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1 下列条件中,能确定唯一一个圆的是 (
A.以点O为圆心
B.以2 cm长为半径
C.以点O为圆心,5 cm长为半径
D.半径为2 cm,且经过点A
C
)A.以点O为圆心
B.以2 cm长为半径
C.以点O为圆心,5 cm长为半径
D.半径为2 cm,且经过点A
答案
1. C
解析
【分析】
要判断哪个条件能确定唯一一个圆，首先需明确确定圆的两个核心要素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只有同时确定圆心和半径两个条件时，才能得到唯一的圆。接下来逐一分析各选项是否同时满足这两个要素即可。
【解析】
确定唯一的圆需要同时具备确定的圆心和确定的半径，二者缺一不可：
选项A：仅给出圆心O，未确定半径，可画出无数个以O为圆心、不同半径的圆，不符合要求；
选项B：仅给出半径2cm，未确定圆心位置，平面内任意点都可作为圆心，可画出无数个半径为2cm的圆，不符合要求；
选项C：同时给出确定的圆心O和确定的半径5cm，圆心固定位置、半径固定大小，只能画出唯一一个圆，符合要求；
选项D：仅给出半径2cm和经过点A，圆心只需满足到点A的距离为2cm即可，这样的圆心有无数个，可画出无数个符合要求的圆，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；圆的基本要素
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记确定唯一圆需同时明确圆心和半径两个要素，熟练掌握该知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要判断哪个条件能确定唯一一个圆，首先需明确确定圆的两个核心要素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只有同时确定圆心和半径两个条件时，才能得到唯一的圆。接下来逐一分析各选项是否同时满足这两个要素即可。
【解析】
确定唯一的圆需要同时具备确定的圆心和确定的半径，二者缺一不可：
选项A：仅给出圆心O，未确定半径，可画出无数个以O为圆心、不同半径的圆，不符合要求；
选项B：仅给出半径2cm，未确定圆心位置，平面内任意点都可作为圆心，可画出无数个半径为2cm的圆，不符合要求；
选项C：同时给出确定的圆心O和确定的半径5cm，圆心固定位置、半径固定大小，只能画出唯一一个圆，符合要求；
选项D：仅给出半径2cm和经过点A，圆心只需满足到点A的距离为2cm即可，这样的圆心有无数个，可画出无数个符合要求的圆，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；圆的基本要素
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记确定唯一圆需同时明确圆心和半径两个要素，熟练掌握该知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2 在平面内与点 P 的距离为 1 cm 的点共有（
A.无数个
B.3个
C.2个
D.1个
A
）A.无数个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的条件：平面内、到定点P的距离为固定的1cm，接着回忆对应的几何概念：平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是半径，最后判断圆的点的数量即可得出结论。
【解析】
根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点称为圆心，定长称为半径。
本题中，定点为点P，定长为1cm，因此所有到点P距离为1cm的点，构成了以点P为圆心、1cm为半径的圆。
由于圆是由无数个点组成的，因此满足题意的点共有无数个，故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对圆的定义的理解，只要熟练掌握圆的定义即可快速作答，注意不要忽略“平面内”这个前提条件。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目给出的条件：平面内、到定点P的距离为固定的1cm，接着回忆对应的几何概念：平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是半径，最后判断圆的点的数量即可得出结论。
【解析】
根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点称为圆心，定长称为半径。
本题中，定点为点P，定长为1cm，因此所有到点P距离为1cm的点，构成了以点P为圆心、1cm为半径的圆。
由于圆是由无数个点组成的，因此满足题意的点共有无数个，故选A。
【答案】
A
【知识点】
圆的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对圆的定义的理解，只要熟练掌握圆的定义即可快速作答，注意不要忽略“平面内”这个前提条件。
【难度系数】
0.9
3（易错题）有下列说法：① 弦是直径；② 圆的直径被该圆的圆心平分；③ 过圆内一点P的直径仅有一条；④ 弧是圆的一部分.其中，正确的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3. B
易错分析：对圆的有关概念理解不透彻而致错。
易错分析：对圆的有关概念理解不透彻而致错。
解析
【分析】
本题属于圆的基础概念辨析题，解题思路是结合弦、直径、弧的定义，逐一验证4个说法的正误，判断时要注意特殊情况（如点P为圆心的情况），避免因概念理解不全面出错。
【解析】
我们对每个说法逐一分析：
1. 关于①：弦的定义是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦，只有过圆心的弦才是直径，因此弦不一定是直径，①错误；
2. 关于②：直径是经过圆心的弦，圆心是直径的中点，因此圆的直径一定被该圆的圆心平分，②正确；
3. 关于③：若点P是圆的圆心，那么过圆心的直径有无数条，仅当点P不是圆心时，过P的直径才有1条，因此③错误；
4. 关于④：弧的定义是圆上任意两点间的部分，因此弧是圆的一部分，④正确。
综上，正确的说法有②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本概念；弦与直径；弧的定义
【点评】
本题是概念类易错题，易错点在于混淆弦和直径的从属关系、忽略过圆心作直径的特殊情况，解题时要紧扣概念的定义，同时考虑是否存在特殊情形推翻结论，避免概念模糊导致失分。
【难度系数】
0.6
本题属于圆的基础概念辨析题，解题思路是结合弦、直径、弧的定义，逐一验证4个说法的正误，判断时要注意特殊情况（如点P为圆心的情况），避免因概念理解不全面出错。
【解析】
我们对每个说法逐一分析：
1. 关于①：弦的定义是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦，只有过圆心的弦才是直径，因此弦不一定是直径，①错误；
2. 关于②：直径是经过圆心的弦，圆心是直径的中点，因此圆的直径一定被该圆的圆心平分，②正确；
3. 关于③：若点P是圆的圆心，那么过圆心的直径有无数条，仅当点P不是圆心时，过P的直径才有1条，因此③错误；
4. 关于④：弧的定义是圆上任意两点间的部分，因此弧是圆的一部分，④正确。
综上，正确的说法有②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本概念；弦与直径；弧的定义
【点评】
本题是概念类易错题，易错点在于混淆弦和直径的从属关系、忽略过圆心作直径的特殊情况，解题时要紧扣概念的定义，同时考虑是否存在特殊情形推翻结论，避免概念模糊导致失分。
【难度系数】
0.6
4 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,∠ A=40°$,以点$C$为圆心、$CB$长为半径的圆交$AB$于点$D$,连接$CD$,则$∠ ACD$的度数为 （
A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
（第4题）（第5题）（第6题）
A
）A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
（第4题）（第5题）（第6题）
答案
4. A
解析
【分析】
解题时先从已知的直角三角形角度条件入手，先求出∠B的度数；再结合圆的半径相等的性质，得到CB=CD，即△CBD为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等求出∠BCD的度数，最后用∠ACB减去∠BCD即可得到∠ACD的度数。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=40°$，
根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ B=90°-∠ A=90°-40°=50°$。
$\because CB、CD$都是$\odot C$的半径，$\therefore CB=CD$，
$\therefore △ CBD$是等腰三角形，$∠ CDB=∠ B=50°$。
在$△ CBD$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BCD=180°-∠ B-∠ CDB=180°-50°-50°=80°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ ACB-∠ BCD=90°-80°=10°$。
【答案】
A
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的核心是抓住圆的半径相等得到等腰三角形，再结合三角形内角和相关性质推导角度，难度不大。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的直角三角形角度条件入手，先求出∠B的度数；再结合圆的半径相等的性质，得到CB=CD，即△CBD为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等求出∠BCD的度数，最后用∠ACB减去∠BCD即可得到∠ACD的度数。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=40°$，
根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ B=90°-∠ A=90°-40°=50°$。
$\because CB、CD$都是$\odot C$的半径，$\therefore CB=CD$，
$\therefore △ CBD$是等腰三角形，$∠ CDB=∠ B=50°$。
在$△ CBD$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BCD=180°-∠ B-∠ CDB=180°-50°-50°=80°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ ACB-∠ BCD=90°-80°=10°$。
【答案】
A
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的核心是抓住圆的半径相等得到等腰三角形，再结合三角形内角和相关性质推导角度，难度不大。
【难度系数】
0.8
5 如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上一点，$∠ BOC=48°$，则$∠ C=$
$24°$
。答案
5. $24°$
解析
【分析】
解题时首先结合圆的特征：同圆的所有半径相等，可得OA=OC，因此△AOC是等腰三角形，两底角∠A=∠C；再观察∠BOC是△AOC的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，可得∠BOC=∠A+∠C=2∠C，代入已知的∠BOC度数即可求出∠C的大小。
【解析】
解：
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OC，
∴ ∠A=∠C，
∵ ∠BOC是△AOC的外角，
∴ ∠BOC=∠A+∠C=2∠C，
又
∵ ∠BOC=48°，
∴ ∠C=48°÷2=24°。
【答案】
24°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，将圆的特征和三角形的性质结合考查，难度较低，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合圆的特征：同圆的所有半径相等，可得OA=OC，因此△AOC是等腰三角形，两底角∠A=∠C；再观察∠BOC是△AOC的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，可得∠BOC=∠A+∠C=2∠C，代入已知的∠BOC度数即可求出∠C的大小。
【解析】
解：
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OC，
∴ ∠A=∠C，
∵ ∠BOC是△AOC的外角，
∴ ∠BOC=∠A+∠C=2∠C，
又
∵ ∠BOC=48°，
∴ ∠C=48°÷2=24°。
【答案】
24°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，将圆的特征和三角形的性质结合考查，难度较低，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6 如图，AB是$\odot O$的直径，D是弦BC的中点.
若$AC=6\ \mathrm{cm}$，则OD的长为
若$AC=6\ \mathrm{cm}$，则OD的长为
$3$
$\mathrm{cm}.$答案
6. 3
解析
【分析】
首先明确已知条件：AB是⊙O的直径，因此圆心O是AB的中点，同时D是弦BC的中点，由此可判定OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，中位线长度等于第三边长度的一半，代入已知AC的长度即可求出OD的长。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，O为圆心，
∴O是AB的中点，
又
∵D是弦BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$OD=\frac{1}{2}AC$，
将$AC=6\ \mathrm{cm}$代入得：$OD=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
3
【知识点】
三角形中位线定理；圆的基本性质
【点评】
本题是基础几何题，将圆的性质和三角形中位线定理结合考查，解题的关键是识别出两个中点推出中位线，熟练掌握相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.85
首先明确已知条件：AB是⊙O的直径，因此圆心O是AB的中点，同时D是弦BC的中点，由此可判定OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，中位线长度等于第三边长度的一半，代入已知AC的长度即可求出OD的长。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，O为圆心，
∴O是AB的中点，
又
∵D是弦BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$OD=\frac{1}{2}AC$，
将$AC=6\ \mathrm{cm}$代入得：$OD=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
3
【知识点】
三角形中位线定理；圆的基本性质
【点评】
本题是基础几何题，将圆的性质和三角形中位线定理结合考查，解题的关键是识别出两个中点推出中位线，熟练掌握相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.85
7 如图，AB是$\odot O$的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且$AE=BF$.请探究线段OE与OF之间的数量关系，并给予证明.
答案
7. $OE=OF$ 连接OA,OB. $\because OA=OB,\therefore ∠ OAE=∠ OBF$.又$\because AE=BF,\therefore △ OAE≌△ OBF.\therefore OE=OF$
解析
【分析】
要探究OE与OF的数量关系，可考虑证明两条线段所在的三角形全等。首先观察到OE、OF分别在△OAE和△OBF中，结合圆的性质：同圆的半径相等，可得OA=OB，进而推出∠OAE=∠OBF，再结合已知条件AE=BF，即可通过SAS判定两个三角形全等，从而得到OE与OF的数量关系。
【解析】
解：$OE=OF$，证明如下：
连接$OA$，$OB$。
∵ $OA$、$OB$都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，
∴ $∠ OAE=∠ OBF$（等边对等角）。
在$△ OAE$和$△ OBF$中：
$\{\begin{array}{l}OA=OB \\∠ OAE=∠ OBF \\AE=BF\end{array} $
∴ $△ OAE≌△ OBF$（SAS），
∴ $OE=OF$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
$OE=OF$
【知识点】
同圆半径相等；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题的关键是连接半径构造等腰三角形和全等三角形，将线段相等的问题转化为三角形全等的证明，侧重对基础性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
要探究OE与OF的数量关系，可考虑证明两条线段所在的三角形全等。首先观察到OE、OF分别在△OAE和△OBF中，结合圆的性质：同圆的半径相等，可得OA=OB，进而推出∠OAE=∠OBF，再结合已知条件AE=BF，即可通过SAS判定两个三角形全等，从而得到OE与OF的数量关系。
【解析】
解：$OE=OF$，证明如下：
连接$OA$，$OB$。
∵ $OA$、$OB$都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OB$，
∴ $∠ OAE=∠ OBF$（等边对等角）。
在$△ OAE$和$△ OBF$中：
$\{\begin{array}{l}OA=OB \\∠ OAE=∠ OBF \\AE=BF\end{array} $
∴ $△ OAE≌△ OBF$（SAS），
∴ $OE=OF$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
$OE=OF$
【知识点】
同圆半径相等；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题的关键是连接半径构造等腰三角形和全等三角形，将线段相等的问题转化为三角形全等的证明，侧重对基础性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
8 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AB=5,BC=4$.以点A为圆心,r为半径作圆,当点C在$\odot A$内且点B在$\odot A$外时,r的值可能是下列数中的 (
A.2
B.3
C.4
D.5
C
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
8. C
解析
【分析】
解题时首先明确点与圆的位置关系判定规则：若点到圆心的距离为d，当d＜r时点在圆内，当d＞r时点在圆外。本题圆心为A，需先计算点C到A的距离AC、点B到A的距离AB：已知△ABC是直角三角形，可先用勾股定理求出AC的长度，再结合“点C在⊙A内、点B在⊙A外”的条件列出r的取值范围，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$AB=5$，$BC=4$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$，
∵点C在$\odot A$内，
∴$r＞AC$，即$r＞3$，
∵点B在$\odot A$外，
∴$r＜AB$，即$r＜5$，
因此r的取值范围是$3＜r＜5$，
观察选项，只有4符合该范围，故选C。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握点和圆位置关系的判定方法，结合勾股定理求出对应线段的长度后，就能快速推导半径的取值范围，进而选出正确选项。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确点与圆的位置关系判定规则：若点到圆心的距离为d，当d＜r时点在圆内，当d＞r时点在圆外。本题圆心为A，需先计算点C到A的距离AC、点B到A的距离AB：已知△ABC是直角三角形，可先用勾股定理求出AC的长度，再结合“点C在⊙A内、点B在⊙A外”的条件列出r的取值范围，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，$AB=5$，$BC=4$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$，
∵点C在$\odot A$内，
∴$r＞AC$，即$r＞3$，
∵点B在$\odot A$外，
∴$r＜AB$，即$r＜5$，
因此r的取值范围是$3＜r＜5$，
观察选项，只有4符合该范围，故选C。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握点和圆位置关系的判定方法，结合勾股定理求出对应线段的长度后，就能快速推导半径的取值范围，进而选出正确选项。
【难度系数】
0.8
9 教材变式题 下列各组图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是（
A.矩形、菱形
B.矩形、正方形
C.菱形、正方形
D.平行四边形、菱形
B
）A.矩形、菱形
B.矩形、正方形
C.菱形、正方形
D.平行四边形、菱形
答案
9. B
解析
【分析】
要判断四边形的四个顶点是否共圆，首先回忆四点共圆的判定依据：对角互补的四边形四个顶点在同一个圆上。接下来只需逐一分析各选项中特殊四边形的对角是否满足互补的性质即可：先回忆矩形、菱形、正方形、平行四边形的内角特征，再结合判定条件排查选项，最终得到正确答案。
【解析】
根据四点共圆的判定定理：对角互补的四边形，四个顶点在同一个圆上，逐一分析各图形：
1. 矩形：四个内角均为90°，任意一组对角之和为90°+90°=180°，满足对角互补，因此矩形四个顶点一定共圆；
2. 菱形：对角相等，只有当菱形为正方形（内角为90°）时才满足对角互补，普通菱形对角和不为180°，因此普通菱形四个顶点不共圆；
3. 正方形：四个内角均为90°，任意一组对角之和为180°，满足对角互补，因此正方形四个顶点一定共圆；
4. 平行四边形：对角相等，只有当平行四边形为矩形时才满足对角互补，普通平行四边形对角和不为180°，因此普通平行四边形四个顶点不共圆。
综上，只有矩形和正方形的四个顶点一定在同一个圆上。
【答案】
B
【知识点】
四点共圆判定；特殊四边形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查对四点共圆判定条件的理解，以及对常见特殊四边形内角性质的掌握，只需结合判定规则逐一排除错误选项即可求解。
【难度系数】
0.8
要判断四边形的四个顶点是否共圆，首先回忆四点共圆的判定依据：对角互补的四边形四个顶点在同一个圆上。接下来只需逐一分析各选项中特殊四边形的对角是否满足互补的性质即可：先回忆矩形、菱形、正方形、平行四边形的内角特征，再结合判定条件排查选项，最终得到正确答案。
【解析】
根据四点共圆的判定定理：对角互补的四边形，四个顶点在同一个圆上，逐一分析各图形：
1. 矩形：四个内角均为90°，任意一组对角之和为90°+90°=180°，满足对角互补，因此矩形四个顶点一定共圆；
2. 菱形：对角相等，只有当菱形为正方形（内角为90°）时才满足对角互补，普通菱形对角和不为180°，因此普通菱形四个顶点不共圆；
3. 正方形：四个内角均为90°，任意一组对角之和为180°，满足对角互补，因此正方形四个顶点一定共圆；
4. 平行四边形：对角相等，只有当平行四边形为矩形时才满足对角互补，普通平行四边形对角和不为180°，因此普通平行四边形四个顶点不共圆。
综上，只有矩形和正方形的四个顶点一定在同一个圆上。
【答案】
B
【知识点】
四点共圆判定；特殊四边形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查对四点共圆判定条件的理解，以及对常见特殊四边形内角性质的掌握，只需结合判定规则逐一排除错误选项即可求解。
【难度系数】
0.8
