8.(2025·大连瓦房店月考)如图,在$△ ABC$中,D,E,F分别是BC,AB,AC上的点.若$∠ B=∠ C,BE=CD,BD=CF,∠ EDF=46°$,则$∠ A=$°.

8.88

【分析】
解题可分三步思考：第一步，观察已知条件，给出了两组边相等BE=CD、BD=CF，且两边的夹角∠B=∠C，符合SAS全等判定的条件，可先证明△BDE和△CFD全等；第二步，利用全等三角形对应角相等的性质，得到∠BED=∠CDF，再结合三角形内角和、平角的性质，通过等量代换推导出∠B=∠EDF，即可得到∠B和∠C的度数；第三步，利用三角形内角和为180°，计算出∠A的度数。
【解析】
1. 证明△BDE≌△CFD：
在$△ BDE$和$△ CFD$中，
$\begin{cases}BE = CD（已知）\\∠B = ∠C（已知）\\BD = CF（已知）\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CFD$（SAS）
2. 推导∠B的度数：
由全等三角形的性质可得$∠BED = ∠CDF$。
根据三角形内角和定理，在$△ BED$中：$∠B + ∠BED + ∠BDE = 180°$；
根据平角的定义：$∠BDE + ∠EDF + ∠CDF = 180°$。
将$∠CDF$替换为$∠BED$，可得$∠BDE + 46° + ∠BED = 180°$，和$△ BED$的内角和式子对比，可得$∠B = 46°$。
3. 计算∠A的度数：
∵ $∠B = ∠C$，
∴ $∠C = 46°$。
在$△ ABC$中，$∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 46° - 46° = 88°$。
【答案】
88
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题型，解题核心是通过已知条件找到全等三角形，再借助角的等量代换求出底角度数，熟练掌握全等判定定理和内角和定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7

9.如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,$D$为线段$AC$上的任意一点,连接$BD$,过点$C$作$CE // AB$,且$AD=CE$,$AE$交$BD$于点$F$,猜想$BD$和$AE$之间的关系,并证明.

9.解:$BD=AE,AE ⊥ BD$.
证明: $\because CE // AB, ∠ BAC=90°$,
$\therefore ∠ ACE=90°$.
在$△ ABD$和$△ CAE$中, $\begin{cases} AB=CA, \\ ∠ BAC=∠ ACE, \\ AD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ CAE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore BD=AE, ∠ ABD=∠ CAE$,
$\therefore ∠ ABD+∠ EAB=∠ CAE+∠ EAB=90°$,
$\therefore ∠ AFB=90°, \therefore AE ⊥ BD.$

【分析】
要判断两条线段的关系，需分别从数量关系和位置关系两方面入手。首先观察已知条件，已有AB=AC、AD=CE两组等边，可尝试证明BD、AE所在的△ABD和△CAE全等；先利用CE//AB和∠BAC=90°，推导得到两个三角形的夹角∠BAC和∠ACE相等，满足SAS全等的判定条件，证明全等后即可得到BD和AE的数量关系；再利用全等三角形的对应角相等，结合角的和差关系推导∠AFB的度数，即可得到二者的位置关系。
【解析】
解：BD与AE的关系为BD=AE，AE⊥BD，证明如下：
$\because CE // AB$，$∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ ACE=∠ BAC=90°$，
在$△ ABD$和$△ CAE$中，
$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠ BAC=∠ ACE, \\ AD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ CAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BD=AE$，$∠ ABD=∠ CAE$，
$\because ∠ CAE+∠ EAB=∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ ABD+∠ EAB=90°$，
在$△ ABF$中，$∠ AFB=180°-(∠ ABD+∠ EAB)=90°$，
$\therefore AE ⊥ BD$。
【答案】
$BD=AE$，且$AE ⊥ BD$
【知识点】
SAS判定三角形全等，平行线的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的典型题型，解题时需注意线段关系包含数量和位置两个维度，不要漏证位置关系，只要结合已知条件找到全等三角形的判定条件，再结合全等性质和角的和差关系推导即可解决。
【难度系数】
0.7

10.[证明体验]
(1)如图1,在△ABC中,AD为BC边上的中线.若延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,求证:AC=BE.
[迁移应用]
(2)如图2,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,M为边BC的中点.求证:DE=2AM.

10.证明:(1) $\because AD$ 为 $△ ABC$ 的中线,
$\therefore CD=BD$.
在$△ ACD$和$△ EBD$中, $\begin{cases} AD=ED, \\ ∠ ADC=∠ EDB, \\ CD=BD, \end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ EBD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AC=BE.$
(2)略

【分析】
(1) 证明线段相等可通过证明线段所在的三角形全等推导。本题已知AD是BC的中线，可得BD=CD，结合已知DE=AD、对顶角∠ADC=∠EDB，满足SAS全等判定条件，证△ACD≌△EBD即可得到AC=BE。
(2) 要证DE=2AM，涉及中点和线段倍分关系，可采用倍长中线法构造全等：延长AM到N使MN=AM，先证△ACM≌△NBM得到AC=BN及角的关系，再结合垂直条件推导∠ABN=∠EAD，最后用SAS证△ABN≌△EAD，即可得到DE=AN=2AM。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD为△ABC的中线，
∴ CD=BD。
在△ACD和△EBD中，
$\begin{cases} AD=ED, \\ ∠ADC=∠EDB, \\ CD=BD, \end{cases}$
∴ △ACD ≌ △EBD（SAS），
∴ AC=BE。
(2) 证明：
延长AM至点N，使MN=AM，连接BN。
∵ M为BC的中点，
∴ CM=BM。
在△ACM和△NBM中，
$\begin{cases} AM=NM, \\ ∠AMC=∠NMB, \\ CM=BM, \end{cases}$
∴ △ACM ≌ △NBM（SAS），
∴ AC=BN，∠ACM=∠NBM。
∵ AB⊥AE，AD⊥AC，
∴ ∠EAB=∠DAC=90°，
∴ ∠EAD + ∠BAC = 360° - 90° - 90° = 180°。
又
∵ ∠ABN = ∠ABC + ∠NBM = ∠ABC + ∠ACM = 180° - ∠BAC，
∴ ∠ABN = ∠EAD。
∵ AD=AC，AC=BN，
∴ AD=BN。
在△ABN和△EAD中，
$\begin{cases} AB=EA, \\ ∠ABN=∠EAD, \\ BN=AD, \end{cases}$
∴ △ABN ≌ △EAD（SAS），
∴ AN=DE。
∵ AN=AM+MN=2AM，
∴ DE=2AM。
【答案】
(1) 证明见解析，可证得AC=BE；(2) 证明见解析，可证得DE=2AM。
【知识点】
SAS判定三角形全等，倍长中线辅助线，全等三角形性质
【点评】
本题重点考查全等三角形的判定与性质，倍长中线是处理中点相关线段倍分问题的常用辅助线方法，解题时需注意结合已知垂直条件推导全等所需的等角关系。
【难度系数】
0.6