10.已知$x^2 + x - 5 = 0$，求代数式$(x - 1)^2 - x(x - 3) + (x + 2)(x - 2)$的值.

10.2

【分析】
本题已知关于x的二次方程，若直接解方程求x的值再代入计算会比较繁琐。解题时首先可从已知条件推导得出$x^2+x=5$，再利用整式的相关运算法则（完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式）将所求代数式展开，合并同类项化简后，会发现代数式可以转化为含$x^2+x$的形式，最后整体代入数值计算即可，这样的方法更简便。
【解析】
先对代数式展开并化简：
$\begin{aligned}&(x - 1)^2 - x(x - 3) + (x + 2)(x - 2)\\=&x^2 - 2x + 1 - (x^2 - 3x) + (x^2 - 4)\\=&x^2 - 2x + 1 - x^2 + 3x + x^2 - 4\\=&x^2 + x - 3\end{aligned}$
由已知$x^2 + x - 5 = 0$，可得$x^2 + x = 5$，将其代入化简后的式子：
原式$=5 - 3 = 2$
【答案】
2
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题属于整式化简求值的基础题，核心是掌握整式的各类运算法则，灵活运用整体代入的思想，避免求解x的具体值，简化计算过程。
【难度系数】
0.8

11.【整体思想】若 $ x $ 满足 $ (8 - x)(x - 2) = 14 $，求 $ (2 - x)^2 + (x - 8)^2 $ 的值.
解:设 $ 8 - x = a $，$ x - 2 = b $，则 $ (8 - x)(x - 2) = ab = 14 $，$ a + b = (8 - x) + (x - 2) = 6 $，
$\therefore (2 - x)^2 + (x - 8)^2 = (8 - x)^2 + (x - 2)^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 6^2 - 2 × 14 = 8$.
请仿照上面的方法解决下列问题:
(1)已知 $ (15 - x)^2 + (16 - x)^2 = 5 $，求 $ (15 - x)(16 - x) $ 的值；
(2)已知 $ (m - 2024)^2 + (m - 2026)^2 = 104 $，求 $ (m - 2025)^2 $ 的值.

11.(1)2 (2)51

【分析】
本题可采用整体换元法简化计算，利用完全平方公式的变形求解：(1)将两个含x的代数式分别设为a、b，先求出a与b的差，再结合已知的a²+b²的值，代入完全平方差公式变形即可求出ab的值；(2)观察到三个常数2024、2025、2026是连续整数，设m与中间数2025的差为a，将另外两个含m的代数式用a表示，代入已知等式化简即可求出a²，即所求式子的值。
【解析】
(1) 设$15-x=a$，$16-x=b$，
由题意得$a^2 + b^2 = 5$，
且$a - b = (15 - x) - (16 - x) = -1$，
根据完全平方公式变形：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，
代入数值可得：$(-1)^2 = 5 - 2ab$，
即$1 = 5 - 2ab$，解得$2ab = 4$，$ab = 2$，
$\therefore (15 - x)(16 - x) = ab = 2$。
(2) 设$m - 2025 = a$，则$m - 2024 = a + 1$，$m - 2026 = a - 1$，
由题意得$(a + 1)^2 + (a - 1)^2 = 104$，
展开得：$a^2 + 2a + 1 + a^2 - 2a + 1 = 104$，
合并同类项得：$2a^2 + 2 = 104$，
移项化简得：$2a^2 = 102$，$a^2 = 51$，
$\therefore (m - 2025)^2 = a^2 = 51$。
【答案】
(1)2；(2)51
【知识点】
完全平方公式，整体换元法，代数式求值
【点评】
本题侧重考查完全平方公式的灵活变形能力，通过整体换元可有效降低计算复杂度，避免直接展开多项式的繁琐运算，熟练掌握完全平方公式的和、差变形形式是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7

12.【新考法·阅读理解】[问题情境]
我们知道对于一个图形,通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.例如,由图1可以得到$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$.

[活动猜想]
（1）写出由图2所得到的数学等式：.
[类比探究]
（2）①根据上面的等式,如果将$a-b$看成$a+(-b)$,那么$(n-\frac{1}{n}+1)^2=$（结果化简）；
②若$n^2+\frac{1}{n^2}=6$,求$(n-\frac{1}{n}+1)^2$的值.
[拓展运用]
（3）已知实数$a,b,c$满足以下条件：$a^2+b^2+4c^2+2ab-4bc-4ac=0$,$a^2+4b^2+c^2-4ab-4bc+2ac=0$,且$a-b=2k+1$.求$k$的值.

12.(1)$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
(2)①$n^2+\frac{1}{n^2}+2n-\frac{2}{n}-1$ ②1或9 (3)$-\frac{1}{2}$

【分析】
1. 第（1）问：通过两种方法计算图2大正方形的面积推导等式，一是整体看大正方形边长为$a+b+c$，面积为边长的平方；二是拆分看大正方形由3个小正方形和6个长方形组成，分别求和后两种方法面积相等即可得到等式。
2. 第（2）①问：将$n$、$-\frac{1}{n}$、1看作三个独立的项，直接套用第（1）问得到的三个数和的完全平方公式展开，再合并同类项化简即可。
3. 第（2）②问：先利用完全平方公式由$n^2+\frac{1}{n^2}=6$求出$n-\frac{1}{n}$的值，再代入①的化简结果计算即可。
4. 第（3）问：先将给出的两个等式利用三个数的完全平方公式因式分解为平方和等于0的形式，根据平方的非负性得到关于$a、b、c$的等量关系，联立求出$a-b$的值，再结合$a-b=2k+1$即可求出$k$。
【解析】
（1）图2中大正方形的边长为$a+b+c$，整体面积为$(a+b+c)^2$；拆分计算面积：3个小正方形面积分别为$a^2、b^2、c^2$，两两组合的长方形面积各有2个，分别为$2ab、2ac、2bc$，总面积为$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$，两种方法面积相等，因此得到对应等式。
（2）①将$n-\frac{1}{n}+1$看作$n+(-\frac{1}{n})+1$，套用（1）的公式展开：
$\begin{aligned}(n-\frac{1}{n}+1)^2&=n^2+(-\frac{1}{n})^2+1^2+2· n·(-\frac{1}{n})+2· n·1+2·(-\frac{1}{n})·1\\&=n^2+\frac{1}{n^2}+1-2+2n-\frac{2}{n}\\&=n^2+\frac{1}{n^2}+2n-\frac{2}{n}-1\end{aligned}$
②已知$n^2+\frac{1}{n^2}=6$，先求$n-\frac{1}{n}$的值：
由$(n-\frac{1}{n})^2=n^2-2+\frac{1}{n^2}=6-2=4$，得$n-\frac{1}{n}=\pm2$。
代入①的结果：
当$n-\frac{1}{n}=2$时，原式$=6+2×2 -1=9$；
当$n-\frac{1}{n}=-2$时，原式$=6+2×(-2)-1=1$。
（3）对已知等式变形：
第一个等式整理得$(a+b)^2-4c(a+b)+(2c)^2=0$，即$(a+b-2c)^2=0$，因此$a+b=2c$ ①；
第二个等式整理得$(a-2b)^2+2c(a-2b)+c^2=0$，即$(a-2b+c)^2=0$，因此$a+c=2b$ ②；
用①-②化简得$b=c$，代入①得$a=b$，因此$a-b=0$。
已知$a-b=2k+1$，则$2k+1=0$，解得$k=-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$
(2)①$n^2+\frac{1}{n^2}+2n-\frac{2}{n}-1$；②1或9
(3)$-\frac{1}{2}$
【知识点】
完全平方公式；平方的非负性；因式分解的应用
【点评】
本题以面积法推导公式为引入，逐步考查三个数和的完全平方公式的变形、应用，以及平方非负性的综合运用，题型设计层层递进，能有效考查对公式的理解程度和灵活应用能力。
【难度系数】
0.55