登录
1 用反证法证明“四边形中至少有一个内角是钝角或直角”时，应先假设 （
A.四边形中至多有一个内角是锐角
B.四边形中所有内角都是锐角
C.四边形中所有内角都是直角
D.四边形中所有内角都是钝角
B
）A.四边形中至多有一个内角是锐角
B.四边形中所有内角都是锐角
C.四边形中所有内角都是直角
D.四边形中所有内角都是钝角
答案
1. B
解析
【分析】
解本题首先要明确反证法的第一步规则：需要假设原命题的结论不成立，也就是写出原结论的否定表述。首先分析原命题的结论：“四边形中至少有一个内角是钝角或直角”，其中“至少有一个”的否定是“一个都没有”，即不存在任何一个内角是钝角或直角，等价于四边形所有内角都是锐角，对应选项即可得到答案。
【解析】
反证法证明命题的第一步是假设原命题的结论不成立，即对原结论进行否定。
原命题的结论为“四边形中至少有一个内角是钝角或直角”，对该结论否定可得：不存在内角是钝角或直角，也就是四边形的所有内角都是锐角。
因此应先假设四边形中所有内角都是锐角，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反证法，命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始假设步骤，解题关键是正确对原命题的结论进行否定，需要熟练掌握“至少有一个”“至多有n个”等常见限定词的否定形式，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解本题首先要明确反证法的第一步规则：需要假设原命题的结论不成立，也就是写出原结论的否定表述。首先分析原命题的结论：“四边形中至少有一个内角是钝角或直角”，其中“至少有一个”的否定是“一个都没有”，即不存在任何一个内角是钝角或直角，等价于四边形所有内角都是锐角，对应选项即可得到答案。
【解析】
反证法证明命题的第一步是假设原命题的结论不成立，即对原结论进行否定。
原命题的结论为“四边形中至少有一个内角是钝角或直角”，对该结论否定可得：不存在内角是钝角或直角，也就是四边形的所有内角都是锐角。
因此应先假设四边形中所有内角都是锐角，故选B。
【答案】
B
【知识点】
反证法，命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始假设步骤，解题关键是正确对原命题的结论进行否定，需要熟练掌握“至少有一个”“至多有n个”等常见限定词的否定形式，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
2 用反证法证明命题“若实数$a,b$满足$ab=0$，则$a,b$中至少有一个为0”时，要做的假设是（
A.$a,b$都不为0
B.$a,b$中至多有一个为0
C.$a,b$中恰好有一个为0
D.$a,b$中至少有一个不为0
A
）A.$a,b$都不为0
B.$a,b$中至多有一个为0
C.$a,b$中恰好有一个为0
D.$a,b$中至少有一个不为0
答案
2. A
解析
【分析】
用反证法证明命题的第一步是对原命题的结论进行否定，即假设结论不成立。首先明确原命题的结论为“a,b中至少有一个为0”，“至少有一个”的含义是a、b中存在1个为0，或者两个都为0，其否定就是a、b中一个为0的都没有，也就是a、b都不为0，据此就能选出正确的假设。
【解析】
根据反证法的步骤，首先要假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
原命题的结论是“a,b中至少有一个为0”，“至少有一个为0”的否定为“a,b都不为0”，因此要做的假设是a,b都不为0，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题的关键是掌握常见逻辑表述的否定形式，属于反证法的基础概念题，熟练掌握相关表述的否定规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
用反证法证明命题的第一步是对原命题的结论进行否定，即假设结论不成立。首先明确原命题的结论为“a,b中至少有一个为0”，“至少有一个”的含义是a、b中存在1个为0，或者两个都为0，其否定就是a、b中一个为0的都没有，也就是a、b都不为0，据此就能选出正确的假设。
【解析】
根据反证法的步骤，首先要假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
原命题的结论是“a,b中至少有一个为0”，“至少有一个为0”的否定为“a,b都不为0”，因此要做的假设是a,b都不为0，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题的关键是掌握常见逻辑表述的否定形式，属于反证法的基础概念题，熟练掌握相关表述的否定规则即可快速作答。
【难度系数】
0.8
3 用反证法证明命题“在同一平面内，若一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交”时，第一步假设是（
A.这条直线与另一条平行
B.这条直线与另一条不相交
C.这条直线与另一条垂直
D.这条直线与另一条重合
B
）A.这条直线与另一条平行
B.这条直线与另一条不相交
C.这条直线与另一条垂直
D.这条直线与另一条重合
答案
3. B
解析
【分析】
反证法的第一步是假设命题的结论不成立，即对命题的结论进行否定。解答本题时，首先要找准原命题的结论，再得出结论的反面表述，对应选项就能得到正确答案。
【解析】
反证法的第一步为假设命题的结论不成立。
原命题的结论是“这条直线必与另一条相交”，对该结论进行否定，可得“这条直线与另一条不相交”，因此第一步假设就是这条直线与另一条不相交，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反证法；命题的否定；平面内两直线位置关系
【点评】
本题考查反证法的基础步骤，解题关键是准确识别命题的结论，再对结论做严谨否定，掌握反证法的基本规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
反证法的第一步是假设命题的结论不成立，即对命题的结论进行否定。解答本题时，首先要找准原命题的结论，再得出结论的反面表述，对应选项就能得到正确答案。
【解析】
反证法的第一步为假设命题的结论不成立。
原命题的结论是“这条直线必与另一条相交”，对该结论进行否定，可得“这条直线与另一条不相交”，因此第一步假设就是这条直线与另一条不相交，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
反证法；命题的否定；平面内两直线位置关系
【点评】
本题考查反证法的基础步骤，解题关键是准确识别命题的结论，再对结论做严谨否定，掌握反证法的基本规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
4 用反证法证明“若$|a|＜2$，则$-2＜a＜2$”时，
应先假设
应先假设
$a≥2$或$a≤-2$
。答案
4. $a≥2$或$a≤-2$
解析
【分析】
本题考查反证法的第一步假设，解题思路如下：首先明确反证法的逻辑要求：第一步需要假设原命题的结论不成立，即原结论的反面成立。接下来找准原命题的结论是“$-2＜a＜2$”，这个结论的含义是a同时满足$a＞-2$且$a＜2$，根据命题否定的规则，“且”连接的命题的否定是用“或”连接两个条件的否定，因此只需写出两个不等式的否定，再用“或”连接即可得到假设内容。
【解析】
反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
原命题的结论为：$-2＜a＜2$，其含义是$a＞-2$且$a＜2$。
对结论进行否定：“$a＞-2$”的否定是“$a≤-2$”，“$a＜2$”的否定是“$a≥2$”，且“且”命题的否定为“或”命题，因此结论的反面为$a≥2$或$a≤-2$，即应先假设$a≥2$或$a≤-2$。
【答案】
$a≥2$或$a≤-2$
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题是反证法的基础考查题，解题的关键是正确对原命题的结论进行否定，尤其要注意“且”类结论的否定要转化为“或”命题，同时不要遗漏等号的情况，避免出现否定不全面、逻辑连接词用错的问题。
【难度系数】
0.7
本题考查反证法的第一步假设，解题思路如下：首先明确反证法的逻辑要求：第一步需要假设原命题的结论不成立，即原结论的反面成立。接下来找准原命题的结论是“$-2＜a＜2$”，这个结论的含义是a同时满足$a＞-2$且$a＜2$，根据命题否定的规则，“且”连接的命题的否定是用“或”连接两个条件的否定，因此只需写出两个不等式的否定，再用“或”连接即可得到假设内容。
【解析】
反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
原命题的结论为：$-2＜a＜2$，其含义是$a＞-2$且$a＜2$。
对结论进行否定：“$a＞-2$”的否定是“$a≤-2$”，“$a＜2$”的否定是“$a≥2$”，且“且”命题的否定为“或”命题，因此结论的反面为$a≥2$或$a≤-2$，即应先假设$a≥2$或$a≤-2$。
【答案】
$a≥2$或$a≤-2$
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题是反证法的基础考查题，解题的关键是正确对原命题的结论进行否定，尤其要注意“且”类结论的否定要转化为“或”命题，同时不要遗漏等号的情况，避免出现否定不全面、逻辑连接词用错的问题。
【难度系数】
0.7
5 用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时，先假设
平行于同一条直线的两条直线相交
.答案
5. 平行于同一条直线的两条直线相交
解析
【分析】
反证法的第一步是假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。解题时首先要明确原命题的结论：原命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的结论是“两条直线互相平行”，其反面就是“这两条直线不平行”，同一平面内两条不平行的直线位置关系为相交，因此将结论的反面作为假设内容即可。
【解析】
反证法证明命题的第一步为：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
原命题的结论是“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，结论的反面为“平行于同一条直线的两条直线相交”，因此证明时先假设该反面结论成立。
【答案】
平行于同一条直线的两条直线相交
【知识点】
1.反证法
2.命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始假设环节，解题核心是准确找到原命题的结论，再正确写出结论的反面表述，属于反证法的基础应用类题目，熟练掌握反证法的基本步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.8
反证法的第一步是假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。解题时首先要明确原命题的结论：原命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的结论是“两条直线互相平行”，其反面就是“这两条直线不平行”，同一平面内两条不平行的直线位置关系为相交，因此将结论的反面作为假设内容即可。
【解析】
反证法证明命题的第一步为：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
原命题的结论是“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，结论的反面为“平行于同一条直线的两条直线相交”，因此证明时先假设该反面结论成立。
【答案】
平行于同一条直线的两条直线相交
【知识点】
1.反证法
2.命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始假设环节，解题核心是准确找到原命题的结论，再正确写出结论的反面表述，属于反证法的基础应用类题目，熟练掌握反证法的基本步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.8
6 用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，则点与圆的位置关系是 （
A.点在圆内
B.点在圆上
C.点在圆心处
D.点在圆上或圆内
D
）A.点在圆内
B.点在圆上
C.点在圆心处
D.点在圆上或圆内
答案
6. D
解析
【分析】
解这道题需要先明确两个核心要点：一是反证法的假设规则：反证法证明命题时，需假设原结论不成立，即原结论的反面全部成立；二是点与圆的所有位置关系，总共有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内。我们需要排除“点在圆外”的情况，剩下的所有位置关系就是最终结果，注意不要遗漏点在圆上的情形。
【解析】
第一步：明确点与圆的三类位置关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内。
第二步：根据反证法的规则，假设结论“点在圆外”不成立，即否定“点在圆外”这一情况，那么点的位置只能是剩余的两种：点在圆上或者点在圆内。
因此选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
反证法；点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础题，重点考查反证法的假设逻辑，解题关键是完整罗列原结论的所有反面情况，避免漏项。
【难度系数】
0.8
解这道题需要先明确两个核心要点：一是反证法的假设规则：反证法证明命题时，需假设原结论不成立，即原结论的反面全部成立；二是点与圆的所有位置关系，总共有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内。我们需要排除“点在圆外”的情况，剩下的所有位置关系就是最终结果，注意不要遗漏点在圆上的情形。
【解析】
第一步：明确点与圆的三类位置关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内。
第二步：根据反证法的规则，假设结论“点在圆外”不成立，即否定“点在圆外”这一情况，那么点的位置只能是剩余的两种：点在圆上或者点在圆内。
因此选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
反证法；点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础题，重点考查反证法的假设逻辑，解题关键是完整罗列原结论的所有反面情况，避免漏项。
【难度系数】
0.8
7 如图，在$△ ABC$中，AD是边BC上的高。用反证法证明：$∠ DAB$是锐角。
答案
7. 假设$∠ DAB$是钝角或直角，则$∠ DAB$不小于$90°$. $\because AD$是边BC上的高，$\therefore ∠ ADB=90°$. $\therefore ∠ ADB+∠ DAB+∠ B＞180°,$与三角形内角和定理相矛盾. $\therefore$ 假设不成立. $\therefore ∠ DAB$是锐角
解析
【分析】
本题使用反证法证明，遵循反证法的三步解题逻辑：第一步反设，先否定原命题的结论，“∠DAB是锐角”的反面为“∠DAB是直角或钝角（即∠DAB≥90°）”，需写全所有反面情况不能遗漏；第二步推谬，结合已知AD是BC边上的高，可得∠ADB=90°，再利用三角形内角和为180°的定理，推导△ABD的内角和会大于180°，得出矛盾；第三步得结论，由推出的矛盾判定假设不成立，即可肯定原命题的结论正确。
【解析】
证明：假设∠DAB是钝角或直角，则∠DAB≥90°。
∵AD是边BC上的高，
∴∠ADB=90°。
∵∠B是△ABD的内角，必然大于0°，
∴∠ADB+∠DAB+∠B＞90°+90°=180°，这与三角形内角和为180°的定理相矛盾。
∴假设不成立，因此∠DAB是锐角。
【答案】
∠DAB是锐角
【知识点】
反证法；三角形内角和定理；三角形高的性质
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，解题核心是正确写出原结论的反面假设，再结合相关几何定理推导矛盾即可，能帮助学生掌握反证法的基本解题步骤。
【难度系数】
0.8
本题使用反证法证明，遵循反证法的三步解题逻辑：第一步反设，先否定原命题的结论，“∠DAB是锐角”的反面为“∠DAB是直角或钝角（即∠DAB≥90°）”，需写全所有反面情况不能遗漏；第二步推谬，结合已知AD是BC边上的高，可得∠ADB=90°，再利用三角形内角和为180°的定理，推导△ABD的内角和会大于180°，得出矛盾；第三步得结论，由推出的矛盾判定假设不成立，即可肯定原命题的结论正确。
【解析】
证明：假设∠DAB是钝角或直角，则∠DAB≥90°。
∵AD是边BC上的高，
∴∠ADB=90°。
∵∠B是△ABD的内角，必然大于0°，
∴∠ADB+∠DAB+∠B＞90°+90°=180°，这与三角形内角和为180°的定理相矛盾。
∴假设不成立，因此∠DAB是锐角。
【答案】
∠DAB是锐角
【知识点】
反证法；三角形内角和定理；三角形高的性质
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，解题核心是正确写出原结论的反面假设，再结合相关几何定理推导矛盾即可，能帮助学生掌握反证法的基本解题步骤。
【难度系数】
0.8
8 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,P为$△ ABC$内一点,连接$PA$,$PB$,$PC$,$∠ APB ≠ ∠ APC$.请用反证法证明:$PB ≠ PC$.
答案
8. 假设$PB = PC$. 在$△ PBC$中，$\because PB = PC$，$\therefore ∠ PBC = ∠ PCB$. 在$△ ABC$中，$\because AB = AC$，$\therefore ∠ ABC = ∠ ACB$. $\therefore ∠ ABC-∠ PBC=∠ ACB-∠ PCB$,即$∠ ABP=∠ ACP$. 在$△ ABP$ 和$△ ACP$ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ ABP=∠ ACP, \\ PB=PC, \end{cases}$$\therefore △ ABP≌△ ACP$. $\therefore ∠ APB=∠ APC$. 这与已知的$∠ APB≠∠ APC$矛盾,故假设不成立,即$PB≠ PC$
解析
【分析】
本题采用反证法证明，解题思路遵循反证法的三步逻辑：①反设：假设待证结论$PB≠PC$的反面成立，即$PB=PC$；②归谬：结合已知$AB=AC$，利用等腰三角形等边对等角的性质推导角的等量关系，再通过SAS证明$△ ABP≌△ ACP$，得出$∠APB=∠APC$，该结论与已知$∠APB≠∠APC$矛盾；③结论：矛盾说明假设不成立，原结论正确。
【解析】
证明：假设$PB = PC$.
在$△ PBC$中，$\because PB = PC$，$\therefore ∠PBC = ∠PCB$.
在$△ ABC$中，$\because AB = AC$，$\therefore ∠ABC = ∠ACB$.
$\therefore ∠ABC-∠PBC=∠ACB-∠PCB$，即$∠ABP=∠ACP$.
在$△ ABP$和$△ ACP$中，
$\begin{cases}AB=AC, \\∠ABP=∠ACP, \\PB=PC,\end{cases}$
$\therefore △ ABP≌△ ACP(\mathrm{SAS})$.
$\therefore ∠APB=∠APC$.
这与已知的$∠APB≠∠APC$矛盾，故假设不成立，因此$PB≠PC$.
【答案】
$PB≠PC$
【知识点】
反证法；等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是反证法的典型应用，核心是掌握反证法的基本步骤，结合等腰三角形、全等三角形的相关性质推导矛盾，有助于强化对反证法逻辑的理解。
【难度系数】
0.7
本题采用反证法证明，解题思路遵循反证法的三步逻辑：①反设：假设待证结论$PB≠PC$的反面成立，即$PB=PC$；②归谬：结合已知$AB=AC$，利用等腰三角形等边对等角的性质推导角的等量关系，再通过SAS证明$△ ABP≌△ ACP$，得出$∠APB=∠APC$，该结论与已知$∠APB≠∠APC$矛盾；③结论：矛盾说明假设不成立，原结论正确。
【解析】
证明：假设$PB = PC$.
在$△ PBC$中，$\because PB = PC$，$\therefore ∠PBC = ∠PCB$.
在$△ ABC$中，$\because AB = AC$，$\therefore ∠ABC = ∠ACB$.
$\therefore ∠ABC-∠PBC=∠ACB-∠PCB$，即$∠ABP=∠ACP$.
在$△ ABP$和$△ ACP$中，
$\begin{cases}AB=AC, \\∠ABP=∠ACP, \\PB=PC,\end{cases}$
$\therefore △ ABP≌△ ACP(\mathrm{SAS})$.
$\therefore ∠APB=∠APC$.
这与已知的$∠APB≠∠APC$矛盾，故假设不成立，因此$PB≠PC$.
【答案】
$PB≠PC$
【知识点】
反证法；等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是反证法的典型应用，核心是掌握反证法的基本步骤，结合等腰三角形、全等三角形的相关性质推导矛盾，有助于强化对反证法逻辑的理解。
【难度系数】
0.7
