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8.如果$(-2x - 3y) · M = 4x^2 - 9y^2$，那么M表示的式子为（
A.$-2x + 3y$
B.$2x - 3y$
C.$-2x - 3y$
D.$2x + 3y$
A
）A.$-2x + 3y$
B.$2x - 3y$
C.$-2x - 3y$
D.$2x + 3y$
答案
8.A
解析
【分析】
要确定M的表达式，我们可以利用乘法与除法的互逆关系求解：首先M等于乘积$4x^2-9y^2$除以已知因式$(-2x-3y)$。接下来观察乘积的形式，$4x^2-9y^2$符合平方差公式$a^2-b^2$的结构，可先利用平方差公式对其因式分解，再通过约分、化简得到M的表达式，计算过程中要注意符号的处理。
【解析】
解：根据乘除运算的互逆关系，可得：
$M=(4x^2 - 9y^2) ÷ (-2x - 3y)$
首先利用平方差公式分解分子：
$4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x + 3y)(2x - 3y)$
再对分母变形提取负号：
$-2x - 3y = -(2x + 3y)$
将上述结果代入M的表达式中约分（$2x+3y ≠ 0$）：
$M = \frac{(2x + 3y)(2x - 3y)}{-(2x + 3y)} = -(2x - 3y) = -2x + 3y$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式；整式除法；因式分解
【点评】
本题核心考查平方差公式的应用，解题的关键是准确识别平方差公式的结构特征，同时要注意运算过程中的符号变化，避免因符号处理错误失分。
【难度系数】
0.8
要确定M的表达式，我们可以利用乘法与除法的互逆关系求解：首先M等于乘积$4x^2-9y^2$除以已知因式$(-2x-3y)$。接下来观察乘积的形式，$4x^2-9y^2$符合平方差公式$a^2-b^2$的结构，可先利用平方差公式对其因式分解，再通过约分、化简得到M的表达式，计算过程中要注意符号的处理。
【解析】
解：根据乘除运算的互逆关系，可得：
$M=(4x^2 - 9y^2) ÷ (-2x - 3y)$
首先利用平方差公式分解分子：
$4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2 = (2x + 3y)(2x - 3y)$
再对分母变形提取负号：
$-2x - 3y = -(2x + 3y)$
将上述结果代入M的表达式中约分（$2x+3y ≠ 0$）：
$M = \frac{(2x + 3y)(2x - 3y)}{-(2x + 3y)} = -(2x - 3y) = -2x + 3y$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式；整式除法；因式分解
【点评】
本题核心考查平方差公式的应用，解题的关键是准确识别平方差公式的结构特征，同时要注意运算过程中的符号变化，避免因符号处理错误失分。
【难度系数】
0.8
9.(2025·沈阳虹桥中学月考)如图,点D,C,H,G在长方形ABJI的边上,点E,F在CD上.若正方形ABCD的面积为20,图中阴影部分的面积总和为8,则正方形EFGH的面积为 (
A.3
B.4
C.5
D.6
B
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
9.B
解析
【分析】
解题时先观察图形的对称特征，不需要分别计算三块阴影的面积，我们可以用割补法对阴影面积进行转化：阴影部分的总面积等于大正方形ABCD的面积减去中间小正方形EFGH的面积后所得差的一半，代入已知条件就能直接求出小正方形的面积。
【解析】
由图形的对称性和割补法可得：
阴影部分总面积 = $\frac{1}{2}$×(正方形ABCD的面积 - 正方形EFGH的面积)
设正方形EFGH的面积为$S$，已知正方形ABCD面积为20，阴影总面积为8，代入得：
$8=\frac{1}{2}×(20 - S)$
等式两边同乘2：$16=20 - S$
解得：$S=20-16=4$
【答案】
B
【知识点】
1. 正方形面积计算
2. 割补法求阴影面积
3. 图形对称性应用
【点评】
本题属于典型的阴影面积求解问题，核心是通过割补转化把零散的阴影面积和已知规则图形的面积建立联系，避免逐个计算零散阴影的复杂步骤，侧重考察对图形的观察和转化能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形的对称特征，不需要分别计算三块阴影的面积，我们可以用割补法对阴影面积进行转化：阴影部分的总面积等于大正方形ABCD的面积减去中间小正方形EFGH的面积后所得差的一半，代入已知条件就能直接求出小正方形的面积。
【解析】
由图形的对称性和割补法可得：
阴影部分总面积 = $\frac{1}{2}$×(正方形ABCD的面积 - 正方形EFGH的面积)
设正方形EFGH的面积为$S$，已知正方形ABCD面积为20，阴影总面积为8，代入得：
$8=\frac{1}{2}×(20 - S)$
等式两边同乘2：$16=20 - S$
解得：$S=20-16=4$
【答案】
B
【知识点】
1. 正方形面积计算
2. 割补法求阴影面积
3. 图形对称性应用
【点评】
本题属于典型的阴影面积求解问题，核心是通过割补转化把零散的阴影面积和已知规则图形的面积建立联系，避免逐个计算零散阴影的复杂步骤，侧重考察对图形的观察和转化能力。
【难度系数】
0.7
10.计算：
(1)$112^2 - 113 × 111$；
(2)$(3x + 2y)(3x - 2y) - 3x(x + 2y)$；
(3)$(2a + 3b)(2a - 3b) - (a - \frac{1}{2}b)(\frac{1}{2}b + a)$；
(4)$(y - 1)(y + 1)(y^2 + 1) - (y^4 + 1)$。
(1)$112^2 - 113 × 111$；
(2)$(3x + 2y)(3x - 2y) - 3x(x + 2y)$；
(3)$(2a + 3b)(2a - 3b) - (a - \frac{1}{2}b)(\frac{1}{2}b + a)$；
(4)$(y - 1)(y + 1)(y^2 + 1) - (y^4 + 1)$。
答案
10.(1)1 (2)$6x^2 - 6xy - 4y^2$ (3)$3a^2 - \dfrac{35}{4}b^2$ (4)$-2$
解析
【分析】
这4道计算题均可利用平方差公式简化运算，解题思路如下：首先观察式子结构，若式子存在符合$(a+b)(a-b)$的结构，或可变形为该结构的乘法运算，先套用平方差公式展开，再按照整式运算规则去括号、合并同类项即可得到结果，能避免直接硬算导致的运算错误。
【解析】
(1) 将$113×111$变形为$(112+1)(112-1)$，套用平方差公式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=112^2 - (112+1)(112-1)\\&=112^2 - (112^2 - 1^2)\\&=112^2 - 112^2 + 1\\&=1\end{aligned}$
(2) 先对前半部分套用平方差公式，再去括号合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(3x)^2 - (2y)^2 - (3x· x + 3x· 2y)\\&=9x^2 - 4y^2 - 3x^2 - 6xy\\&=6x^2 - 6xy - 4y^2\end{aligned}$
(3) 两个乘积项均符合平方差公式结构，分别展开后再合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2a)^2 - (3b)^2 - [a^2 - (\frac{1}{2}b)^2]\\&=4a^2 - 9b^2 - (a^2 - \frac{1}{4}b^2)\\&=4a^2 - 9b^2 - a^2 + \frac{1}{4}b^2\\&=3a^2 - \frac{35}{4}b^2\end{aligned}$
(4) 连续两次套用平方差公式计算前半部分，再去括号合并：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(y-1)(y+1)](y^2+1) - (y^4+1)\\&=(y^2 - 1)(y^2 + 1) - y^4 - 1\\&=y^4 - 1 - y^4 - 1\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
(1)$1$；(2)$6x^2 - 6xy - 4y^2$；(3)$3a^2 - \dfrac{35}{4}b^2$；(4)$-2$
【知识点】
平方差公式；整式混合运算；合并同类项
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，解题的关键是准确识别可套用平方差公式的式子结构，通过合理变形简化运算，计算时要注意去括号的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
这4道计算题均可利用平方差公式简化运算，解题思路如下：首先观察式子结构，若式子存在符合$(a+b)(a-b)$的结构，或可变形为该结构的乘法运算，先套用平方差公式展开，再按照整式运算规则去括号、合并同类项即可得到结果，能避免直接硬算导致的运算错误。
【解析】
(1) 将$113×111$变形为$(112+1)(112-1)$，套用平方差公式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=112^2 - (112+1)(112-1)\\&=112^2 - (112^2 - 1^2)\\&=112^2 - 112^2 + 1\\&=1\end{aligned}$
(2) 先对前半部分套用平方差公式，再去括号合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(3x)^2 - (2y)^2 - (3x· x + 3x· 2y)\\&=9x^2 - 4y^2 - 3x^2 - 6xy\\&=6x^2 - 6xy - 4y^2\end{aligned}$
(3) 两个乘积项均符合平方差公式结构，分别展开后再合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2a)^2 - (3b)^2 - [a^2 - (\frac{1}{2}b)^2]\\&=4a^2 - 9b^2 - (a^2 - \frac{1}{4}b^2)\\&=4a^2 - 9b^2 - a^2 + \frac{1}{4}b^2\\&=3a^2 - \frac{35}{4}b^2\end{aligned}$
(4) 连续两次套用平方差公式计算前半部分，再去括号合并：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(y-1)(y+1)](y^2+1) - (y^4+1)\\&=(y^2 - 1)(y^2 + 1) - y^4 - 1\\&=y^4 - 1 - y^4 - 1\\&=-2\end{aligned}$
【答案】
(1)$1$；(2)$6x^2 - 6xy - 4y^2$；(3)$3a^2 - \dfrac{35}{4}b^2$；(4)$-2$
【知识点】
平方差公式；整式混合运算；合并同类项
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，解题的关键是准确识别可套用平方差公式的式子结构，通过合理变形简化运算，计算时要注意去括号的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
11.【新考法·阅读理解】如图1所示,从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形,然后将剩余部分拼成一个如图2所示的长方形.
(1)上述操作能验证的等式是
①$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$；
②$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$；
③$a(a + b) = a^2 + ab$.
(2)应用你从(1)中选出的等式完成下列各题:
①已知$x^2 - 4y^2 = 12$,$x + 2y = 4$,求$x - 2y$的值；
②计算$(1 - \dfrac{1}{2^2})×(1 - \dfrac{1}{3^2})×(1 - \dfrac{1}{4^2})×\dots×(1 - \dfrac{1}{2022^2})$的值.
(1)上述操作能验证的等式是
②
.（填序号）①$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$；
②$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$；
③$a(a + b) = a^2 + ab$.
(2)应用你从(1)中选出的等式完成下列各题:
①已知$x^2 - 4y^2 = 12$,$x + 2y = 4$,求$x - 2y$的值；
②计算$(1 - \dfrac{1}{2^2})×(1 - \dfrac{1}{3^2})×(1 - \dfrac{1}{4^2})×\dots×(1 - \dfrac{1}{2022^2})$的值.
答案
11.(1)② (2)①3 ②$\dfrac{2\ 023}{4\ 044}$
解析
【分析】
(1) 分别计算图1和图2的阴影部分面积，根据剪拼前后阴影面积相等推导对应等式即可。图1阴影为边长为a的正方形减去边长为b的正方形，面积为$a^2 - b^2$；图2拼成长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，二者相等即可验证对应公式。
(2) ① 先将$x^2 -4y^2$用平方差公式因式分解为$(x+2y)(x-2y)$，再代入已知数值即可求出$x-2y$的值。② 先将每一项$1-\frac{1}{n^2}$用平方差公式拆分为$(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$，再观察拆分后各项的规律，通过约分简化运算即可得到结果。
【解析】
(1) 图1阴影部分面积：$S_1 = a^2 - b^2$
图2长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，面积：$S_2=(a+b)(a-b)$
因为剪拼前后阴影面积不变，即$S_1=S_2$，所以$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，故选②。
(2) ① 由平方差公式可得：$x^2 - 4y^2 = x^2 - (2y)^2 = (x+2y)(x-2y)$
已知$x^2 -4y^2=12$，$x+2y=4$，代入得：
$12 = 4 × (x-2y)$
解得$x-2y = 12 ÷ 4 = 3$
② 利用平方差公式拆分每一项：
$1 - \frac{1}{n^2} = (1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n}) = \frac{n-1}{n} · \frac{n+1}{n}$
则原式可改写为：
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3}) × \dots × (1-\frac{1}{2022})(1+\frac{1}{2022}) \\=&\frac{1}{2} × \frac{3}{2} × \frac{2}{3} × \frac{4}{3} × \frac{3}{4} × \frac{5}{4} × \dots × \frac{2021}{2022} × \frac{2023}{2022} \\=&\frac{1}{2} × \frac{2023}{2022} \\=&\frac{2023}{4044}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{②}$；(2) ① $\boldsymbol{3}$；② $\boldsymbol{\dfrac{2023}{4044}}$
【知识点】
平方差公式；因式分解的应用；分数简便运算
【点评】
本题以几何图形剪拼为背景考查平方差公式的推导与应用，融合了数形结合思想，既要求学生能通过几何面积关系理解公式，又要熟练运用公式解决代数式求值、规律运算类问题，能有效锻炼学生的逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 分别计算图1和图2的阴影部分面积，根据剪拼前后阴影面积相等推导对应等式即可。图1阴影为边长为a的正方形减去边长为b的正方形，面积为$a^2 - b^2$；图2拼成长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，二者相等即可验证对应公式。
(2) ① 先将$x^2 -4y^2$用平方差公式因式分解为$(x+2y)(x-2y)$，再代入已知数值即可求出$x-2y$的值。② 先将每一项$1-\frac{1}{n^2}$用平方差公式拆分为$(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$，再观察拆分后各项的规律，通过约分简化运算即可得到结果。
【解析】
(1) 图1阴影部分面积：$S_1 = a^2 - b^2$
图2长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，面积：$S_2=(a+b)(a-b)$
因为剪拼前后阴影面积不变，即$S_1=S_2$，所以$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，故选②。
(2) ① 由平方差公式可得：$x^2 - 4y^2 = x^2 - (2y)^2 = (x+2y)(x-2y)$
已知$x^2 -4y^2=12$，$x+2y=4$，代入得：
$12 = 4 × (x-2y)$
解得$x-2y = 12 ÷ 4 = 3$
② 利用平方差公式拆分每一项：
$1 - \frac{1}{n^2} = (1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n}) = \frac{n-1}{n} · \frac{n+1}{n}$
则原式可改写为：
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3}) × \dots × (1-\frac{1}{2022})(1+\frac{1}{2022}) \\=&\frac{1}{2} × \frac{3}{2} × \frac{2}{3} × \frac{4}{3} × \frac{3}{4} × \frac{5}{4} × \dots × \frac{2021}{2022} × \frac{2023}{2022} \\=&\frac{1}{2} × \frac{2023}{2022} \\=&\frac{2023}{4044}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{②}$；(2) ① $\boldsymbol{3}$；② $\boldsymbol{\dfrac{2023}{4044}}$
【知识点】
平方差公式；因式分解的应用；分数简便运算
【点评】
本题以几何图形剪拼为背景考查平方差公式的推导与应用，融合了数形结合思想，既要求学生能通过几何面积关系理解公式，又要熟练运用公式解决代数式求值、规律运算类问题，能有效锻炼学生的逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
