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1 若$y=\frac{m+2}{x}$是反比例函数，则$m$必须满足（
A.$m≠0$
B.$m=-2$
C.$m=2$
D.$m≠-2$
D
）A.$m≠0$
B.$m=-2$
C.$m=2$
D.$m≠-2$
答案
1.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆反比例函数的定义特征：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$，其中$k$是常数，且必须满足$k≠0$，否则函数就不是反比例函数。接下来对应题目给出的函数表达式，找到对应的比例系数是$m+2$，只需要让比例系数满足不等于0的条件，解不等式就能得到$m$的取值范围。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数。
本题中函数为$y=\frac{m+2}{x}$，对应可得比例系数$k=m+2$，根据定义要求$k≠0$，即：
$m+2≠0$
解得$m≠-2$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是牢记反比例函数中比例系数不能为0的限制条件，避免忽略该条件导致选错答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆反比例函数的定义特征：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$，其中$k$是常数，且必须满足$k≠0$，否则函数就不是反比例函数。接下来对应题目给出的函数表达式，找到对应的比例系数是$m+2$，只需要让比例系数满足不等于0的条件，解不等式就能得到$m$的取值范围。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数。
本题中函数为$y=\frac{m+2}{x}$，对应可得比例系数$k=m+2$，根据定义要求$k≠0$，即：
$m+2≠0$
解得$m≠-2$，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是牢记反比例函数中比例系数不能为0的限制条件，避免忽略该条件导致选错答案。
【难度系数】
0.9
2 数形结合思想 [2024 滨州]已知点$M(x_1,y_1)$和点$N(x_2,y_2)$在反比例函数$y=\dfrac{k^2 - 2k + 3}{x}$（$k$为常数）的图象上.若$x_1＜0＜x_2$，则$y_1$，$y_2$，0的大小关系为（
A.$y_1＜y_2＜0$
B.$y_1＞y_2＞0$
C.$y_1＜0＜y_2$
D.$y_1＞0＞y_2$
C
）A.$y_1＜y_2＜0$
B.$y_1＞y_2＞0$
C.$y_1＜0＜y_2$
D.$y_1＞0＞y_2$
答案
2.C
解析
【分析】
要判断反比例函数上两点的函数值与0的大小关系，首先需明确反比例函数的图象分布，这由比例系数的符号决定：第一步先对比例系数$k^2-2k+3$配方，判断其符号；确定比例系数为正后，可知图象位于第一、三象限；再结合两点横坐标的正负，判断两点所在的象限，即可得到对应$y$值的正负，最终完成大小比较。
【解析】
1. 先判断反比例函数比例系数的符号：
对$k^2-2k+3$配方可得：
$k^2-2k+3=(k-1)^2 + 2$
∵$(k-1)^2≥0$，
∴$(k-1)^2 + 2≥2＞0$，即反比例函数的比例系数大于0。
2. 确定图象分布：
比例系数大于0时，反比例函数$y=\frac{m}{x}(m＞0)$的图象位于第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。
3. 结合点的横坐标判断函数值符号：
∵$x_1＜0$，
∴点$M(x_1,y_1)$在第三象限，可得$y_1＜0$；
∵$x_2＞0$，
∴点$N(x_2,y_2)$在第一象限，可得$y_2＞0$。
综上可得$y_1＜0＜y_2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 配方法的应用
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数的性质，解题关键是先通过配方确定比例系数的符号，再结合象限内点的坐标特征判断函数值的大小，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.8
要判断反比例函数上两点的函数值与0的大小关系，首先需明确反比例函数的图象分布，这由比例系数的符号决定：第一步先对比例系数$k^2-2k+3$配方，判断其符号；确定比例系数为正后，可知图象位于第一、三象限；再结合两点横坐标的正负，判断两点所在的象限，即可得到对应$y$值的正负，最终完成大小比较。
【解析】
1. 先判断反比例函数比例系数的符号：
对$k^2-2k+3$配方可得：
$k^2-2k+3=(k-1)^2 + 2$
∵$(k-1)^2≥0$，
∴$(k-1)^2 + 2≥2＞0$，即反比例函数的比例系数大于0。
2. 确定图象分布：
比例系数大于0时，反比例函数$y=\frac{m}{x}(m＞0)$的图象位于第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。
3. 结合点的横坐标判断函数值符号：
∵$x_1＜0$，
∴点$M(x_1,y_1)$在第三象限，可得$y_1＜0$；
∵$x_2＞0$，
∴点$N(x_2,y_2)$在第一象限，可得$y_2＞0$。
综上可得$y_1＜0＜y_2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 配方法的应用
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数的性质，解题关键是先通过配方确定比例系数的符号，再结合象限内点的坐标特征判断函数值的大小，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.8
3 [2025 内蒙古]已知点$A(m,y_1)$，$B(m+1,y_2)$都在反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$的图象上，则下列结论一定正确的是（
A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.当$m＜0$时，$y_1＜y_2$
D.当$m＜-1$时，$y_1＜y_2$
D
）A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.当$m＜0$时，$y_1＜y_2$
D.当$m＜-1$时，$y_1＜y_2$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先根据反比例函数的解析式确定系数k的符号，明确函数的图象分布与增减性规律：k＜0时，图象在第二、四象限，同一象限内y随x的增大而增大。再结合两个点横坐标的大小关系，分情况讨论两点所在的象限，结合增减性逐一判断各选项的正确性即可，注意不能跨象限直接用增减性比较函数值大小。
【解析】
已知反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，其中$k=-3＜0$，
∴该函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
对A、B选项：$y_1$与$y_2$的大小关系随$m$的取值变化而变化，没有固定的大小关系，故A、B均错误；
对C选项：当$m＜0$时，分两种情况：
①若$-1＜m＜0$，则$m+1＞0$，此时点$A$在第二象限，$y_1＞0$，点$B$在第四象限，$y_2＜0$，可得$y_1＞y_2$，因此当$m＜0$时$y_1＜y_2$不一定成立，故C错误；
对D选项：当$m＜-1$时，$m+1＜0$，则点$A$、$B$都在第二象限，
∵$m＜m+1$，且第二象限内$y$随$x$的增大而增大，
∴$y_1＜y_2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；函数值大小比较
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题的易错点是忽略反比例函数的增减性仅适用于同一象限内，直接根据横坐标大小判断函数值大小，解题时需根据横坐标的取值范围分类讨论两点所在象限后再比较。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据反比例函数的解析式确定系数k的符号，明确函数的图象分布与增减性规律：k＜0时，图象在第二、四象限，同一象限内y随x的增大而增大。再结合两个点横坐标的大小关系，分情况讨论两点所在的象限，结合增减性逐一判断各选项的正确性即可，注意不能跨象限直接用增减性比较函数值大小。
【解析】
已知反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，其中$k=-3＜0$，
∴该函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
对A、B选项：$y_1$与$y_2$的大小关系随$m$的取值变化而变化，没有固定的大小关系，故A、B均错误；
对C选项：当$m＜0$时，分两种情况：
①若$-1＜m＜0$，则$m+1＞0$，此时点$A$在第二象限，$y_1＞0$，点$B$在第四象限，$y_2＜0$，可得$y_1＞y_2$，因此当$m＜0$时$y_1＜y_2$不一定成立，故C错误；
对D选项：当$m＜-1$时，$m+1＜0$，则点$A$、$B$都在第二象限，
∵$m＜m+1$，且第二象限内$y$随$x$的增大而增大，
∴$y_1＜y_2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；函数值大小比较
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题的易错点是忽略反比例函数的增减性仅适用于同一象限内，直接根据横坐标大小判断函数值大小，解题时需根据横坐标的取值范围分类讨论两点所在象限后再比较。
【难度系数】
0.6
4 如图，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 在第一象限的图象经过矩形ABCD对角线的交点E和顶点A。若点B，C在x轴上，$S_{△ OCE}=6$，则k=
8
。答案
4.8
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以通过设坐标结合反比例函数、矩形的性质推导：首先设出矩形相关点的坐标，利用反比例函数上点的横纵坐标乘积等于k的性质，建立k和坐标的关系，再结合三角形面积公式列方程求解。
1. 设点B坐标为$(b,0)$，点C坐标为$(c,0)$，矩形顶点A坐标为$(b,a)$，矩形对角线交点E是AC中点，因此E的坐标为$(\frac{b+c}{2},\frac{a}{2})$；
2. 由A、E都在反比例函数上，可得$ab=k$，且$\frac{b+c}{2} × \frac{a}{2}=k$，整理得$a(b+c)=4k$；
3. $△ OCE$的底为OC长度$c$，高为E的纵坐标$\frac{a}{2}$，结合面积为6，可推出$ac=24$；
4. 将$a(b+c)$拆分为$ab+ac$，代入上述关系即可求出k。
【解析】
设$B(b,0)$，$C(c,0)$，$A(b,a)$，
∵ 四边形ABCD是矩形，E是对角线交点，
∴ E为AC的中点，坐标为$( \frac{b+c}{2}, \frac{a}{2} )$。
∵ 点A、E都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
∴ $ab = k$ ①，
$\frac{b+c}{2} × \frac{a}{2} = k$，整理得$a(b+c)=4k$ ②。
∵ $S_{△ OCE}=6$，$△ OCE$的底为$OC=c$，高为E的纵坐标$\frac{a}{2}$，
∴ $\frac{1}{2} × c × \frac{a}{2} = 6$，即$ac=24$ ③。
将②展开得$ab + ac =4k$，把①、③代入得：
$k + 24 =4k$，
解得$3k=24$，$k=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的性质，矩形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的典型题型，解题核心是利用矩形中点性质表示出点坐标，结合反比例函数k的几何意义和面积公式建立等量关系，能够很好地考查学生数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.65
要解决这道题，我们可以通过设坐标结合反比例函数、矩形的性质推导：首先设出矩形相关点的坐标，利用反比例函数上点的横纵坐标乘积等于k的性质，建立k和坐标的关系，再结合三角形面积公式列方程求解。
1. 设点B坐标为$(b,0)$，点C坐标为$(c,0)$，矩形顶点A坐标为$(b,a)$，矩形对角线交点E是AC中点，因此E的坐标为$(\frac{b+c}{2},\frac{a}{2})$；
2. 由A、E都在反比例函数上，可得$ab=k$，且$\frac{b+c}{2} × \frac{a}{2}=k$，整理得$a(b+c)=4k$；
3. $△ OCE$的底为OC长度$c$，高为E的纵坐标$\frac{a}{2}$，结合面积为6，可推出$ac=24$；
4. 将$a(b+c)$拆分为$ab+ac$，代入上述关系即可求出k。
【解析】
设$B(b,0)$，$C(c,0)$，$A(b,a)$，
∵ 四边形ABCD是矩形，E是对角线交点，
∴ E为AC的中点，坐标为$( \frac{b+c}{2}, \frac{a}{2} )$。
∵ 点A、E都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
∴ $ab = k$ ①，
$\frac{b+c}{2} × \frac{a}{2} = k$，整理得$a(b+c)=4k$ ②。
∵ $S_{△ OCE}=6$，$△ OCE$的底为$OC=c$，高为E的纵坐标$\frac{a}{2}$，
∴ $\frac{1}{2} × c × \frac{a}{2} = 6$，即$ac=24$ ③。
将②展开得$ab + ac =4k$，把①、③代入得：
$k + 24 =4k$，
解得$3k=24$，$k=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的性质，矩形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何结合的典型题型，解题核心是利用矩形中点性质表示出点坐标，结合反比例函数k的几何意义和面积公式建立等量关系，能够很好地考查学生数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.65
5 将油箱注满k升油后，轿车行驶的总路程s(千米)与平均耗油量a(升/千米)之间满足反比例函数关系：$s=\frac{k}{a}$(k是常数，k≠0)。已知某轿车的油箱注满油后，以平均耗油量为0.08升/千米的速度行驶，可行驶750千米。当该轿车只可以行驶500千米时，平均耗油量为
0.12
升/千米。答案
5.0.12
解析
【分析】
本题属于反比例函数的实际应用类题目，解题思路分为两步：第一步，先利用题目给出的已知a、s的对应值，代入反比例函数关系式求出常数k的值，得到完整的函数解析式；第二步，将题目要求的行驶路程s=500千米代入已求出的解析式，计算得出对应的平均耗油量a即可。
【解析】
首先，将$a=0.08$升/千米，$s=750$千米代入反比例函数$s=\frac{k}{a}$中，可得：
$750=\frac{k}{0.08}$
解得$k=750×0.08=60$
因此该函数的解析式为$s=\frac{60}{a}$
当轿车可行驶的总路程$s=500$千米时，代入解析式得：
$500=\frac{60}{a}$
解得$a=\frac{60}{500}=0.12$（升/千米）
【答案】
0.12
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求解析式；反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数的基础应用型题目，侧重考查对反比例函数基本概念的掌握和运用能力，解题关键是先求出常数k确定函数解析式，再代入对应值求解，整体解题逻辑清晰，步骤固定。
【难度系数】
0.85
本题属于反比例函数的实际应用类题目，解题思路分为两步：第一步，先利用题目给出的已知a、s的对应值，代入反比例函数关系式求出常数k的值，得到完整的函数解析式；第二步，将题目要求的行驶路程s=500千米代入已求出的解析式，计算得出对应的平均耗油量a即可。
【解析】
首先，将$a=0.08$升/千米，$s=750$千米代入反比例函数$s=\frac{k}{a}$中，可得：
$750=\frac{k}{0.08}$
解得$k=750×0.08=60$
因此该函数的解析式为$s=\frac{60}{a}$
当轿车可行驶的总路程$s=500$千米时，代入解析式得：
$500=\frac{60}{a}$
解得$a=\frac{60}{500}=0.12$（升/千米）
【答案】
0.12
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求解析式；反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数的基础应用型题目，侧重考查对反比例函数基本概念的掌握和运用能力，解题关键是先求出常数k确定函数解析式，再代入对应值求解，整体解题逻辑清晰，步骤固定。
【难度系数】
0.85
