中,由勾股定理,得$BP^2+BQ^2=PQ^2$,即$(6−t)^2+(2t)^2=(3\sqrt{5})^2$.
解方程,得$t_1=−\frac{3}{5}$(不符合题意,舍去),$t_2=3$.
即当t的值为3时,PQ的长度为$3\sqrt{5}$ cm.
(2)$△PDQ$的面积不能为8 cm².理由如下:
设运动t s后,$△PDQ$的面积为8 cm².
根据题意,得$AP=t\ \mathrm{cm},BQ=2t\ \mathrm{cm}$,
则$BP=(6−t)\mathrm{cm},CQ=(12−2t)\mathrm{cm}$,
$S_{△PDQ}=S_{矩形ABCD}−S_{△ADP}−S_{△CDQ}−S_{△BPQ}=AB·BC−\frac{1}{2}AD·AP−\frac{1}{2}CD·CQ−\frac{1}{2}BP·BQ=6×12−\frac{1}{2}×12t−\frac{1}{2}×6(12−2t)−\frac{1}{2}(6−t)·2t=t^2−6t+36=8$,
即$t^2−6t+28=0$.
此时,$Δ=36−4×28=−76＜0$,
所以方程无实数根.
因此,$△PDQ$的面积不能为8 cm².
