登录
6 [2025深圳]如图，同一平面直角坐标系中，正比例函数$y=ax$与反比例函数$y=\dfrac{2-a}{x}$的图象相交于点A和点B。若点A的横坐标为1，则点B的坐标为
(-1,-1)
。答案
6.(-1,-1)
解析
【分析】
已知点A是正比例函数和反比例函数的交点，且横坐标为1，交点同时满足两个函数的解析式，因此先将x=1代入两个函数解析式，利用y值相等列方程求出参数a的值，确定A点坐标，再结合正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的性质，即可求出点B的坐标。
【解析】
∵ 点A是正比例函数$y=ax$和反比例函数$y=\dfrac{2-a}{x}$的交点，且点A的横坐标为1
∴ 将x=1代入两个函数，对应y值相等，可得：
$a× 1=\dfrac{2-a}{1}$
解得$a=1$
∴ 正比例函数解析式为$y=x$，将$x=1$代入得$y=1$，即点A的坐标为$(1,1)$
又
∵ 正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称，点B与点A关于原点对称
∴ 点B的坐标为$(-1,-1)$
【答案】
$(-1,-1)$
【知识点】
函数图象上点的坐标特征；正比例函数的性质；反比例函数的性质
【点评】
本题属于函数交点的基础题型，解题核心是理解函数图象上的点满足对应函数解析式，同时掌握正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的规律，可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
已知点A是正比例函数和反比例函数的交点，且横坐标为1，交点同时满足两个函数的解析式，因此先将x=1代入两个函数解析式，利用y值相等列方程求出参数a的值，确定A点坐标，再结合正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的性质，即可求出点B的坐标。
【解析】
∵ 点A是正比例函数$y=ax$和反比例函数$y=\dfrac{2-a}{x}$的交点，且点A的横坐标为1
∴ 将x=1代入两个函数，对应y值相等，可得：
$a× 1=\dfrac{2-a}{1}$
解得$a=1$
∴ 正比例函数解析式为$y=x$，将$x=1$代入得$y=1$，即点A的坐标为$(1,1)$
又
∵ 正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称，点B与点A关于原点对称
∴ 点B的坐标为$(-1,-1)$
【答案】
$(-1,-1)$
【知识点】
函数图象上点的坐标特征；正比例函数的性质；反比例函数的性质
【点评】
本题属于函数交点的基础题型，解题核心是理解函数图象上的点满足对应函数解析式，同时掌握正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的规律，可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
7 [2024泰安]如图，直线$y=kx+b(k≠0)$与反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象相交于点$A(-2,m)$，$B(n,-1)$，与$y$轴交于点$C$。
(1) 求直线对应的函数解析式；
(2) 当$kx+b ＞ -\dfrac{8}{x}$时，请直接写出满足条件的$x$的取值范围；
(3) 过点$C$作$x$轴的平行线，交反比例函数的图象于点$D$，连接$AD$，求$△ ACD$的面积。
(1) 求直线对应的函数解析式；
(2) 当$kx+b ＞ -\dfrac{8}{x}$时，请直接写出满足条件的$x$的取值范围；
(3) 过点$C$作$x$轴的平行线，交反比例函数的图象于点$D$，连接$AD$，求$△ ACD$的面积。
答案
7. (1) $\because$ 点$A(-2,m),B(n,-1)$在反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象上，$\therefore -2m=-8,-n=-8$，解得$m=4,n=8$.$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-2,4)$，点$B$的坐标为$(8,-1)$.$\because$ 点$A(-2,4),B(8,-1)$在直线$y=kx+b$上，$\therefore \begin{cases}-2k+b=4,\\8k+b=-1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2},\\b=3.\end{cases}$ $\therefore$ 直线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$
(2) 由题图可知，当$kx+b＞-\dfrac{8}{x}$时，$x＜-2$或$0＜x＜8$
(3) 对于$y=-\dfrac{1}{2}x+3$，令$x=0$，得$y=3$.$\therefore C(0,3)$.把$y=3$代入$y=-\dfrac{8}{x}$，得$3=-\dfrac{8}{x}$，解得$x=-\dfrac{8}{3}$.$\therefore D(-\dfrac{8}{3},3)$，$CD=\dfrac{8}{3}$.$\therefore S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{8}{3}×(4-3)=\dfrac{4}{3}$，即$△ ACD$的面积为$\dfrac{4}{3}$
(2) 由题图可知，当$kx+b＞-\dfrac{8}{x}$时，$x＜-2$或$0＜x＜8$
(3) 对于$y=-\dfrac{1}{2}x+3$，令$x=0$，得$y=3$.$\therefore C(0,3)$.把$y=3$代入$y=-\dfrac{8}{x}$，得$3=-\dfrac{8}{x}$，解得$x=-\dfrac{8}{3}$.$\therefore D(-\dfrac{8}{3},3)$，$CD=\dfrac{8}{3}$.$\therefore S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{8}{3}×(4-3)=\dfrac{4}{3}$，即$△ ACD$的面积为$\dfrac{4}{3}$
解析
【分析】
(1) 要求直线的函数解析式，需要先得到直线上两个点的完整坐标：已知A、B两点在反比例函数图象上，将两点坐标代入反比例函数解析式即可求出m、n的值，得到A、B的坐标；再将两点坐标代入一次函数表达式，通过解二元一次方程组求出k、b的值，即可得到直线解析式。
(2) 不等式$kx+b＞-\dfrac{8}{x}$的几何意义是一次函数图象位于反比例函数图象上方的部分，结合两个交点的坐标，注意反比例函数自变量$x≠0$，分$x＜0$和$x＞0$两个区间观察图象，就能得到对应的x取值范围。
(3) 先求直线与y轴交点C的坐标：令一次函数中$x=0$即可得到C点纵坐标；由于CD平行于x轴，因此D点纵坐标与C点相同，将纵坐标代入反比例函数解析式求出D点横坐标，即可得到CD的长度；$△ ACD$的高为A点纵坐标与C点纵坐标的差，最后用三角形面积公式$S=\dfrac{1}{2}×底×高$计算面积即可。
【解析】
(1) $\because$ 点$A(-2,m)$，$B(n,-1)$在反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象上，
$\therefore -2m=-8$，$-n=-8$，解得$m=4$，$n=8$，
$\therefore$ 点A坐标为$(-2,4)$，点B坐标为$(8,-1)$。
将A、B两点坐标代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}-2k+b=4\\8k+b=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2}\\b=3\end{cases}$
$\therefore$ 直线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$。
(2) 结合图象可知，一次函数图象在反比例函数图象上方时，对应的x的取值范围是$x＜-2$或$0＜x＜8$。
(3) 对于$y=-\dfrac{1}{2}x+3$，令$x=0$，得$y=3$，$\therefore C(0,3)$。
$\because CD// x$轴，$\therefore$ D点纵坐标为3，将$y=3$代入$y=-\dfrac{8}{x}$得：
$3=-\dfrac{8}{x}$，解得$x=-\dfrac{8}{3}$，$\therefore D(-\dfrac{8}{3},3)$，
$\therefore CD$的长度为$\vert0-(-\dfrac{8}{3})\vert=\dfrac{8}{3}$，
$△ ACD$中CD边上的高为$4-3=1$，
$\therefore S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{8}{3}×1=\dfrac{4}{3}$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}x+3$
(2) $x＜-2$或$0＜x＜8$
(3) $\dfrac{4}{3}$
【知识点】
待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，一次函数与反比例函数综合
【点评】
本题属于函数综合基础题，考查了点在函数图象上的坐标特征、利用图象解不等式、三角形面积计算等内容，解题时要注意反比例函数自变量不为0的限制，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 要求直线的函数解析式，需要先得到直线上两个点的完整坐标：已知A、B两点在反比例函数图象上，将两点坐标代入反比例函数解析式即可求出m、n的值，得到A、B的坐标；再将两点坐标代入一次函数表达式，通过解二元一次方程组求出k、b的值，即可得到直线解析式。
(2) 不等式$kx+b＞-\dfrac{8}{x}$的几何意义是一次函数图象位于反比例函数图象上方的部分，结合两个交点的坐标，注意反比例函数自变量$x≠0$，分$x＜0$和$x＞0$两个区间观察图象，就能得到对应的x取值范围。
(3) 先求直线与y轴交点C的坐标：令一次函数中$x=0$即可得到C点纵坐标；由于CD平行于x轴，因此D点纵坐标与C点相同，将纵坐标代入反比例函数解析式求出D点横坐标，即可得到CD的长度；$△ ACD$的高为A点纵坐标与C点纵坐标的差，最后用三角形面积公式$S=\dfrac{1}{2}×底×高$计算面积即可。
【解析】
(1) $\because$ 点$A(-2,m)$，$B(n,-1)$在反比例函数$y=-\dfrac{8}{x}$的图象上，
$\therefore -2m=-8$，$-n=-8$，解得$m=4$，$n=8$，
$\therefore$ 点A坐标为$(-2,4)$，点B坐标为$(8,-1)$。
将A、B两点坐标代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}-2k+b=4\\8k+b=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{2}\\b=3\end{cases}$
$\therefore$ 直线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$。
(2) 结合图象可知，一次函数图象在反比例函数图象上方时，对应的x的取值范围是$x＜-2$或$0＜x＜8$。
(3) 对于$y=-\dfrac{1}{2}x+3$，令$x=0$，得$y=3$，$\therefore C(0,3)$。
$\because CD// x$轴，$\therefore$ D点纵坐标为3，将$y=3$代入$y=-\dfrac{8}{x}$得：
$3=-\dfrac{8}{x}$，解得$x=-\dfrac{8}{3}$，$\therefore D(-\dfrac{8}{3},3)$，
$\therefore CD$的长度为$\vert0-(-\dfrac{8}{3})\vert=\dfrac{8}{3}$，
$△ ACD$中CD边上的高为$4-3=1$，
$\therefore S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{8}{3}×1=\dfrac{4}{3}$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{2}x+3$
(2) $x＜-2$或$0＜x＜8$
(3) $\dfrac{4}{3}$
【知识点】
待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，一次函数与反比例函数综合
【点评】
本题属于函数综合基础题，考查了点在函数图象上的坐标特征、利用图象解不等式、三角形面积计算等内容，解题时要注意反比例函数自变量不为0的限制，避免漏解。
【难度系数】
0.7
8 在平面直角坐标系中,反比例函数 $ y=\frac{k}{x} $ 的图象经过点 $ A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) $,其中 $ x_1≠x_2 $,则下列说法错误的是（
A.若 $ x_1x_2＜0 $,则 $ y_1y_2＜0 $
B.若 $ (x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0 $,则 $ k＜0 $
C.若 $ x_1+x_2=0 $,则点 $ A,B $ 关于原点对称
D.若 $ k＞0,x_1＞x_2＞0 $,则 $ y_2＞y_1＞0 $
B
）A.若 $ x_1x_2＜0 $,则 $ y_1y_2＜0 $
B.若 $ (x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0 $,则 $ k＜0 $
C.若 $ x_1+x_2=0 $,则点 $ A,B $ 关于原点对称
D.若 $ k＞0,x_1＞x_2＞0 $,则 $ y_2＞y_1＞0 $
答案
8.B
解析
【分析】
本题考查反比例函数的性质，解题时先利用反比例函数图象上点的坐标特征，即点在图象上则横纵坐标的乘积等于k，再结合每个选项的条件逐一推导判断即可。首先明确反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的性质：$k＞0$时，图象在一、三象限，每个象限内$y$随$x$的增大而减小；$k＜0$时，图象在二、四象限，每个象限内$y$随$x$的增大而增大，再依次分析四个选项的正误。
【解析】
∵点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$x_1y_1=k$，$x_2y_2=k$（$k≠0$）。
选项A：若$x_1x_2＜0$，则$y_1y_2=\frac{k}{x_1}·\frac{k}{x_2}=\frac{k^2}{x_1x_2}$，
∵$k^2＞0$，$x_1x_2＜0$，
∴$y_1y_2＜0$，A说法正确，不符合题意；
选项B：若$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$，说明$x$和$y$的变化趋势相反，即$x$增大时$y$减小。
举反例：当$k=2＞0$，取$x_1=2$，$x_2=1$，则$y_1=1$，$y_2=2$，
此时$(2-1)×(1-2)=-1＜0$，但$k＞0$，因此不能推出$k＜0$，B说法错误，符合题意；
选项C：若$x_1+x_2=0$，则$x_2=-x_1$，
∴$y_2=\frac{k}{x_2}=\frac{k}{-x_1}=-y_1$，即点$B$坐标为$(-x_1,-y_1)$，与点$A(x_1,y_1)$关于原点对称，C说法正确，不符合题意；
选项D：若$k＞0$，$x_1＞x_2＞0$，此时两点都在第一象限，
∵$k＞0$时反比例函数在第一象限内$y$随$x$的增大而减小，
∴$y_2＞y_1＞0$，D说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题围绕反比例函数的图象与性质设置选项，解题时要注意结合坐标特征推导结论，尤其要注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，判断命题正误时可通过举反例快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
本题考查反比例函数的性质，解题时先利用反比例函数图象上点的坐标特征，即点在图象上则横纵坐标的乘积等于k，再结合每个选项的条件逐一推导判断即可。首先明确反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的性质：$k＞0$时，图象在一、三象限，每个象限内$y$随$x$的增大而减小；$k＜0$时，图象在二、四象限，每个象限内$y$随$x$的增大而增大，再依次分析四个选项的正误。
【解析】
∵点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$x_1y_1=k$，$x_2y_2=k$（$k≠0$）。
选项A：若$x_1x_2＜0$，则$y_1y_2=\frac{k}{x_1}·\frac{k}{x_2}=\frac{k^2}{x_1x_2}$，
∵$k^2＞0$，$x_1x_2＜0$，
∴$y_1y_2＜0$，A说法正确，不符合题意；
选项B：若$(x_1-x_2)(y_1-y_2)＜0$，说明$x$和$y$的变化趋势相反，即$x$增大时$y$减小。
举反例：当$k=2＞0$，取$x_1=2$，$x_2=1$，则$y_1=1$，$y_2=2$，
此时$(2-1)×(1-2)=-1＜0$，但$k＞0$，因此不能推出$k＜0$，B说法错误，符合题意；
选项C：若$x_1+x_2=0$，则$x_2=-x_1$，
∴$y_2=\frac{k}{x_2}=\frac{k}{-x_1}=-y_1$，即点$B$坐标为$(-x_1,-y_1)$，与点$A(x_1,y_1)$关于原点对称，C说法正确，不符合题意；
选项D：若$k＞0$，$x_1＞x_2＞0$，此时两点都在第一象限，
∵$k＞0$时反比例函数在第一象限内$y$随$x$的增大而减小，
∴$y_2＞y_1＞0$，D说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题围绕反比例函数的图象与性质设置选项，解题时要注意结合坐标特征推导结论，尤其要注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，判断命题正误时可通过举反例快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
9 如图,在平面直角坐标系中,点 P 在函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象上,点 A,B 在 x 轴上,且 $PA ⊥ PB$,垂足为 P,PA 交 y 轴于点 C,$AO=BO=BP$,$△ ABP$ 的面积是 2,则 k 的值是 (
(第 9 题)
A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2
A
)(第 9 题)
A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2
答案
9.A
解析
【分析】
要确定反比例函数中k的值，只需求出图象上点P的横、纵坐标的乘积即可。首先由AO=BO可知O是AB中点，结合PA⊥PB可得△ABP是直角三角形，我们可以先设参数表示OB的长度，再过P作x轴的垂线，利用直角三角形的边角关系表示出P点的横、纵坐标与参数的关系，最后结合△ABP的面积条件，通过整体代入即可求出k的值，无需计算参数的具体数值。
【解析】
过点P作PD⊥x轴，垂足为D。
设OB=a（a＞0），由AO=BO=BP得：AO=BP=a，AB=AO+OB=2a。
∵ PA⊥PB，
∴ ∠APB=90°，△ABP为直角三角形。
在Rt△ABP中，AB=2a，BP=a，
∴ cos∠ABP=BP/AB=1/2，即∠ABP=60°。
在Rt△PBD中，BP=a，∠PBD=60°：
BD=BP·cos60°=a×1/2=a/2，PD=BP·sin60°=a×√3/2，
∴ 点P的横坐标为OB - BD = a - a/2 = a/2，纵坐标为PD=√3 a/2。
已知△ABP的面积为2，由三角形面积公式：
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2} × AB × PD=\frac{1}{2} × 2a × \frac{\sqrt{3}a}{2}=2$，化简得$\sqrt{3}a^2=4$。
∵ 点P在$y=\frac{k}{x}（x＞0）$的图象上，
∴ $k=x · y=\frac{a}{2} × \frac{\sqrt{3}a}{2}=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$，
将$\sqrt{3}a^2=4$代入得：$k=\frac{4}{4}=1$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数与几何图形的综合题，解题的核心是通过作辅助线用参数表示点P的坐标，再利用整体代入的方法计算k，避免了复杂的参数求解，很好地考查了数形结合思想和整体运算能力。
【难度系数】
0.6
要确定反比例函数中k的值，只需求出图象上点P的横、纵坐标的乘积即可。首先由AO=BO可知O是AB中点，结合PA⊥PB可得△ABP是直角三角形，我们可以先设参数表示OB的长度，再过P作x轴的垂线，利用直角三角形的边角关系表示出P点的横、纵坐标与参数的关系，最后结合△ABP的面积条件，通过整体代入即可求出k的值，无需计算参数的具体数值。
【解析】
过点P作PD⊥x轴，垂足为D。
设OB=a（a＞0），由AO=BO=BP得：AO=BP=a，AB=AO+OB=2a。
∵ PA⊥PB，
∴ ∠APB=90°，△ABP为直角三角形。
在Rt△ABP中，AB=2a，BP=a，
∴ cos∠ABP=BP/AB=1/2，即∠ABP=60°。
在Rt△PBD中，BP=a，∠PBD=60°：
BD=BP·cos60°=a×1/2=a/2，PD=BP·sin60°=a×√3/2，
∴ 点P的横坐标为OB - BD = a - a/2 = a/2，纵坐标为PD=√3 a/2。
已知△ABP的面积为2，由三角形面积公式：
$S_{△ ABP}=\frac{1}{2} × AB × PD=\frac{1}{2} × 2a × \frac{\sqrt{3}a}{2}=2$，化简得$\sqrt{3}a^2=4$。
∵ 点P在$y=\frac{k}{x}（x＞0）$的图象上，
∴ $k=x · y=\frac{a}{2} × \frac{\sqrt{3}a}{2}=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}$，
将$\sqrt{3}a^2=4$代入得：$k=\frac{4}{4}=1$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数与几何图形的综合题，解题的核心是通过作辅助线用参数表示点P的坐标，再利用整体代入的方法计算k，避免了复杂的参数求解，很好地考查了数形结合思想和整体运算能力。
【难度系数】
0.6
10 [2025 龙东地区]如图，在平面直角坐标系中，点A，B都在双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$在第二象限的一支上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为－1，$∠AOB=∠ABO=45°$，则k的值为 （
A.$\sqrt{2}$
B.$-\frac{\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$-\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
D
）A.$\sqrt{2}$
B.$-\frac{\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$-\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
答案
10.D 【解析】如图，过点A作$MN// x$轴，交$y$轴于点$N$，过点$B$作$BM⊥ MN$，垂足为$M$，则$∠ BMA = ∠ ANO = 90°$.$\because ∠ AOB = ∠ ABO = 45°$，$\therefore AB = AO$，$∠ BAO = 90°$.$\therefore △ AOB$是等腰直角三角形.$\therefore ∠ MAB + ∠ NAO = 90°$，$∠ MAB + ∠ MBA = 90°$.$\therefore ∠ MBA = ∠ NAO$. 在$△ BMA$和$△ ANO$中，$\begin{cases}∠ MBA = ∠ NAO,\\∠ BMA = ∠ ANO,\\AB = OA,\end{cases}$$\therefore △ BMA≌△ ANO$.$\therefore BM=AN$，$AM=ON$.$\because$ 点$A$的横坐标为$-1$，$\therefore A(-1,-k)$，$AN=BM=1$.$\therefore ON=AM=-k$.$\therefore B(-1+k,-k-1)$.$\because$ 点$B$在双曲线$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$上，$\therefore k=(-1+k)(-1-k)=1-k^2$. 整理，得$k^2+k-1=0$，解得$k=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$(舍去)或$k=-\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$.
解析
【分析】
解题时先从已知角度条件切入：由∠AOB=∠ABO=45°可推出△AOB是等腰直角三角形，得到AB=AO、∠BAO=90°，此时可通过构造“一线三垂直”模型证明三角形全等，建立两点坐标的关联。第一步先根据点A在双曲线上且横坐标为-1，写出点A的坐标；第二步利用全等三角形对应边相等的性质，表示出点B的坐标；第三步将点B坐标代入反比例函数解析式得到关于k的方程，解方程后结合双曲线所在第二象限的符号要求，舍去不符合的正根，即可得到k的取值。
【解析】
如图，过点A作$MN// x$轴，交$y$轴于点$N$，过点$B$作$BM⊥ MN$，垂足为$M$，则$∠ BMA = ∠ ANO = 90°$。
$\because ∠ AOB = ∠ ABO = 45°$，
$\therefore AB = AO$，$∠ BAO = 180°-45°-45°=90°$，
$\therefore ∠ MAB + ∠ NAO = 90°$，
又$\because ∠ MAB + ∠ MBA = 90°$，
$\therefore ∠ MBA = ∠ NAO$。
在$△ BMA$和$△ ANO$中，
$\begin{cases}∠ MBA = ∠ NAO,\\∠ BMA = ∠ ANO,\\AB = OA,\end{cases}$
$\therefore △ BMA≌△ ANO(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BM=AN$，$AM=ON$。
$\because$点A在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，横坐标为$-1$，代入得$y=\frac{k}{-1}=-k$，即$A(-1,-k)$，
$\therefore AN=BM=1$，$ON=AM=-k$，
则点B的横坐标为$-1 - AM = -1 - (-k) = -1 + k$，纵坐标为$-k - BM = -k -1$，即$B(-1+k,-k-1)$。
$\because$点B在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，将B点坐标代入得：
$k = (-1+k)(-k-1)$，
展开右边得$(-1+k)(-1-k)=(-1)^2 - k^2 = 1 - k^2$，
整理得$k^2 + k -1 = 0$，
解得$k=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，
$\because$双曲线的分支在第二象限，$\therefore k＜0$，
$\therefore k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（正根，舍去），$k=-\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，解题核心是通过构造“一线三垂直”全等模型，实现线段长度与点坐标的转化，再结合反比例函数图象上点的坐标特征列方程求解，解题时要注意根据函数所在象限对所得的根进行取舍。
【难度系数】
0.3
解题时先从已知角度条件切入：由∠AOB=∠ABO=45°可推出△AOB是等腰直角三角形，得到AB=AO、∠BAO=90°，此时可通过构造“一线三垂直”模型证明三角形全等，建立两点坐标的关联。第一步先根据点A在双曲线上且横坐标为-1，写出点A的坐标；第二步利用全等三角形对应边相等的性质，表示出点B的坐标；第三步将点B坐标代入反比例函数解析式得到关于k的方程，解方程后结合双曲线所在第二象限的符号要求，舍去不符合的正根，即可得到k的取值。
【解析】
如图，过点A作$MN// x$轴，交$y$轴于点$N$，过点$B$作$BM⊥ MN$，垂足为$M$，则$∠ BMA = ∠ ANO = 90°$。
$\because ∠ AOB = ∠ ABO = 45°$，
$\therefore AB = AO$，$∠ BAO = 180°-45°-45°=90°$，
$\therefore ∠ MAB + ∠ NAO = 90°$，
又$\because ∠ MAB + ∠ MBA = 90°$，
$\therefore ∠ MBA = ∠ NAO$。
在$△ BMA$和$△ ANO$中，
$\begin{cases}∠ MBA = ∠ NAO,\\∠ BMA = ∠ ANO,\\AB = OA,\end{cases}$
$\therefore △ BMA≌△ ANO(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BM=AN$，$AM=ON$。
$\because$点A在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，横坐标为$-1$，代入得$y=\frac{k}{-1}=-k$，即$A(-1,-k)$，
$\therefore AN=BM=1$，$ON=AM=-k$，
则点B的横坐标为$-1 - AM = -1 - (-k) = -1 + k$，纵坐标为$-k - BM = -k -1$，即$B(-1+k,-k-1)$。
$\because$点B在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，将B点坐标代入得：
$k = (-1+k)(-k-1)$，
展开右边得$(-1+k)(-1-k)=(-1)^2 - k^2 = 1 - k^2$，
整理得$k^2 + k -1 = 0$，
解得$k=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，
$\because$双曲线的分支在第二象限，$\therefore k＜0$，
$\therefore k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（正根，舍去），$k=-\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，解题核心是通过构造“一线三垂直”全等模型，实现线段长度与点坐标的转化，再结合反比例函数图象上点的坐标特征列方程求解，解题时要注意根据函数所在象限对所得的根进行取舍。
【难度系数】
0.3
11 [2025 甘肃]已知点$A(2,y_1)$和点$B(6,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上.如果$y_1＞y_2$，那么$k=$
6
（请写出一个符合条件的k值）答案
11.答案不唯一,如6
解析
【分析】
首先观察两点的横坐标：$2＜6$，结合已知条件$y_1＞y_2$，可知当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。根据反比例函数的增减性规律，可判断$k$的符号为正，只要写出任意一个大于0的$k$值即可。
【解析】
已知点$A(2,y_1)$、$B(6,y_2)$都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，两点的横坐标均为正数，且$2＜6$，又$y_1＞y_2$，说明在$x＞0$的范围内，$y$随$x$的增大而减小。
根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，因此只需取$k＞0$的任意值即可满足条件。
例如取$k=6$，代入得$y_1=\frac{6}{2}=3$，$y_2=\frac{6}{6}=1$，满足$y_1＞y_2$，符合要求。
【答案】
答案不唯一，如6
【知识点】
1. 反比例函数的增减性
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查反比例函数的性质，解题核心是根据两点的横坐标大小关系和函数值的大小关系，推导得出$k$的取值范围，只要写出任意正数即可得分。
【难度系数】
0.8
首先观察两点的横坐标：$2＜6$，结合已知条件$y_1＞y_2$，可知当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。根据反比例函数的增减性规律，可判断$k$的符号为正，只要写出任意一个大于0的$k$值即可。
【解析】
已知点$A(2,y_1)$、$B(6,y_2)$都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，两点的横坐标均为正数，且$2＜6$，又$y_1＞y_2$，说明在$x＞0$的范围内，$y$随$x$的增大而减小。
根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，因此只需取$k＞0$的任意值即可满足条件。
例如取$k=6$，代入得$y_1=\frac{6}{2}=3$，$y_2=\frac{6}{6}=1$，满足$y_1＞y_2$，符合要求。
【答案】
答案不唯一，如6
【知识点】
1. 反比例函数的增减性
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查反比例函数的性质，解题核心是根据两点的横坐标大小关系和函数值的大小关系，推导得出$k$的取值范围，只要写出任意正数即可得分。
【难度系数】
0.8
