登录
1.利用割补法求图形面积的示意图如图所示,下列公式中与之相对应的是 (
A.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
B.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
C.$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
D.$(ab)^2=a^2b^2$
A
)A.$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
B.$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
C.$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
D.$(ab)^2=a^2b^2$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时利用割补前后图形总面积不变的原理，分别计算左右两边图形的总面积，建立等式即可得到对应公式。第一步先判断左侧整体图形的形状，写出它的面积表达式；第二步拆分右侧的各个小图形，分别计算面积再求和，得到右侧总面积的表达式；第三步联立左右两边的面积表达式，对比选项选出对应公式即可。
【解析】
解：首先计算左侧图形的面积：
左侧是边长为$(a+b)$的大正方形，根据正方形面积公式，可得总面积$S_{\mathrm{左}}=(a+b)^2$。
再计算右侧拆分后各图形的面积和：
右侧包含1个边长为$a$的正方形，面积为$a^2$；2个长为$a$、宽为$b$的长方形，总面积为$2ab$；1个边长为$b$的小正方形，面积为$b^2$，因此总面积$S_{\mathrm{右}}=a^2+2ab+b^2$。
由于割补前后图形总面积相等，即$S_{\mathrm{左}}=S_{\mathrm{右}}$，可得公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方和公式；割补法求面积；正方形面积计算
【点评】
本题借助数形结合的思想，通过几何图形的割补拆分直观验证了代数公式，解题核心是抓住割补前后总面积不变的特点，准确计算各部分面积即可。
【难度系数】
0.9
解题时利用割补前后图形总面积不变的原理，分别计算左右两边图形的总面积，建立等式即可得到对应公式。第一步先判断左侧整体图形的形状，写出它的面积表达式；第二步拆分右侧的各个小图形，分别计算面积再求和，得到右侧总面积的表达式；第三步联立左右两边的面积表达式，对比选项选出对应公式即可。
【解析】
解：首先计算左侧图形的面积：
左侧是边长为$(a+b)$的大正方形，根据正方形面积公式，可得总面积$S_{\mathrm{左}}=(a+b)^2$。
再计算右侧拆分后各图形的面积和：
右侧包含1个边长为$a$的正方形，面积为$a^2$；2个长为$a$、宽为$b$的长方形，总面积为$2ab$；1个边长为$b$的小正方形，面积为$b^2$，因此总面积$S_{\mathrm{右}}=a^2+2ab+b^2$。
由于割补前后图形总面积相等，即$S_{\mathrm{左}}=S_{\mathrm{右}}$，可得公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方和公式；割补法求面积；正方形面积计算
【点评】
本题借助数形结合的思想，通过几何图形的割补拆分直观验证了代数公式，解题核心是抓住割补前后总面积不变的特点，准确计算各部分面积即可。
【难度系数】
0.9
2.下列各式能用完全平方公式计算的是 （
A.$(2a+b)(a-2b)$
B.$(a+2b)(2b-a)$
C.$(2a+b)(-2a-b)$
D.$(b-2a)(-2a-b)$
C
）A.$(2a+b)(a-2b)$
B.$(a+2b)(2b-a)$
C.$(2a+b)(-2a-b)$
D.$(b-2a)(-2a-b)$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先要明确完全平方公式的适用特征：两个相乘的二项式要么完全相同，要么各项都互为相反数（可通过提取负号转化为两个相同二项式相乘的形式），而平方差公式的特征是两个二项式有一项相同、另一项互为相反数，要注意区分两类公式的结构。接下来逐个对选项的因式变形，判断是否符合完全平方公式的结构即可。
【解析】
完全平方公式的形式为：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，要求两个相乘的因式可转化为完全相同的二项式。
对各选项逐一分析：
A选项：$(2a+b)(a-2b)$，两个因式的项既不全部相同也不全部互为相反数，属于普通多项式乘法，不能用完全平方公式计算，排除；
B选项：$(a+2b)(2b-a)=(2b+a)(2b-a)$，满足“一项相同、一项互为相反数”的特征，适用平方差公式，不能用完全平方公式，排除；
C选项：$(2a+b)(-2a-b)=(2a+b)[-(2a+b)]=-(2a+b)^2$，可转化为完全平方的形式计算，符合要求；
D选项：$(b-2a)(-2a-b)=(-2a+b)(-2a-b)$，满足“一项相同、一项互为相反数”的特征，适用平方差公式，不能用完全平方公式，排除。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；整式乘法变形
【点评】
本题核心考查完全平方公式与平方差公式的结构区分，解题的关键是准确掌握两类公式的特征，能对因式做简单变形后判断匹配的公式类型，避免混淆两类乘法公式的适用场景。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确完全平方公式的适用特征：两个相乘的二项式要么完全相同，要么各项都互为相反数（可通过提取负号转化为两个相同二项式相乘的形式），而平方差公式的特征是两个二项式有一项相同、另一项互为相反数，要注意区分两类公式的结构。接下来逐个对选项的因式变形，判断是否符合完全平方公式的结构即可。
【解析】
完全平方公式的形式为：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，要求两个相乘的因式可转化为完全相同的二项式。
对各选项逐一分析：
A选项：$(2a+b)(a-2b)$，两个因式的项既不全部相同也不全部互为相反数，属于普通多项式乘法，不能用完全平方公式计算，排除；
B选项：$(a+2b)(2b-a)=(2b+a)(2b-a)$，满足“一项相同、一项互为相反数”的特征，适用平方差公式，不能用完全平方公式，排除；
C选项：$(2a+b)(-2a-b)=(2a+b)[-(2a+b)]=-(2a+b)^2$，可转化为完全平方的形式计算，符合要求；
D选项：$(b-2a)(-2a-b)=(-2a+b)(-2a-b)$，满足“一项相同、一项互为相反数”的特征，适用平方差公式，不能用完全平方公式，排除。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式；平方差公式；整式乘法变形
【点评】
本题核心考查完全平方公式与平方差公式的结构区分，解题的关键是准确掌握两类公式的特征，能对因式做简单变形后判断匹配的公式类型，避免混淆两类乘法公式的适用场景。
【难度系数】
0.8
3.填空：
(1)$(x-2)^2 = x^2 - \_\_\_\_\_\_x + 4$；
(2)$(a + \_\_\_\_\_\_)^2 = a^2 + 6a + 9$；
(3)$(t - \_\_\_\_\_\_)^2 = t^2 -8t + \_\_\_\_\_\_$；
(4)$x^2 + ax + \_\_\_\_\_\_ = (x + \frac{a}{2})^2$。
(1)$(x-2)^2 = x^2 - \_\_\_\_\_\_x + 4$；
(2)$(a + \_\_\_\_\_\_)^2 = a^2 + 6a + 9$；
(3)$(t - \_\_\_\_\_\_)^2 = t^2 -8t + \_\_\_\_\_\_$；
(4)$x^2 + ax + \_\_\_\_\_\_ = (x + \frac{a}{2})^2$。
答案
3.(1)4 (2)3 (3)4 16 (4)$\frac{a^2}{4}$
解析
【分析】
解题需运用完全平方公式，首先牢记完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，特征为“首平方、尾平方，首尾乘积的2倍放中间，中间项符号和左边二项式中间的符号一致”。解题时将每个小题的式子与公式结构逐一对应，找到未知的对应项即可。
【解析】
(1) 根据完全平方公式展开$(x-2)^2$：
$(x-2)^2=x^2-2× x×2 + 2^2=x^2-4x+4$，故横线处填4。
(2) 观察右边$a^2+6a+9$，其中首项为$a^2$，尾项$9=3^2$，中间项$6a=2× a×3$，对应和的完全平方公式，可得$(a+3)^2=a^2+6a+9$，故横线处填3。
(3) 观察$t^2-8t+\_\_\_\_\_\_$，首项为$t^2$，中间项$-8t=-2× t×4$，因此尾项为$4^2=16$，即$(t-4)^2=t^2-8t+16$，故两个横线依次填4、16。
(4) 展开右边的$(x+\frac{a}{2})^2$：
$(x+\frac{a}{2})^2=x^2+2× x×\frac{a}{2}+(\frac{a}{2})^2=x^2+ax+\frac{a^2}{4}$，故横线处填$\frac{a^2}{4}$。
【答案】
(1)4；(2)3；(3)4，16；(4)$\frac{a^2}{4}$
【知识点】
完全平方公式；整式恒等变形
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，核心考查对公式结构特征的掌握熟练度，牢记公式的结构规律即可快速求解，是后续学习因式分解、配方法等知识的重要基础。
【难度系数】
0.85
解题需运用完全平方公式，首先牢记完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，特征为“首平方、尾平方，首尾乘积的2倍放中间，中间项符号和左边二项式中间的符号一致”。解题时将每个小题的式子与公式结构逐一对应，找到未知的对应项即可。
【解析】
(1) 根据完全平方公式展开$(x-2)^2$：
$(x-2)^2=x^2-2× x×2 + 2^2=x^2-4x+4$，故横线处填4。
(2) 观察右边$a^2+6a+9$，其中首项为$a^2$，尾项$9=3^2$，中间项$6a=2× a×3$，对应和的完全平方公式，可得$(a+3)^2=a^2+6a+9$，故横线处填3。
(3) 观察$t^2-8t+\_\_\_\_\_\_$，首项为$t^2$，中间项$-8t=-2× t×4$，因此尾项为$4^2=16$，即$(t-4)^2=t^2-8t+16$，故两个横线依次填4、16。
(4) 展开右边的$(x+\frac{a}{2})^2$：
$(x+\frac{a}{2})^2=x^2+2× x×\frac{a}{2}+(\frac{a}{2})^2=x^2+ax+\frac{a^2}{4}$，故横线处填$\frac{a^2}{4}$。
【答案】
(1)4；(2)3；(3)4，16；(4)$\frac{a^2}{4}$
【知识点】
完全平方公式；整式恒等变形
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，核心考查对公式结构特征的掌握熟练度，牢记公式的结构规律即可快速求解，是后续学习因式分解、配方法等知识的重要基础。
【难度系数】
0.85
4.计算下列各题：
(1)$(3a + b)^2$；
(2)$(x - 2y)^2$；
(3)$(-\dfrac{1}{2}a + 5b)^2$；
(4)$(-2x - 3y)^2$。
(1)$(3a + b)^2$；
(2)$(x - 2y)^2$；
(3)$(-\dfrac{1}{2}a + 5b)^2$；
(4)$(-2x - 3y)^2$。
答案
4.(1)$9a^2+6ab+b^2$ (2)$x^2-4xy+4y^2$ (3)$\frac{1}{4}a^2-5ab+25b^2$ (4)$4x^2+12xy+9y^2$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。解题时先明确每个小题中对应公式里的$a$、$b$分别是什么，带负号的项可以当做整体代入，也可以先根据平方的性质将负号消去再代入公式，最后按照运算规则计算各项，注意不要漏算中间项、错算符号和系数。
【解析】
我们根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$分别计算：
(1) 令公式中$a=3a$，$b=b$，代入和的平方公式：
$(3a + b)^2=(3a)^2 + 2×3a× b + b^2=9a^2+6ab+b^2$
(2) 令公式中$a=x$，$b=2y$，代入差的平方公式：
$(x - 2y)^2=x^2 - 2× x×2y + (2y)^2=x^2-4xy+4y^2$
(3) 令公式中$a=-\dfrac{1}{2}a$，$b=5b$，代入和的平方公式：
$(-\dfrac{1}{2}a + 5b)^2=(-\dfrac{1}{2}a)^2 + 2×(-\dfrac{1}{2}a)×5b + (5b)^2=\dfrac{1}{4}a^2-5ab+25b^2$
(4) 先利用平方的性质变形：$(-2x - 3y)^2=[-(2x+3y)]^2=(2x+3y)^2$，令公式中$a=2x$，$b=3y$，代入和的平方公式：
$(2x+3y)^2=(2x)^2 + 2×2x×3y + (3y)^2=4x^2+12xy+9y^2$
【答案】
(1)$9a^2+6ab+b^2$ (2)$x^2-4xy+4y^2$ (3)$\frac{1}{4}a^2-5ab+25b^2$ (4)$4x^2+12xy+9y^2$
【知识点】
完全平方公式、整式乘法运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用型题目，解题核心是准确对应公式中的两个项，注意项的符号、系数的运算，要避免出现遗漏中间项、错误展开为平方和（差）的常见误区。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，解题思路如下：首先回忆完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。解题时先明确每个小题中对应公式里的$a$、$b$分别是什么，带负号的项可以当做整体代入，也可以先根据平方的性质将负号消去再代入公式，最后按照运算规则计算各项，注意不要漏算中间项、错算符号和系数。
【解析】
我们根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$分别计算：
(1) 令公式中$a=3a$，$b=b$，代入和的平方公式：
$(3a + b)^2=(3a)^2 + 2×3a× b + b^2=9a^2+6ab+b^2$
(2) 令公式中$a=x$，$b=2y$，代入差的平方公式：
$(x - 2y)^2=x^2 - 2× x×2y + (2y)^2=x^2-4xy+4y^2$
(3) 令公式中$a=-\dfrac{1}{2}a$，$b=5b$，代入和的平方公式：
$(-\dfrac{1}{2}a + 5b)^2=(-\dfrac{1}{2}a)^2 + 2×(-\dfrac{1}{2}a)×5b + (5b)^2=\dfrac{1}{4}a^2-5ab+25b^2$
(4) 先利用平方的性质变形：$(-2x - 3y)^2=[-(2x+3y)]^2=(2x+3y)^2$，令公式中$a=2x$，$b=3y$，代入和的平方公式：
$(2x+3y)^2=(2x)^2 + 2×2x×3y + (3y)^2=4x^2+12xy+9y^2$
【答案】
(1)$9a^2+6ab+b^2$ (2)$x^2-4xy+4y^2$ (3)$\frac{1}{4}a^2-5ab+25b^2$ (4)$4x^2+12xy+9y^2$
【知识点】
完全平方公式、整式乘法运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用型题目，解题核心是准确对应公式中的两个项，注意项的符号、系数的运算，要避免出现遗漏中间项、错误展开为平方和（差）的常见误区。
【难度系数】
0.8
5.若用简便方法计算$1999^2$，则可以转化为计算（
A.$(2000-1)^2$
B.$(2000-1)(2000+1)$
C.$(1999+1)(1999-1)$
D.$(1999+1)^2$
A
）A.$(2000-1)^2$
B.$(2000-1)(2000+1)$
C.$(1999+1)(1999-1)$
D.$(1999+1)^2$
答案
5.A
解析
【分析】
要简便计算1999的平方，核心思路是利用完全平方公式，将接近整千的底数转化为整千数与较小数的和或差，简化计算过程。首先观察1999最接近的整千数是2000，可写成2000-1，因此$1999^2$可转化为$(2000-1)^2$。再逐一排查选项：B、C是平方差公式的形式，计算的是两个不同数的乘积，不是同一个数的平方，直接排除；D是1999加1后的平方，结果为$2000^2$，和$1999^2$不相等，排除，最终确定答案为A。
【解析】
我们的目标是简便计算$1999^2$：
1. 观察底数1999，接近整千数2000，可变形为$1999=2000-1$，因此$1999^2=(2000-1)^2$，对应选项A。
2. 逐一排除错误选项：
选项B、C均为平方差公式的形式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，计算结果是两个不同数的乘积，不是同一个数的平方，计算结果为$2000^2-1^2=3999999$，不等于$1999^2$，排除；
选项D：$(1999+1)^2=2000^2=4000000$，明显不等于$1999^2$，排除。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；简便计算
【点评】
本题考查利用乘法公式进行简便运算，解题关键是能将接近整十、整百、整千的底数合理拆分为易计算的数与较小数的和或差，同时要注意区分完全平方公式和平方差公式的适用场景，避免混淆两种公式的形式。
【难度系数】
0.9
要简便计算1999的平方，核心思路是利用完全平方公式，将接近整千的底数转化为整千数与较小数的和或差，简化计算过程。首先观察1999最接近的整千数是2000，可写成2000-1，因此$1999^2$可转化为$(2000-1)^2$。再逐一排查选项：B、C是平方差公式的形式，计算的是两个不同数的乘积，不是同一个数的平方，直接排除；D是1999加1后的平方，结果为$2000^2$，和$1999^2$不相等，排除，最终确定答案为A。
【解析】
我们的目标是简便计算$1999^2$：
1. 观察底数1999，接近整千数2000，可变形为$1999=2000-1$，因此$1999^2=(2000-1)^2$，对应选项A。
2. 逐一排除错误选项：
选项B、C均为平方差公式的形式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，计算结果是两个不同数的乘积，不是同一个数的平方，计算结果为$2000^2-1^2=3999999$，不等于$1999^2$，排除；
选项D：$(1999+1)^2=2000^2=4000000$，明显不等于$1999^2$，排除。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；简便计算
【点评】
本题考查利用乘法公式进行简便运算，解题关键是能将接近整十、整百、整千的底数合理拆分为易计算的数与较小数的和或差，同时要注意区分完全平方公式和平方差公式的适用场景，避免混淆两种公式的形式。
【难度系数】
0.9
6.(教材 P115 例4变式)运用完全平方公式进行简便计算：
(1)$501^2$； (2)$99.9^2$。
(1)$501^2$； (2)$99.9^2$。
答案
6.(1)251 001 (2)9 980.01
解析
【分析】
这两道题是复杂数的平方运算，直接计算计算量较大，我们可以采用凑整思路：把底数拆成整十/整百数与一个较小数的和或差，再套用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$展开计算，就能简化步骤、降低出错概率。其中501接近整百数500，可拆为$500+1$；99.9接近整百数100，可拆为$100-0.1$，分别代入公式计算即可。
【解析】
(1) 计算$501^2$：
将501变形为$500+1$，代入完全平方和公式：
$\begin{aligned}501^2&=(500+1)^2\\&=500^2 + 2×500×1 + 1^2\\&=250000 + 1000 + 1\\&=251001\end{aligned}$
(2) 计算$99.9^2$：
将99.9变形为$100-0.1$，代入完全平方差公式：
$\begin{aligned}99.9^2&=(100-0.1)^2\\&=100^2 - 2×100×0.1 + 0.1^2\\&=10000 - 20 + 0.01\\&=9980.01\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{251001}$；(2) $\boxed{9980.01}$
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 有理数简便运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，解题核心是掌握凑整技巧，将复杂底数拆为整十、整百数与较小数的和或差后再代入公式，能有效降低大数乘方的计算量，解题时要注意完全平方公式展开的系数和符号，避免漏项、错号。
【难度系数】
0.8
这两道题是复杂数的平方运算，直接计算计算量较大，我们可以采用凑整思路：把底数拆成整十/整百数与一个较小数的和或差，再套用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$展开计算，就能简化步骤、降低出错概率。其中501接近整百数500，可拆为$500+1$；99.9接近整百数100，可拆为$100-0.1$，分别代入公式计算即可。
【解析】
(1) 计算$501^2$：
将501变形为$500+1$，代入完全平方和公式：
$\begin{aligned}501^2&=(500+1)^2\\&=500^2 + 2×500×1 + 1^2\\&=250000 + 1000 + 1\\&=251001\end{aligned}$
(2) 计算$99.9^2$：
将99.9变形为$100-0.1$，代入完全平方差公式：
$\begin{aligned}99.9^2&=(100-0.1)^2\\&=100^2 - 2×100×0.1 + 0.1^2\\&=10000 - 20 + 0.01\\&=9980.01\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{251001}$；(2) $\boxed{9980.01}$
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 有理数简便运算
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，解题核心是掌握凑整技巧，将复杂底数拆为整十、整百数与较小数的和或差后再代入公式，能有效降低大数乘方的计算量，解题时要注意完全平方公式展开的系数和符号，避免漏项、错号。
【难度系数】
0.8
7.(教材P117习题T5变式)一个正方形的边长增加了2 cm，面积相应地增加了28 cm²，那么这个正方形原来的边长为
6
cm.答案
7.6
解析
【分析】
本题可通过方程思想求解，首先设原正方形的边长为未知数，再分别表示出原正方形与边长增加后的正方形面积，结合“面积增加28cm²”的等量关系列方程，最后利用完全平方公式展开化简解方程即可得到结果。
【解析】
解：设这个正方形原来的边长为$ x $ cm。
根据正方形面积公式，原正方形面积为$ x^2 $ $ \mathrm{cm}^2 $，边长增加2cm后的正方形面积为$ (x+2)^2 $ $ \mathrm{cm}^2 $。
由面积增加28 $ \mathrm{cm}^2 $可列方程：
$ (x+2)^2 - x^2 = 28 $
利用完全平方公式展开左边：
$ x^2 + 4x + 4 - x^2 = 28 $
合并同类项得：
$ 4x + 4 = 28 $
移项计算：
$ 4x = 24 $
解得：$ x = 6 $
经检验，$ x=6 $符合实际题意。
【答案】
6
【知识点】
完全平方公式；正方形面积计算；一元一次方程应用
【点评】
本题是完全平方公式在几何面积问题中的基础应用，解题关键是抓住面积变化的等量关系建立方程，计算时需注意完全平方公式的展开规则，避免出现漏项的错误。
【难度系数】
0.8
本题可通过方程思想求解，首先设原正方形的边长为未知数，再分别表示出原正方形与边长增加后的正方形面积，结合“面积增加28cm²”的等量关系列方程，最后利用完全平方公式展开化简解方程即可得到结果。
【解析】
解：设这个正方形原来的边长为$ x $ cm。
根据正方形面积公式，原正方形面积为$ x^2 $ $ \mathrm{cm}^2 $，边长增加2cm后的正方形面积为$ (x+2)^2 $ $ \mathrm{cm}^2 $。
由面积增加28 $ \mathrm{cm}^2 $可列方程：
$ (x+2)^2 - x^2 = 28 $
利用完全平方公式展开左边：
$ x^2 + 4x + 4 - x^2 = 28 $
合并同类项得：
$ 4x + 4 = 28 $
移项计算：
$ 4x = 24 $
解得：$ x = 6 $
经检验，$ x=6 $符合实际题意。
【答案】
6
【知识点】
完全平方公式；正方形面积计算；一元一次方程应用
【点评】
本题是完全平方公式在几何面积问题中的基础应用，解题关键是抓住面积变化的等量关系建立方程，计算时需注意完全平方公式的展开规则，避免出现漏项的错误。
【难度系数】
0.8
8.(1)已知 $ m + n = 12 $，$ mn = 32 $，则 $ m^2 + n^2 = $
(2)已知 $ xy = 1 $，$ x - y = -4 $，则 $ x^2 + 3xy + y^2 = $
(3)已知 $ a, b $ 满足 $ a - b = 1 $，$ ab = 2 $，则 $ a + b = $
(4)已知 $ (a + b)^2 = 7 $，$ (a - b)^2 = 3 $，则 $ ab = $
80
；(2)已知 $ xy = 1 $，$ x - y = -4 $，则 $ x^2 + 3xy + y^2 = $
21
；(3)已知 $ a, b $ 满足 $ a - b = 1 $，$ ab = 2 $，则 $ a + b = $
±3
；(4)已知 $ (a + b)^2 = 7 $，$ (a - b)^2 = 3 $，则 $ ab = $
1
，$ a^4 + b^4 = $ 23
。答案
8.(1)80 (2)21 (3)±3 (4)1 23
解析
【分析】
这几道题均考查完全平方公式的变形应用，解题核心是熟记完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，根据题目给出的已知条件，将待求式子转化为包含已知量的形式代入计算即可：
1. 求两数平方和，可转化为两数和的平方减两倍乘积，或两数差的平方加两倍乘积；
2. 求两数和/差，可先计算其平方，再开平方得到结果；
3. 已知两数和的平方与差的平方，可通过两式加减直接求出$a^2+b^2$和$ab$的值，更高次的幂次可以继续用完全平方公式降次计算。
【解析】
(1) 根据完全平方公式变形可得：$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，将$m+n=12$，$mn=32$代入得：
原式$=12^2 - 2×32=144-64=80$
(2) 先将待求式变形：$x^2+3xy+y^2=(x-y)^2 + 2xy + 3xy=(x-y)^2+5xy$，将$xy=1$，$x-y=-4$代入得：
原式$=(-4)^2 +5×1=16+5=21$
(3) 先计算$(a+b)^2$，由完全平方公式得：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，将$a-b=1$，$ab=2$代入得：
$(a+b)^2=1^2 +4×2=9$，开平方得$a+b=\pm3$
(4) 先将已知的两个完全平方式展开：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=7$ ①
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=3$ ②
用①-②得：$4ab=4$，解得$ab=1$；
用①+②得：$2(a^2+b^2)=10$，解得$a^2+b^2=5$；
再计算$a^4+b^4$，变形得：$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2 - 2(ab)^2$，代入$a^2+b^2=5$，$ab=1$得：
原式$=5^2 -2×1^2=25-2=23$
【答案】
(1)80；(2)21；(3)±3；(4)1，23
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，平方根的性质
【点评】
本题是完全平方公式的典型应用题型，核心是掌握完全平方公式的常见变形，能根据已知条件灵活转换待求式的结构，计算时注意开平方时的正负号不要遗漏。
【难度系数】
0.8
这几道题均考查完全平方公式的变形应用，解题核心是熟记完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，根据题目给出的已知条件，将待求式子转化为包含已知量的形式代入计算即可：
1. 求两数平方和，可转化为两数和的平方减两倍乘积，或两数差的平方加两倍乘积；
2. 求两数和/差，可先计算其平方，再开平方得到结果；
3. 已知两数和的平方与差的平方，可通过两式加减直接求出$a^2+b^2$和$ab$的值，更高次的幂次可以继续用完全平方公式降次计算。
【解析】
(1) 根据完全平方公式变形可得：$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$，将$m+n=12$，$mn=32$代入得：
原式$=12^2 - 2×32=144-64=80$
(2) 先将待求式变形：$x^2+3xy+y^2=(x-y)^2 + 2xy + 3xy=(x-y)^2+5xy$，将$xy=1$，$x-y=-4$代入得：
原式$=(-4)^2 +5×1=16+5=21$
(3) 先计算$(a+b)^2$，由完全平方公式得：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，将$a-b=1$，$ab=2$代入得：
$(a+b)^2=1^2 +4×2=9$，开平方得$a+b=\pm3$
(4) 先将已知的两个完全平方式展开：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=7$ ①
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=3$ ②
用①-②得：$4ab=4$，解得$ab=1$；
用①+②得：$2(a^2+b^2)=10$，解得$a^2+b^2=5$；
再计算$a^4+b^4$，变形得：$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2 - 2(ab)^2$，代入$a^2+b^2=5$，$ab=1$得：
原式$=5^2 -2×1^2=25-2=23$
【答案】
(1)80；(2)21；(3)±3；(4)1，23
【知识点】
完全平方公式，代数式求值，平方根的性质
【点评】
本题是完全平方公式的典型应用题型，核心是掌握完全平方公式的常见变形，能根据已知条件灵活转换待求式的结构，计算时注意开平方时的正负号不要遗漏。
【难度系数】
0.8
9.运用乘法公式计算：
(1)$(2x - 3y)(2x + 3y) - (x - y)^2$；
(2)$(1 + \frac{1}{2}x)^2(1 - \frac{1}{2}x)^2$。
(1)$(2x - 3y)(2x + 3y) - (x - y)^2$；
(2)$(1 + \frac{1}{2}x)^2(1 - \frac{1}{2}x)^2$。
答案
9.(1)$3x^2-10y^2+2xy$ (2)$1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{16}x^4$
解析
【分析】
(1) 本题先识别式子结构：前半部分符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的形式，后半部分符合完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的形式，分别展开两个乘积后，再去括号、合并同类项即可得到结果。
(2) 观察到两个平方的底数满足$(1+a)(1-a)$的形式，可先逆用积的乘方公式$a^2b^2=(ab)^2$，先计算两个底数的乘积（用平方差公式），再对结果用完全平方公式展开，能简化计算步骤，降低出错率。
【解析】
(1) 分别用平方差公式和完全平方公式展开：
原式$=(2x)^2 - (3y)^2 - (x^2 - 2xy + y^2)$
$=4x^2 - 9y^2 - x^2 + 2xy - y^2$
合并同类项得：
$=3x^2 - 10y^2 + 2xy$
(2) 逆用积的乘方公式整理式子：
原式$=[(1 + \frac{1}{2}x)(1 - \frac{1}{2}x)]^2$
先用平方差公式计算括号内的乘积：
$=[1^2 - (\frac{1}{2}x)^2]^2$
$=(1 - \frac{1}{4}x^2)^2$
再用完全平方公式展开：
$=1^2 - 2×1×\frac{1}{4}x^2 + (\frac{1}{4}x^2)^2$
$=1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{16}x^4$
【答案】
(1)$3x^2-10y^2+2xy$ (2)$1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{16}x^4$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、积的乘方的逆用
【点评】
本题考查乘法公式的综合运用，解题时要先观察式子的结构特征，优先选择简便运算方法，计算过程中要注意去括号的符号变化，合并同类项时不要漏项。
【难度系数】
0.7
(1) 本题先识别式子结构：前半部分符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的形式，后半部分符合完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的形式，分别展开两个乘积后，再去括号、合并同类项即可得到结果。
(2) 观察到两个平方的底数满足$(1+a)(1-a)$的形式，可先逆用积的乘方公式$a^2b^2=(ab)^2$，先计算两个底数的乘积（用平方差公式），再对结果用完全平方公式展开，能简化计算步骤，降低出错率。
【解析】
(1) 分别用平方差公式和完全平方公式展开：
原式$=(2x)^2 - (3y)^2 - (x^2 - 2xy + y^2)$
$=4x^2 - 9y^2 - x^2 + 2xy - y^2$
合并同类项得：
$=3x^2 - 10y^2 + 2xy$
(2) 逆用积的乘方公式整理式子：
原式$=[(1 + \frac{1}{2}x)(1 - \frac{1}{2}x)]^2$
先用平方差公式计算括号内的乘积：
$=[1^2 - (\frac{1}{2}x)^2]^2$
$=(1 - \frac{1}{4}x^2)^2$
再用完全平方公式展开：
$=1^2 - 2×1×\frac{1}{4}x^2 + (\frac{1}{4}x^2)^2$
$=1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{16}x^4$
【答案】
(1)$3x^2-10y^2+2xy$ (2)$1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{16}x^4$
【知识点】
平方差公式、完全平方公式、积的乘方的逆用
【点评】
本题考查乘法公式的综合运用，解题时要先观察式子的结构特征，优先选择简便运算方法，计算过程中要注意去括号的符号变化，合并同类项时不要漏项。
【难度系数】
0.7
